| МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Контрольная работа
по дисциплине: «Математика»
Вариант 1
Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5
Проверил:___________________________
Тюмень 2007 год
Содержание
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного
переменного……………………………………………………………………2
«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6
«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»
1. Вычислить предел:  .
Решение.
При  имеем
Следовательно,
 .
2. Найти асимптоты функции:  .
Решение.
Очевидно, что функция не определена при  .
Отсюда получаем, что
Следовательно,  – вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
 .
Следовательно,  – горизонтальная асимптота при  .
3. Определить глобальные экстремумы:  при  .
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим  .
А затем находим критические точки.
 .
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
 .
Сравнивая значения, получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции:  .
Решение.
Сначала находим .
 .
Затем находим критические точки.
 .
| x
|
|
0
|
|
1
|
|
3
|
|
|
|
+
|
0
|
+
|
0
|
–
|
0
|
+
|
| 
|
возрастает
|
нет экстр.
|
возрастает
|
max
|
убывает
|
min
|
возрастает
|
Отсюда следует, что функция возрастает при  , убывает при  .
Точка  – локальный максимум.
Точка  – локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:  .
Решение.
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
 .
 .
 .
| x
|
|
2
|
|
| 
|
–
|
0
|
+
|
| 
|
выпуклая
|
перегиб
|
вогнутая
|
Отсюда следует, что функция
выпуклая при  ,
вогнутая при  .
Точка  – точка перегиба.
«Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции  .
Решение.
1) Область определения функции
 .
2) Поскольку  , функция не является четной или нечетной.
3) Точки пересечения с осями:
а) с о
x
: 
б) с oy
.
4) Асимптоты.
а)  .
Следовательно,  – вертикальная асимптота.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда получаем, что
 – наклонная асимптота при  .
5) Критические точки
К тому же  не существует при  .
6) 
К тому же  не существует при
| x
|
|
0
|
|
2
|
|
4
|
|
| 
|
+
|
0
|
–
|
Не сущ.
|
–
|
0
|
+
|
| 
|
–
|
–
|
–
|
Не сущ.
|
+
|
+
|
+
|
| y
|
возрастает
выпуклая
|
max
|
убывает
выпуклая
|
не сущ.
|
убывает
вогнутая
|
min
|
возрастает
вогнутая
|
Эскиз графика функции 
2. Найти локальные экстремумы функции  .
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили две критические точки
 . Далее проведем исследование этих точек.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки  :
 .
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Для точки  :
 .
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Вывод – локальных экстремумов у функции 
нет.
3. Определить экстремумы функции  , если  .
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
И исследуем ее
То есть мы получили две критические точки:  .
В силу условия  нам подходит только точка  .
Поэтому будем исследовать эту точку
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
Для точки получаем  .
Следовательно, 
То есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.
Следовательно, является точкой условного локального минимума.
«Интегральное исчисление функции одного переменного»
1–3. Найти неопределенный интеграл
1.  .
Решение.
2.  .
Решение.
3.  .
Решение.
4. Вычислить  .
Решение.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
 .
Решение.
 .
|