Реферат: «Кривые на плоскости»
Название: «Кривые на плоскости» Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат |
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Иркутский государственный технический университет Реферат : «Кривые на плоскости» Выполнил студент группы СДМ-10-1 : Бояркин Б.А. Руководитель: Раджабова О.М. Иркутск 2010 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Иркутский государственный технический университет Реферат: «Кривые на плоскости»
Выполнил студент группы СДМ-10-1 : Винник А. Проверил : Раджабова О.М.
Иркутск 2010
Спирали (франц., единственное число spirale, от лат. spira, греч. speira — виток) плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс полярной системы координат, то полярное уравнение С. ρ = f (φ) таково, что f (φ + 2π) > f (φ) или f (φ + 2π) < f (φ) при всех φ. В частности, С. получаются, если f (φ) — монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. Наиболее простой вид имеет уравнение архимедовой С. (см. рис. ): ρ = а φ, изученной древнегреческим математиком Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга в сочинении «О спиралях». Архимед нашёл площадь сектора этой С., что было одним из первых примеров квадратуры криволинейной области. Архимедова С. является подерой (см. Подера и антиподера ) эвольвенты круга (см. Эволюта и эвольвента ), что используется в некоторых конструкциях разводных мостов для уравновешивания переменного натяжения цепи. Если эксцентрик ограничен дугами архимедовой С. (сердцевидный эксцентрик), то он преобразует равномерное вращательное движение в равномерное поступательное, причём расстояние между диаметрально противоположными точками эксцентрика постоянно. Французский математик П. Ферма исследовал обобщённые архимедовы С. (ρ/a )n = (φ/2π)m и нашёл площадь их сектора. Уравнение ρ = аек φ задаёт логарифмическую С. (см. рис. ). Логарифмическая С. пересекает под одним и тем же углом а все радиус-векторы, проведённые из полюса, причём ctgα = k . Это свойство логарифмической С. используется при проектировании вращающихся ножей, фрез и т. д. для достижения постоянства угла резания. Логарифмическая С. встречается также в теории спиральных приводов к гидравлическим турбинам и т. д. В теории зубчатых колёс используется возможность качения без скольжения одной логарифмической С. по другой, равной с ней, когда обе С. вращаются вокруг своих полюсов. При этом получаются зубчатые передачи с переменным передаточным числом. При стереографической проекции (См. Стереографическая проекция ) плоскости на сферу логарифмической С. переходит в локсодромию (кривую, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом). Определение длин дуг логарифмической С. дано итал. учёным Э. Торричелли. Длина дуги логарифмической С. пропорциональна разности длин радиус-векторов, проведённых в концы дуги, точнее равна Каустическая поверхность ) логарифмической С. являются логарифмическими С. При вращении вокруг полюса логарифмической С. получается кривая, гомотетичная (см. Гомотетия ) исходной. При инверсии (См. Инверсия ) логарифмическая С. переходит в логарифмическую С. Из других С. практическое значение имеет Корню С. (или клотоида), применяемая при графическом решении некоторых задач дифракции (см. рис. ). Параметрическое уравнение этой С. имеет вид: , Корню С. является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути, так как её радиус кривизны возрастает пропорционально длине дуги. С. являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности. Названия некоторым С. даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например параболическая С. (см. рис. ): (а - ρ)2 = b φ, гиперболическая С.(см. рис. ): ρ = а /φ. К С. относятся также жезл (см. рис. ): ρ2 = a/φ и si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид:
[si (t ) и ci (t ) — Интегральный синус и интегральный косинус ]. Кривизна si-ci-cпирали изменяется с длиной дуги по закону показательной функции. Такие С. применяют в качестве профиля для лекал. Напоминает С. кривая рис .). Она бесконечное множество раз проходит через полюс, причём каждый следующий завиток лежит в предыдущем. С. встречаются также при рассмотрении особых точек в теории дифференциальных уравнений (см. Особые точки (См. Особая точка )). КардиоидаКардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца. Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали. Уравнения
x = 2r cost (1 + cost ) y = 2r sint (1 + cost )
Свойства
равна: s = 8a .
равна: ЦиклоидаЦикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r , катящейся без скольжения по прямой. УравненияПримем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r .
x = rt − r sint , y = r − r cost .
Свойства
Исторический очеркПервым из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой ). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от x ,y , циклоида — первая из исследуемых. Паскаль писал о циклоиде: Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса. Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа. Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых. АстроидаАстроида — плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем m = 4.УравненияУравнение в декартовых прямоугольных координатах: параметрическое уравнение:
Свойства
· Длина всей кривой 6R .
· Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых. · Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка. Лемниската БернуллиЛемниска́та Берну́лли — плоская кривая , геометрическое место точек , произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов ) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами. Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности . Её название происходит от греч. λημνισχος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх . Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли , положившего начало её изучению. ИсторияУравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus и он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1] . Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2] . Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году УравненияРассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c , расположены они на оси OX , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
, где Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую : от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти , а когда параметр стремится к , то — из четвёртой Вывод уравнения : Уравнение лемнискаты в полярной системе подставим в формулы перехода к полярной системе координат возведённые в квадрат: Рассмотрим первое уравнение: Используем тригонометрические формулы и : Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение : После преобразований: Извлекаем корень из обеих частей равенства: Если произвести замену , то получаем искомое выражение для x : Второе уравнение выводится аналогично с применением формулы . Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием. СвойстваЛемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c , синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых. Свойства от овала Кассини
Свойства от синусоидальной спирали
Собственные свойстваГравитационное свойство лемнискаты
где
|
Работы, похожие на Реферат: «Кривые на плоскости»