Реферат: В. И. Небесный Рассмотрены и одобрены на заседании

Министерство образования республики Беларусь

Технологический колледж Учреждения образования

« Гродненский государственный университет имени Янки Купалы »

Утверждаю:

Зам. директора по учебной работе

/Кухта В. И./

«_____» ___________________ 2004 г.

Теоретические основы электротехники

Задания и методические указания по курсовой работе

для учащихся заочного отделения

Разработал преп. В.И. Небесный

Рассмотрены и одобрены на заседании

цикловой комиссии электротехнических

дисциплин

Протокол № от 2004г.

Председатель комиссии: _______________ / А.И. Сидоревич /

Гродно 2004 г.

Введение

Курсовая работа является завершающим этапом теоретического и практического изучения теоретических основ электротехники. Выполнение курсовой работы можно начинать только после глубокого изучения сущности электрических и магнитных явлений, приобретения умений и навыков в расчете электрических цепей постоянного и переменного тока, что невозможно без хорошей подготовки по физике и математике.

Умения и навыки закрепляются учащимися в процессе самостоятельной работы, поэтому решению электротехнических задач необходимо уделять больше внимания, начиная с разбора решенных задач, и затем переходя к самостоятельному решению сначала простых, а затем и более сложных задач.

Курсовая работа не может охватить весь учебный материал по теоретическим основам электротехники. Поэтому необходимо выбрать наиболее важные разделы учебного материала, которые являются основными для данной специальности. Данные методические указания рекомендуют включить шесть задач по линейным цепям переменного тока, связанных общим заданием, в которых предлагается исследовать режимы работы приемников электрической энергии при различных схемах включения, построить векторные диаграммы, сделать необходимые выводы. По разделам учебного материала, не охваченным курсовой работой, можно рекомендовать выполнение индивидуальных расчетных заданий.

Теоретические основы электротехники изучаются на протяжении двух семестров, поэтому и выполнять курсовую работу целесообразно в процессе изложения учебного материала постепенно. Это поможет учащимся основательно закрепить пройденный материал.

При выполнении курсовой работы учащимся необходимо: полностью записывать текст задания и данные. Схемы и векторные диаграммы выполнять аккуратно согласно ГОСТ и ЕСКД . Во всех расчетах сначала записывать пояснения, формулу, а затем уже подставлять в нее числовые значения. Расчёты выполнять с точностью до третьего знака. Писать единицы измерения физических величин только в окончательном результате вычислений.

Обязательно привести список используемой литературы, дату выполнения работы и личную подпись. При выполнении заданий не в полном объёме, а также при самовольном изменении номера варианта работа не рецензируется и возвращается.

Задания на курсовую работу

Заданы три приёмника электрической энергии со следующими параметрами: Z ₁ = …Ом, Z ₂ = …Ом, Z ₃ =… Ом . Рассчитать режимы работы электроприёмников при следующих схемах включения:

1. Присоединить приёмники последовательно к источнику с напряжением U =… В. Определить полное сопротивление цепи Z , ток I , напряжения на участках, угол сдвига фаз, мощности участков и всей цепи, индуктивности и ёмкости участков. Построить топографическую векторную диаграмму цепи.

2. Присоединить приёмники параллельно к источнику с напряжениемU =… В . Определить токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, углы сдвига фаз в ветвях и во всей цепи, мощности ветвей и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

3. Составить из приёмников цепь с двумя узлами, включив в каждую ветвь соответственно электродвижущую силу E ₁ =… В , E ₂ = …В , E ₃ = …В . Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях, напряжения на участках, мощности источников и приёмников, составить уравнение баланса мощностей. Построить векторную диаграмму в комплексной плоскости. Для расчёта применить метод ( см. графу М в таблице 1).

4. Соединить приёмники в звезду с нулевым проводом Z _N = …Ом (или без нулевого провода Z _N = ¥), и подключить их к трёхфазному источнику с линейным напряжением U_Л = …В . Определить фазные токи и напряжения источника, напряжение смещения нейтрали, ток в нулевом проводе при его наличии. Построить топографическую векторную диаграмму в комплексной плоскости.

5. Соединить приёмники в треугольник и подключить его к тому же источнику трехфазного напряжения. Определить фазные и линейные напряжения и токи, мощности фаз и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи в комплексной плоскости.

6. Присоединить приёмники последовательно к источнику несинусоидального напряжения тока. Определить действующие значения тока и напряжения, активную мощность цепи. Записать уравнения мгновенных значений неизвестных тока или напряжения между зажимами цепи. Значения сопротивлений считать для частоты первой гармоники.

Частоту напряжения считать равной f = 50 Гц.

Данные для своего варианта взять из таблицы №1.

Таблица №1 Числовые параметры схем электрических цепей

Продолжение таблицы №1

Сокращённые выражения:

М – метод расчёта 1 – метод упрощения схем

¥ – бесконечность 2 – метод контурных токов

3 – метод узловых и контурных уравнений

Методика расчёта линейных электрических цепей

переменного тока

Выполнению курсовой работы должна предшествовать долгая и кропотливая работа по изучению цепей переменного тока, и в результате этой работы учащиеся должны знать:

· физические процессы в цепях переменного тока;

· методику расчета цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм;

· символический метод расчета;

· методику расчета трехфазных цепей;

· методику расчета линейных цепей с несинусоидальными напряжениями и токами.

· Номер варианта для заочного отделения определяется по двум последним цифрам шифра.

Для того, чтобы облегчить выполнение курсовой работы, приводим в данном пособии пример выполнения расчётов по курсовой работе.

Задание на курсовую работу

Заданы три приёмника электрической энергии со следующими параметрами: Z ₁ = 2 – j3 Ом , Z ₂ = 14 – j12 Ом , Z ₃ = j18 Ом . Рассчитать режимы работы электроприёмников при следующих схемах включения:

1. Присоединить приёмники последовательно к источнику с напряжением U = 65 В . Определить полное сопротивление цепи Z , ток I , напряжения на участках, угол сдвига фаз, мощности участков и всей цепи, индуктивности и ёмкости участков. Построить топографическую векторную диаграмму цепи.

2. Присоединить приёмники параллельно к источнику с напряжением U = 65 В . Определить токи в ветвях и в неразветвлённой час-

ти цепи, углы сдвига фаз в ветвях и во всей цепи, мощности ветвей и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

3. Составить из приёмников цепь с двумя узлами, включив в каждую ветвь соответственно электродвижущую силу Е ₁ = 100 В ‚ Е ₂ = 65 В . Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях, напряжения на участках, мощности источников и приёмников, составить уравнение баланса мощностей. Построить векторную диаграмму в комплексной плоскости.

Для расчёта применить методы 1, 2 и 3.

4. Соединить приёмники в звезду с нулевым проводом (Z _N = - j 10 Ом) и подключить его к трёхфазному источнику с линейным напряжением U_Л = 220 В . Определить фазные токи и напряжения источника, напряжение смещения нейтрали, ток в нейтральном проводе, мощности фаз и всей цепи. Построить топографическую векторную диаграмму в комплексной плоскости.

5. Соединить приёмники в треугольник и подключить его к тому же источнику трехфазного напряжения. Определить фазные и линейные напряжения и токи, мощности фаз и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи в комплексной плоскости.

6. Присоединить приёмники последовательно к источнику несинусоидального напряжения u = 220 Sin (ωt + 15⁰ ) + 80 Sin (3ωt – 25⁰ ) + 30 Sin 5 ωt . Определить действующие значения тока и напряжения, активную и реактивную мощности цепи. Записать уравнение мгновенных значений тока в цепи. Значения сопротивлений считать для частоты первой гармоники.

Частоту напряжения считать равной f = 50 Гц .

1. Расчёт неразветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

В задании на курсовую работу сопротивления даны в комплексной форме. Так как расчёт цепи нужно выполнить с помощью векторных диаграмм, определяем соответствующие заданным комплексам активные и реактивные сопротивления: R ₁ = 2 Ом , X _{C 1} = 3 Ом, R ₂ = 14 Ом , X _{C 2} = 12 Ом , X _{L 3} = 18 Ом .

Из заданных приёмников составляем неразветвлённую цепь (рис 1.1).

Определяем активные и реактивные сопротивления всей цепи:

R = R₁ + R₂ = 2 + 14 = 16 Ом;

X = -X_{C 1} – X_{C 2} + X_{L 3} = -3 – 12 + 18 = 3 Ом.

Полное сопротивление всей цепи тогда определяем из выражения:

Z = = = 16,3 Ом.

Ток в цепи будет общим для всех приёмников и определится по закону Ома:

I = U / Z = 65 / 16,3 = 3,99 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется по синусу

Sin j = X / Z или тангенсу Tg j = X / R,

так как эти функции являются нечётными и определяют знак угла “плюс ” или “минус ”. Положительный знак угла указывает на активно-индуктивный (или чисто индуктивный) характер нагрузки, а отрицательный знак угла указывает на активно-ёмкостный (или чисто ёмкостный) характер. Таким образом, угол сдвига фаз между напряжением и током определим по синусу

Sin j = X / Z = 3 / 16 = 0,184; j = 10,6°; Cos j = 0,983.

Напряжения на участках цепи определяем также из формулы закона Ома:

U_R1 = I * R₁ = 3,99 * 2 = 7,98 B;

U_C1 = I * X_C1 = 3,99 * 3 = 12 B;

U_R2 = I * R₂ = 3,99 * 14 = 55,9 B;

U_C2 = I * X_C2 = 3,99 * 12 = 47,9 B;

U_L3 = I * X_L3 = 3,99 * 18 = 71,8 B.

Определяем активные и реактивные мощности участков цепи:

P₁ = I² * R₁ = 3,99² * 2 = 31,8 Вт;

P₂ = I² * R₂ = 3,99² * 14 = 223 Вт;

Q_C1 = I² * X_C1 = 3,99² * 3 = 47,8 вар;

Q_C2 = I² * X_C2 = 3,99² * 12 = 191 вар;

Q_L3 = I² * X_L3 = 3,99² * 18 = 287 вар.

Активная, реактивная и полная мощности всей цепи соответственно будут равны:

P = P₁ + P₂ = 31,8 + 223 = 254,8 Вт;

Q = -Q_C1 – Q_C2 + Q_L3 = -47,8 – 191 + 287 = 48,2 вар;

S = = = 259 B*A.

Полную, активную и реактивную мощности всей цепи можно определить также по другим формулам:

S = U * I = 65 * 3,99 = 259 В*А;

Р = S * Cos j = 259 * 0,983 = 254,8 Вт;

Q = S * Sin j= 259 * 0,184 = 47,9 вар.

Эти два способа определения мощностей могут быть взаимоповерочными и при сходимости результатов указывать на правильность произведённых расчётов.

Определяем ёмкости и индуктивность участков. Угловая частота ω = 2 πf = 2 * 3,14 * 50 = 314 с ^–1 .

L₃ = X_{l 3} /w = 18/314 = 0,0573 Гн;

C₁ = 1/wXc₁ =1/(314*3)= 0,00106 Ф = 1060 мкФ;

C₂ = 1/wXc₂ =1/(314*12)= 0,000265 Ф = 265 мкФ.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами тока и напряжения, которые будут соответственно равны M_I = 0,5 A/см и M_U = 10 B/см.

Построение топографической векторной диаграммы начинаем с вектора тока, который откладываем вдоль положительной горизонтальной оси координат. Векторы напряжений на участках строятся в порядке обтекания их током с учётом того, что векторы напряжений на активных элементах _R1 и _R2 совпадают по фазе с током и проводятся параллельно вектору тока; вектор напряжения на индуктивности _L3 опережает ток по фазе на угол 90⁰ и поэтому откладывается на чертеже вверх по отношению к току; векторы напряжений на ёмкостях _C1 и _С2 отстают от тока по фазе на угол 90⁰ и откладываются на чертеже вниз по отношению к току.

Вектор напряжения между зажимами цепи проводится с начала вектора тока в конец вектора _L3 . На векторной диаграмме отмечаем треугольник напряжений ОАВ , из которого активная составляющая напряжения

U_a = U_R1 + U_R2 = 7,95 + 55,9 = 63,88 B;

и реактивная составляющая напряжения

U_p = -U_C1 – U_C2 + U_L3 = -12 – 47,9 + 71,8 = 11,9 B.

Таким образом, напряжение между зажимами цепи равно

U = = = 65 B.

Топографическая векторная диаграмма построена на рис 1.2

2. Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

Рис.2.1

Это значит, что цепь состоит из трех ветвей, для которых напряжение источника является общим. Схема цепи показана на рисунке 2.1

Расчёт параллельной цепи можно выполнить двумя методами: по активным и реактивным составляющим токов и методом проводимостей.

2.1. Метод активных и реактивных составляющих токов

Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов (рис 2.1). В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:

Z₁ = = = 3,61 Ом;

Z₂ = = = 18,4 Ом;

Z₃ = X_{L 3} = 18 Ом.

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):

Sinφ₁ = -X_{C 1} / Z₁ = 3 / 3,61 = -0,831; φ₁ = -56,2°; Cosφ₁ = 0,556;

Sinφ₂ = -X_{C 2} / Z₂ = -12 / 18 = -0,652; φ₂ = -40,7°; Cosφ₂ = 0,758;

Sinφ₃ = 1; φ₃ = 90°; Cosφ₃ = 0.

Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:

I₁ = U / Z₁ = 65 / 3,61 = 18 А.;

I₂ = U / Z₂ = 65 / 18,4 = 3,53 А.;

I₃ = U / Z₃ = 65 / 18 = 3,61 А.

Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:

I_a1 = I₁ * Cosφ₁ = 18 * 0,556 = 10 A;

I_p1 = I₁ * Sinφ₁ = 18 * (-0,83) = -14,9 A;

I_a2 = I₂ * Cosφ₂ = 3,53 * 0,758 = 2,68 A;

I_p2 = I₂ * Sinφ₂ = 3,53 * (-0,652) = -2,3 A;

I_p3 = I₃ = 3,61 A.

Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

I_a = I_a1 + I_a2 = 10 + 2,68 = 12,68 A;

I_P = I_P1 + I_P2 + I_P3 = –14,9 – 2,3 + 3,61 = -13,59 A.

Полный ток в неразветвлённой части цепи:

I = = = 18,6 A.

Угол сдвига фаз на входе цепи:

Sinφ = I_P / I = –13,59 / 18,6 = –0,7312; φ = -46,98°; Cosφ = 0,6822.

Активные, реактивные и полные мощности ветвей:

P₁ = I₁ ² * R₁ = 18² * 2 = 648 Вт;

Q_C1 = I₁ ² * X_C1 = 18² * 3 = 972 вар;

S₁ = U * I₁ = 65 * 18 = 1170 В*А;

P₂ = I₂ ² * R₂ = 3,53² * 14 = 174 Вт;

Q_C2 = I₂ ² * X_C2 = 3,53² * 12 = 150 вар;

S₂ = U * I₂ = 65 * 3,53 = 229 В*А;

Q_L3 = I₃ ² * X_L3 = 3,61² * 18 = 235 вар;

S₃ = 235 В*А.

Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:

P = P₁ + P₂ = 648 + 174 = 822 Вт;

Q = –Q_C1 – Q_C2 + Q_L3 = –972 – 150 + 235 = –887 вар;

S = = = 1209 В*А, или

S = U * I = 65 * 18,6 = 1209 В*А;

P = S * Cosφ = 1209 * 0,6822 = 825 Вт;

Q = S * Sinφ = 12О9 * (-0,7312) = –887 вар.

Рис. 2.2

от напряжения и его вектор строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону отставания. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора индуктивного тока. Векторная диаграмма построена на рисунке 2.2.

2.2. Метод проводимостей

Метод проводимостей основан на применении схемы замещения с параллельным соединением элементов (рисунок 2.3).

Расчёт начинают с определения активных, реакти­вных и полных проводимостей ветвей и всей цепи:

G₁ = R₁ / Z₁ ² = 2 / 3,61² = 0,153 См;

B_C1 = X_C1 / Z₁ ² = 3 / 3,61² = 0,23 См;

G₂ = R₂ / Z₂ ² = 14 / 18,4² = 0,0414 См;

Y₁ = 1 / Z_l = 1 / 3,61 = 0,277 См;

В_C2 = Х_C2 / Z₂ ² = 12 / 18,4² = 0,0354 См;

Y₂ = 1 / Z₂ = 1 / 18,4 = 0,0543 См;

B_L3 = 1 / X_L3 = 1 / 18 = 0,0556 См;

G = G₁ + G₂ = 0,153 + 0,0414 = 0,1944 См;

B = –B_C1 – B_C2 + B_L3 = -0,23 – 0,0354 + 0,0556 = –0,2098 См;

Y = = = 0,286 См.

Далее определяем активные, индуктивную и емкостные составляющие то­ков в ветвях заданной цепи:

I_G1 = U * G₁ = 65 * 0,153 = 9,945 A;

I_C1 = U * B_C1 = 65 * 0,23 = 14,95 A;

I_G2 = U * G₂ = 65 * 0,0414 = 2,69 A;

I_C2 = U * B_C2 = 65 * 0,0354 = 2,3 A;

I₁ = U * Y₁ = 65 * 0,277 = 18 A;

I₂ = U * Y₂ = 65 * 0,0543 = 3,53 A;

I₃ = I_L3 = U * B_L3 = 65 * 0,0556 = 3,61 A

Отличие метода проводимостей в том, что мы можем конкретно опре­делить все индуктивные и емкостные составляющие токов в ветвях, а в методе активных и реактивных составляющих мы можем определить только общие реактивные токи с их положительными или отрицательными знаками, указывающими на индуктивный или ёмкостный характер ветви. Если предпо­ложить, например, что ветвь 2 задана параметрами R, L и C, а не R и С, как задано, то это различие проследить можно более наглядно. Тогда со­отношение между реактивными токами, полученными двумя методами вырази­лось бы в таком виде: I_{P 2} = I_{L 2} – I_{C 2} . В нашем случае эти соотношения имеют вид: Ia₂ = I_{G 1} ; Iа₂ = I_{G 2} ; I_{P 1} = –I_{C 1} ; I_{P 2} = –I_{C 2} ; I_{P 3} = I_{L 3} .

Ток в неразветвлённой части цепи можно проверить и по его актив­ной и реактивной составляющим:

Ia = I_G1 + I_G2 ;

I_P = I_L3 – I_C1 – I_C2 ;

I =

Угол сдвига фаз и мощности определяются аналогично.

3. Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

3.1 Комплексные числа

Для расчёта электрических цепей переменного тока с применением комплексных чисел необходимо знать формы их выражения. Алгебраическая форма имеет вид:

А = а + jb (3.1)

где а – вещественная часть, b – мнимая часть, j = – мнимая единица.

Комплексное число можно показать на комплексной плоскости как вектор, конец которого имеет координаты а и b (рисунок 3.1). По горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые.

Рисунок 3.1

Длина отрезка ОМ в определённом масштабе определяет абсолютное значение или модуль комплексного числа:

A =

а) б) в)

Рисунок 3.2

Формула для определения угла α зависит от квадранта, в котором находится вектор комплексного числа. Угол α откладывается в положительном направлении против часовой стрелки, а в отрицательном направле­нии - по часовой стрелке от вещественной положительной оси. Это можно показать на рис. 3.2 (а, б и в).

Поскольку при расчёте угла α учащиеся зачастую допускают ошибки, формулы для его определения можно свести в таблицу 3.1. в которой так­же указываются знаки вещественной и мнимой частей в зависимости от квад­ранта, в котором находится заданный комплекс.

Если в формулу (3.1) подставить выражения a = A * Cos a и b = A * Sina , то получаем тригонометрическую форму выражения комплексного числа:

Таблица 3.1

A = A * Cos α + jA * Sin α = A (Cos α + j Sin α).

В математике доказывается, что Cos α + j Sin α = e^jα .

Тогда комплексное число можно выразить в показательной форме:

A = A * e^jα .

Таким образом, комплексное число можно представить в виде:

A = a + jb = A (Cos α + j Sin α) = A * e^jα . (3.2)

Комплексное число A = a – jb = A (Cos α – j Sin α) = A * e^jα называется сопряжённым. Действия с комплексными числами выполняются так же, как действия с алгебраическими выражениями. Наиболее удобными для расчётов в комплексной форме являются микрокалькуляторы: SR -135 " CITIZEN "; SC -503 " CEDAR "; SC -105 " SHARP " и другие, подобные им по содержанию расширенной клавиатуры, имеющие специальный ре­жим работы с комплексными числами, включаемый клавишами <Shift> или <2nd> + <CPLX>.

Действия с комплексными числами на этих калькуляторах выполняются в алгебраической форме. Однако они позволяют переводить комплекс из ал­гебраической формы в показательную и наоборот.

Например, переведём комплекс А = 3 – j 4 в показательную форму, для этого используем тест: < Shift >, < CPLX >, <3>, <а>, <4>, <+/->, < b >, < Shift >, < a > (получаем модуль А =5), < b > (получаем угол α = –53,13°), то есть A = 3 – j 4 = 5 * e ^{- j 53,13} .

Для обратного перевода из показательной формы в алгебраическую применяется тест: <5>, < a >, <53,13>, <+/->, < b >, < Shift >, < a > ,– (получаем вещественную часть а = 3 ), <b> ,– (получаем мнимую часть b =–4 ). При этом клавиша < DRG > должна быть в по­ложении < DEG >, которое индицируется на табло калькулятора.

Расчёты можно выполнять и на отечественных программируемых микрокалькуляторах типа МК-54, МК-56 и др.

Программ для расчёта с помощью комплексных чисел много. Приводим одну из наиболее удобных.

Арифметические операции (сложение – код 0, умножение – код 1, деление –код 2) над парами комплексных чисел Z ₁ = a ₁ + jb ₁ и Z ₂ = а₂ + jb ₂ выполняются в следующем порядке, ввод: a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ – в регистр Х, код операции – в регистр Х, результат:

Z = а + jb : a – Р 4 = PX. b – Р 5 = PY.

Вводится программа последовательным нажатием клавиш < F > <ПРГ> и да­лее набирается содержание программы по строчкам. После

ввода программы нужно нажать клавиши < F > <АВТ> < B / O >

Контрольный пример:

Вычислить Z = ((5 – j 3) * (3 + j 2)) / ((5 + j 3) * (2 – j 4)) + (0,5 + 1). Вводим <5>, <С/П>, <->, <3>, <С/П>, <3>, <С/П>, <2>, <С/П> (на индикаторе высвечива­ется <0>), <1> (код умножения), <С/П>.

Содержание программы

После получения результата вводим <5>, <С/П>, <3>, <С/П>, (на индикаторе высвечивается <0>). <2> (код деления), <С/П>. После получения результата вводим <2>, <С/П>, <–>, <4>, <С/П>, (на индикаторе выс­вечивается <0>), <2> (код деления), <С/П>. После получения результата вводим: <0,5>, <С/П>, <1>, <С/П>, (на индикаторе высвечивается <0> ). <0> (код сложения), <С/П>:

Получаем: Z = PX + j PY = 1,1388235 + j 1,4647059.

Каждое новое вычисление нужно начинать с нажатия клавиши <В/О>.

3.2 Характеристики и параметры цепей переменного тока в комплексной форме.

Так как теоретический материал по данной теме рассмотрен в учеб­никах, напомним только основные формулы.

Ток в комплексной форме:

I = I * e^{j y}

где φ - начальная фаза, I - действующее значение тока.

Напряжение в комплексной форме:

U = U * e^{j y}

Комплексное полное сопротивление:

Z = Z * e^jφ = Z *(Cos φ j Sin φ) = R jX,

где знак "плюс" берётся для индуктивной нагрузки, а знак "минус" - для емкостной.

Комплексная полная проводимость:

Y = Y * e^jφ = Y *(Cos φ j Sin φ) = G jB.

где знак "плюс" берётся при ёмкостной нагрузке, а знак "минус" – при индуктивной.

Комплексная полная мощность:

_*

S = U * I = S * e ^jφ = S *(Cos φ j Sin φ) = P jQ.

Где знак «плюс» берётся при индуктивной нагрузке, а знак «минус» – при ёмкостной.

Комплексную мощность приёмников можно определить и по более простой формуле: _{* *}

S = U * I = I * Z * I

а так как произведение сопряжённых комплексов равно квадрату модуля, то есть _*

I * I = I² ,

мы получим формулу для определения комплексной мощности приёмников:

S = I² * Z

3.3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

3.3.1 Метод узловых и контурных уравнений

Составляем из заданных электроприёмников цепь с двумя узлами, как это показано на рисунке 3.3. Комплексная схема замещения такой цепи показана на рисунке 3.4.

Сущность метода состоит в составлении системы уравнений по пер­вому и второму законам Кирхгофа. Расчёт производим в следующем порядке.

По первому закону составляем (n – 1) независимых уравнений, где n – количество узлов в схеме. Выбираем узел А.. По второму закону нам остаётся составить два уравнения, так как число уравнений в системе должно быть равно количеству неизвестных токов, а их три. Направления токов в ветвях выбираются произвольно. Направления обхода контуров принимаем (услов- но) по часовой стрелке. Таким образом, система уравнений в комплексной

форме включает в себя одно уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа и два уравнения, составленные по второму закону:

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0;

I ₁ Z ₁ – I ₂ Z ₂ = E ₁ – E _2;

I ₂ Z ₂ + I ₃ Z ₃ = E _2.

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Подставляем заданные комплексы известных величин:

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0 (1);

I ₁ * (2 – j3) – I ₂ * (14 – j12) = 100 – 65 (2);

I ₂ * (14 – j12) + I ₃ * j18 = 65 (3).

Данную систему легче решить с помощью простых подстановок: из (2) определяем I ₁ , из (3) определяем I ₃ :

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0;

I ₁ = (35+I ₂ *(14-j12))/(2-j3) = 5,38 + j8,08+I ₂ *(4,92+j1,38) (4);

I ₃ = (65-I ₂ *(14-j12))/j18 = –j3.61 – I ₂ *(–0,667 – j0,778) (5).

Подставляем (4) и (5) в (1) и получим:

5,38 + j8,08 + I ₂ *(4,92 + j1,38) + I ₂ + j3,61 + I ₂ * (0,667 – j0,778) = 0;

5,38 + j8,08 + j3,61 = I ₂ * (–4,92 – j1,38 – 1 + 0,667 + j0,0778);

5,38 +j11,68 = I ₂ * (–5,253 – j0,602), отсюда

I ₂ =(5.38+j11.68)/(-5.253-j0.602) = –1,26 – j2,08 = 2,438e^{- j121,21} A;

I ₁ = 5,38 + j8,08 + (–1,26 – j2,08) * (4,92 + j1,38) = 2,05 – j3,89 = =4,4 * A.

I ₃ = –3,61 – (–1,26 – j2,08)*(–0,667 – j0,778) = 0,778 – j5,97 =

=6.02 * A.

Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

S _{E 1} = E ₁ *= 100 * (2,05 + j3,89) = 205 + j389 = 440 * *В*A.;

S _E2 = E ₂ *= 65 * (–1,26 + j2,08) = –81,9 + j135 = 158 *B*A.

Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:

S ₁ = I₁ ² * Z ₁ = 4,4² * (2 – j3) = 38,7 – j58,1 B*A;

S ₂ = I₂ ² * Z ₂ = 2,43² * (14 – j12) = 82,7 – j70,8 B*A;

S ₃ = I₃ ² * Z ₃ = 6,02² * (j18) = j652 B*A.

Уравнение баланса комплексных мощностей!

S _{Е 1} + S _E2 = S ₁ + S ₂ + S ₃ ;

205 + j389 – 81,9 + j135 = 38,7 – j58,1 + 82,7 – j70,8 + j652;

123,1 + j524 = 121,4 + j523, или

538,3 * = 536,9 * .

Относительная погрешность в балансе полных мощностей составит:

Y_S = (538.3-536.9) * 100%/538.3 = 0,28% < 2%.

Рисунок 3.5

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 1 А/см и э.д.с. M_E = 10 В/см.

Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 3.5.

3.3.2 Метод контурных токов

Намечаем в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 3.4, контурные токи I _{K 1} и I _{K 2} – некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

I _K1 * (Z ₁ + Z ₂ ) – I _K2 Z ₂ = E ₁ – E ₂ ;

-I _K1 * Z ₂ + I _K2 * (Z ₂ + Z ₃ ) = E ₂ .

Подставляем данные в систему:

I _K1 * (2 – j3 + 14 – j12) – I _K2 * (14 – j12) = 100 – 65;

-I _K1 * (14 – j12) + I _K2 * (14 – j12 + j18) = 65.

I _K1 * (16 – j15) – I _K2 * (14 – j12) = 35;

-I _K1 * (14 – j12) + I _K2 * (14 + j6) = 65.

Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:

Δ = = (16 – j15) * (14 + j6) – (–14 + j12)² = (314 – j114) – (52 – j336) = 262 + j222;

Частные определители:

Δ ₁ = = 35 * (14 + j6) – 65*(–14 + j12) = (490 + j210) –

– (–910 + j780) = 1400 – j570;

Δ ₂ = = (16 – j15) * 65 – (–14 + j12) * 35 = (1040 – j975) –

– (–490 + j420) = 1530 – j1395.

Определяем контурные токи:

I _K1 = = = 2,04 – j3,9 A;

I _K2 = = = 0,773 – j5,98 A.

Действительные токи в ветвях цепи определяем как результат наложения контурных токов:

I ₁ = I _K1 = 2,04 – j3,9 = 4,4 * A;

I₂ = I _K2 – I _K1 = (0,773 – j5,98) – (2,04 – j3,9) = -1,27 – j2,08=2,44 * *A;

I ₃ = I _K2 = 0,773 – j5,98 = 6,03 * A.

Уравнение баланса мощностей составлено при решении данного примера предыдущим методом.

3.3.3 Метод упрощения схем

Для того чтобы показать, как рассчитывать цепь методом упрощения схем, предположим, что в источнике с э.д.с. E ₁ произошло короткое замыкание между зажимами, то есть E ₁ = 0 . Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунках 3.6 и 3.7.

Определяем эквивалентные сопротивления участков и всей цепи. Со­противления Z ₁ и Z ₃ соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление

Z _{1 3} = = = 2,83 – j3,22 Ом

Сопротивления Z _{1 3} и Z ₂ соединены последовательно, поэтому эквива­лентное сопротивление всей цепи

Z _Э = Z _{1 3} + Z ₂ = 2,83 – j3,22 + 14 – j12 = 16,8 – j15,2 Ом.

Определяем ток в активной ветви:

I ₂ = = = 2,13 + j1,92 = 2,87 * A.

Напряжение между узлами А и В:

U _{A B} = I ₂ * Z _{1 3} = (2,13 + j1,92) * (2,83 – j3,22) = 12,2 – j1,41 B.

Токи в пассивных ветвях цепи:

I ₁ = = = 2,2 + j2,6 = 3,41 * A.

I ₃ = = = –0,0783 – j0,678 = 0,682 * A.

Уравнение баланса мощностей и векторная диаграмма выполняются аналогично примеру 3.3.1.

4. Расчёт трёхфазной цепи при соединении

приемника в звезду

При расчёте несимметричной трехфазной цепи с потребителем, сое­динённым в звезду, схема может быть без нулевого провода или с нуле­вым проводом, который имеет комплексное сопротивление Z _N . В обоих слу­чаях система линейных и фазных напряжений генератора симметричны. Сис­тема линейных напряжений нагрузки останется также симметричной, так как линейные провода не обладают сопротивлением. Но система фазных напряжений нагрузки несимметрична из-за наличия напряжения смещения ней­трали U _N . Трехфазная цепь при соединении приёмника в звезду представ­ляет собой цепь с двумя узлами, расчёт подобных цепей наиболее целесообразно вести методом узлового напряжения.

4.1. Расчет трехфазной цепи с нулевым проводом

Схема заданной цепи изображена на рисунке 4.1. Определяем систе­му фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:

U_Ф = Uл/ = 127 В.

Комплексные фазные напряжения генератора:

U _A = U_Ф = 127 B;

U _B = U _A * = 127 * = –63,5 – j110 B;

U _C = U _A * = 127 * = –63,5 + j110 B.

Определяем полные проводимости фаз приёмника:

Y _A = = 0,154 + j0,231 Cм;

Y _B = = 0,0412 + j0,0352 Cм;

Y _C = = –j0,0558 Cм; Y _N == j0.1 См.

Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое определяется по формуле:

Определяем фазные напряжения на нагрузке:

Рис 4.1

U _A ^/ = U _A – U _N = 127 – (99.2-j24.5) = 27.8+j24.5=37.1 * B;

U _B ^/ = U _B – U _N = (–63,5 – j110) – (99.2-j24.5) = -162.7-j85.5= =184 *B;

U _C ^/ = U _C – U _N = (–63,5 + j110) – (99.2-j24.5) = -162.7+j134.5 =

=211 * B.

Определяем токи в фазах нагрузки:

I _A = U _A ^/ * Y _A = (27.8+j24.5) * (0.154+j0.231) = -1.38+j10.2=10.3 * *A;

I _B = U _B ^/ * Y _B = (-162.7-j85.5) * (0,0412 + j0,0352) = -3.69-j9.25=

=9.96 * A;

I _C = U _C ^/ * Y _C = (-162.7+j134.5) * (–j0,0556) = 7.48+j9.05=11.7 * *A;

I _N = U _N * Y _N = (99.2-j24.5)*j0.1 = 2.45+j9.92 = 10.2 * A.

Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N’:

I _A + I _B + I _C = I _N ;

Рис. 4.2

-1.38+j10.2-3.69-j9.25+7.48+j9.05=2.45+j9.92;

2.41+j10 @ 2.45+j9.92.

Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:

S _A = I_A ² * Z ₁ = 10.2² * (2 – j3) = 212-j318=383 * B*A;

S _B = I_B ² * Z ₂ = 9.96² * (14 – j12) =1389-j1190=1829 * B*A;

S _C = I_C ² * Z ₃ = 11.7² * (j18) = j2464=2464 * B*A;

S = S _A + S _B + S _C = 212-J318+1389-j1190+j2464=1601+j956=

=1865 *B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 2 А/см и напряжений M_U = 25 В/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 4.2.

4.2. Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в звезду без нулевого провода.

Если задана трехфазная цепь без нулевого провода, то формула для определения напряжения смещения нейтрали не должна включать проводимость нулевого провода:

U _N =

Далее фазные напряжения и токи нагрузки определяются аналогично предыдущему примеру, затем делается проверка:

I _A + I _B + I _C = 0

5. Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в треугольник

Схема заданной цепи изображена на рисунке 4.5.

В данном случае линейные напряжения генератора являются фазными

напряжениями нагрузки:

U _AB = U_Л = 220 B;

U _BC = 220 * = –110 – j190,5 B:

U _CA = 220 * = –110 + j190,5 B

Рис. 5.1

Определяем систему фазных токов нагрузки:

I _AB = = = 33,8 + j50,8 = 61 * A;

I _BC = = = 2,19 – j11,7 = 11,9 * A;

I _CA = = = 10,6 + j6,11 = 12,2 * A.

Систему линейных токов определяем из соотношений:

I _A = I _AB – I _CA = 33,8 + j50,8 – 10,6 – j6,11 = 23,2 + j44,7 = 50,4 * *A;

I _B = I _BC – I _AB = 2,19 –j11,7 – 33,8 – j50,8 = –31,6 – j62,5 = 70 * *A;

I _C = I _CA – I _BC = 10,6 + j6,11 – 2,19 + j11,7 = 8,41 + j17,81 = 19,7 * *A.

Мощности фаз и всей цепи определяются аналогично примеру 4.1.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 10 А/см и напряжений M_U = 40 В/см. Векторная диаграмма построена на рисунке 5.2.

6. Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными напряжениями и токами

Составляем схему заданной цепи, подключая последовательно соединённые приёмники к источнику напряжения

u = 220 Sin (ωt + 15⁰ ) + 80 Sin (3ωt – 25⁰ ) + 30 Sin 5ωt = u₁ + u₃ + u₅ ,

который на схеме замещения представляем как последовательно соединённые три источника переменного напряжения u₁ , u₂ и u₃ с разными частотами (рисунок 6.1) Величины сопротивлений заданы для частоты первой гармоники: R₁ = 2 Ом, X_{C 11} = 3 Ом, R₂ = 14 Ом, X_{C 21} = 12 Ом, X_{L 31} = 18 Ом. Поскольку напряжения источников имеют разные частоты, то и реактивные сопротивления для них будут иметь разные величины. Активные сопротивления считаем от частоты не зависящими. Поэтому расчёт ведём методом наложения, то есть отдельно для каждой гармоники.

Первая гармоника .

Определяем активное и реактивное сопротивления всей цепи:

R= R₁ + R₂ = 2 + 14 = 16 О;. X₁ = –X_{C 11} – X_{C 21} + X_{L 31} = –3 – 12 + 18 = 3 Ом.

Полное сопротивление цепи:

Z₁ = = = 16,3 Ом.

Амплитудные значения напряжения и тока:

U_m1 = 220 B, I_m1 = U_m1 / Z₁ = 220 / 16,3 = 13,5 A.

Действующие значения напряжения и тока:

U₁ = U_m1 / = 220 / 1,41 = 156 B;

I₁ = I_m1 / = 13,5 / 1,41 = 9,55 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяем по синусу:

Sinφ₁ = X₁ / Z₁ = 3 / 16,3 = 0,184; φ₁ = 10,6°, Cosφ₁ = 0,983.

Активная и реактивная мощности первой гармоники:

P₁ = I₁ ² * R = 9,55² *16 =1459 В; Q₁ = I₁ ² * X₁ = 9,55² * 3 = 274 вар.

Начальная фаза тока определяется из соотношения:

φ₁ = y_U1 – y_I1 , отсюда y_I1 = y_U1 - φ₁ = 15° – 10,6° = 4,4°.

Мгновенное значение тока для первой гармоники тока

i₁ = I_m1 * Sin (ωt + y_I1 ) = 13,5 * Sin (ωt + 4,4°) A.

Третья гармоника .

Для остальных гармоник напряжения расчёты приводим без дополнительных разъяснений.

X₃ = –X_{C 11} / 3 – X_{C 21} / 3 + X_{L 31} *3 = –3 / 3 – 12 / 3 + 18 * 3 = 49 Ом.

Z₃ === 51,5 Ом; U_m3 = 80 B; I_m3 = U_m3 / Z₃ = 80/51,5 = =1,56 A.

U₃ = U_m3 / = 80 / 1,41 = 56,6 B; I₃ = I_m3 /= 1,56 / 1,41= 1,1 A;

Sin φ₃ = X₃ / Z₃ = 49 / 51,5 = 0,95; φ₃ = 72°; Cos φ₃ = 0,308;

P₃ = I₃ ² * R₃ = 1,1² * 16 = 19 Вт; Q₃ = I₃ ² * X₃ = 1,1² * 49 = 59 вар;

y_I3 = y_U3 – φ₃ = –25° – 72° = –97°;

i₃ = I_m3 * Sin (3 ωt + y_I3 ) = 1,56 * Sin (3 ωt – 97°).

Пятая гармоника .

X₅ = -X_{C 11} / 5 – X_{C 21} / 5 + X_{L 31} * 5 = -3 / 5 – 12 / 5 + 18 * 5 = 93 Ом;

Z₅ = = 94 Ом; U_m5 =30 B; I_m5 =U_m5 /Z₅ = 30/94= 0,319 А;

U₅ = U_m5 / =30/ =21,2 B; I₅ = I_m5 / =0,319 /1,41= 0,226 A.

Sin φ₅ = X₅ / Z₅ = 93 / 95 = 0,979; φ₅ = 78,2°; Cos φ₅ = 0,204;

P₅ = I₅ ² *R 0,226² *16=0,82 Вт;Q₅ = I₅ ² *X₅ = 0,226² * 93 = 4,75 вар;

y_I5 = y_U5 - φ₅ = -φ₅ = -78,2⁰ .

i₅ = I_m5 * Sin (5 ωt + y_I5 ) = 0,319 * Sin (5 ωt – 78,2⁰ ) A.

Определяем действующие значения тока и напряжения:

I = = = 9,62 A;

U = = = 167 B;

Р = Р₁ + Р₃ + Р₅ = 1459+19+0,82 = 1479 Вт.

Средневзвешенный коэффициент мощности цепи:

Cos Х = Р / (U * I) = 1479 / (167 * 9,62) = 0,9206.

Уравнение мгновенных значений тока в цепи:

i =i₁ +i₃ +i₅ =13,5* (ωt + 4,4°)+1,56*Sin(3ωt – 97°) + 0,319*Sin(5ωt - – 78,2°) A.

7.Требования к оформлению курсовой работы.

Курсовая работа является техническим документом, поэтому она должна быть правильно оформлена.

Поясняющий текст и расчёты пишутся на одной стороне листа бумаги формата 11 размером 210 Х 297 мм . Каждый лист записки ограничивается рамкой, которая проводится на расстоянии 5 мм от края сверху, справа и снизу, и на расстоянии 20 мм от края - слева. Рамка снизу имеет штамп.

Расстояние от рамки формы до границ текста в начале и в конце строк - не менее 3 мм .

Расстояние от верхней или нижней строки текста до верхней или нижней рамки должно быть не менее 10 мм .

Расстояние между заголовком и текстом при выполнении курсовой работы машинописным способом должно быть равно трём - четырём интервалам, при выполнении рукописным способом 15 мм . Расстояние между заголовками раздела и подраздела - два интервала, при рукописном способе – 8 мм .

Абзацы начинают в тексте отступом, равным пяти ударам пишущей машинки (15 - 17) мм .

Разделы должны иметь порядковые номера в пределах курсовой работы обозначенные арабскими цифрами без точки и записываться с абзацевого отступа .

В тексте документа, за исключением формул, таблиц и рисунков не допускается:

· применять математический знак минус (–) перед отрицательными значениями величин (следует писать слово "минус");

· применять без числовых значений математические знаки >, <, =, >, <, =, №, %.

В тексте курсовой работы числовые значения величин с обозначением единиц физических величин и единиц счёта следует писать цифрами, а числа без обозначения единиц физических величин и единиц счета от единицы до девяти - словами.

Примеры:

1. Провести испытания пяти труб, каждая длиной 15 м.

2. Отобрать 15 труб для испытаний на давление.

3. Дробные числа необходимо приводить в виде десятичных дробей, за исключением размеров в дюймах, которые следует записывать 1/4", 1/2", 1" и т.д. ( но не , ).

При невозможности выразить числовое значение в виде простой дроби - в одну строчку через косую черту, например 5/32, (a - jb) / (c + jd).

Формулы, за исключением формул, помещаемых в приложении, нумеруются сквозной нумерацией арабскими цифрами, которые записываются на уровне формулы справа в круглых скобках.

Z = (1)

где Z – полное сопротивление,

R – активное сопротивление,

X – реактивное сопротивление.

В документах, издаваемых нетипографским способом, формулы могут быть выполнены машинописным, машинным способами или чертёжным шрифтом высотой не менее 2,5 мм. Применение машинописных и рукописных символов в одной формуле не допускается .

Вписывать в текстовые документы, изготовленные машинописным способом, отдельные слова, формулы, условные знаки (рукописным способом), а также выполнять иллюстрации следует черными чернилами, пастой или тушью.

Иллюстрации могут быть расположены как по тексту курсовой работы, так и в конце её, или даны в приложении. Иллюстрации следует нумеровать арабскими цифрами сквозной нумерации. Если рисунок один, то он обозначается "Рисунок 1".

На каждой текущей странице курсовой работы, кроме содержания, выполняется рамка со штампом, который заполняется по следующему шаблону:

Примеры оформления титульных листов по специальностям, текущих страниц, главной страницы с содержанием, векторных диаграмм и др. приведены на страницах приложения.

8. Приложения

Оглавление

Введение___________________________________________________ 2

Задания на курсовую работу__________________________________ 3

Методика расчёта линейных электрических цепей переменного

тока______________________________________________________ 5

Задание на курсовую работу________________________________ 6

1. Расчёт неразветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм__ 7

2. Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм___ 10

2.1. Метод активных и реактивных составляющих токов________ 10

2.2. Метод проводимостей_________________________________ 12

3. Расчёт сложных цепей переменного тока символическим

методом_______________________________________________ 14

3.1 Комплексные числа___________________________________ 14

3.2 Характеристики и параметры цепей переменного тока в комплексной форме._________________________________________________ 17

3.3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим

методом_______________________________________________ 18

3.3.1 Метод узловых и контурных уравнений_________________ 18

3.3.2 Метод контурных токов______________________________ 21

3.3.3 Метод упрощения схем_______________________________ 22

4. Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в звезду.___ 23

4.1.Расчет трехфазной цепи с нулевым проводом______________ 23

4.2. Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в звезду без нулевого провода._______________________________________ 26

5. Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника

в треугольник___________________________________________ 26

6. Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными

напряжениями и токами___________________________________ 28

7.Требования к оформлению курсовой работы.________________ 30

8. Приложения____________________________________________34