Контрольная работа: Таблица производных Дифференцирование сложных функций
Название: Таблица производных Дифференцирование сложных функций Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа |
Контрольная работа Дисциплина: Высшая математика Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций 1. Таблица производных Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций. 1. . Найдем производную, когда . Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то Отсюда и , то есть . Если , результат тот же. 2. . Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда и , то есть . 3. . Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда и , то есть . 4. . По определению . Будем дифференцировать как частное: , то есть . 5. . По определению . Будем дифференцировать как частное: , то есть . 6. . Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда и , то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела. 7. . Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, . 8. . Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда и , то есть . Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела. 9. . Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, . Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то . Теорема . Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть . Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, . Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций. 10. . В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда , то есть . 11. . Так как , то . . В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда , то есть . 13. . Так как , то . 2. Производная сложной функции Пусть дана функция и при этом . Тогда исходную функцию можно представить в виде . Функции такого типа называются сложными. Например, . В выражении аргумент называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций. Теорема . Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть . Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от перейдет к . Но это, в свою очередь, приведет к изменению , который от перейдет к . Так как согласно условию теоремы функции и имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если , то и , что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю. Составим . Отсюда, и, следовательно, . Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где , а , или , то, соответственно, и так далее. 3. Дифференцирование параметрически заданной функции Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии. При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину. Пусть даны две функции: где . Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром. Если функция взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти . Подставляя в , получим , то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно. Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение . В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых. 1. Окружность. Возьмем точку на окружности с радиусом . Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем: Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности . Рис. 3.1 2. Эллипс. Известно, что уравнение эллипса – . Отсюда . Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что . Подставим это выражение в : . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид Рис. 3.2 3. Циклоида. Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом . Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t , точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты: Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид: Рис. 3.3 4. Астроида. Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид: Рис. 3.4 Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций. Пусть функция от задана параметрически: где . Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом . Найдем . Составим отношение . Тогда . Следовательно, . Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций. Литература 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с. 2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с. 3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с. 4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003. |