Реферат: Методические рекомендации : На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений,
Название: Методические рекомендации : На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат | |||||||||
Аксиома параллельных прямых(доказательства от противного) Разработала учитель математики Бережная О.Д. Материал: п, 28, § 2, учебник геометрия 7-9 Л.С.Атанасян Методические рекомендации: На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, и закрепляет способ доказательства от противного доказательством 1-го и 2-го следствий аксиомы параллельных прямых. Первая ошибка - это то, что делается предположение, противоположное не тому, что требуется доказать, а тому, что задано в условии задачи или теоремы. Вторая, не менее существенная ошибка - это неумение в отдельных случаях правильно сформулировать отрицание утверждения, которое требует доказательства. Вот один из примеров такой ошибки. Составить утверждение, противоречащее высказыванию: «Число а больше 5». Если бы ученик в заданном по условию высказыванию применил частицу «не», его ответ был бы верен: «Число а не больше 5», т.е. число а меньше или равно 5. Действительно, если а<5 или а=5, то это противоречит условию а>5. Ясно, что при первом варианте ответа утерян один из возможных случаев, без которого решение задания становится неполным. В тех случаях, когда некоторое утверждение содержит отрицание какого-либо факта с помощью оборота «не», то исключив этот оборот из предложения, мы получим отрицание данного утверждения. Только после этого можно приступить к анализу ситуаций, вытекающих из сделанного предположения. Цель урока: *Ознакомить учащихся со способом доказательства от противного. Тип урока: Объяснение нового материала Методы: лекция. Оборудование: компьютер.
|
1 |
Делается предположение, противное тому, что требуется доказать |
2 |
Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи |
3 |
Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом |
4 |
Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать |
Одним из важных моментов при доказательстве методом от противного является умение правильно сформулировать предложение, противоположное тому, что требуется доказать. В повседневной речи для того, чтобы выразить отрицание, иначе невозможность какого-либо события, факта или ситуации, мы часто используем частицу «не», либо иные соответствующие ей выражения: «неверно, что …», «нельзя» и т. п. Точно так же надо поступать, чтобы получить отрицание какого-нибудь математического утверждения. Приступаем к анализу возможных ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.
Упражнения
Составьте отрицания следующих утверждений.
- Точка А принадлежит отрезку СД
- Прямые а и b пересекаются.
( Прямые а и b не пересекаются. Значит, они параллельны.)
- Угол А тупой.
(Угол А не тупой. Значит, он либо прямой, либо острый. )
- Число а меньше нуля.
( Число а не меньше нуля. Следовательно, а=0 либо a>0.)
- Все данные прямые проходят через точку А.
(Не все данные прямые проходят через точку А, т.е. по крайней мере одна из них не проходит через точку А.)
В следующих предложениях необходимо убрать оборот «не», чтобы получить отрицание утверждений.
- Прямые а и b не параллельны.
- Через точки А,В, и С нельзя провести прямую.
(Через точки А, В, и С можно провести прямую.)
- Луч b не пересекает ни одного отрезка с концами на сторонах угла А.
(Луч b пересекает по крайней мере один отрезок с концами на сторонах угла, т.е. луч b проходит между сторонами этого угла.)
Дается понятие об аксиомах и аксиоме параллельных прямых.
Решаем такую задачу:
Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а.
Построение прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой а, доказывает, что, по крайней мере, одна такая прямая существует. Естественно, возникает вопрос:
Сколько таких прямых можно провести?
Ответ на него дает аксиома параллельных прямых.
В аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Далее решаем задачи.
В этом параграфе впервые вводится понятие следствия, поэтому разъясняем смысл этого понятия, после чего рассмотрим следствие 1 и 2 из аксиомы параллельных прямых.
1. Решение задач на 1-е следствие.
(Вывод - следствие из аксиомы: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.)
Решение всех предложенных задач оформляются на компьютере и в тетрадях учащихся.
Задача 1.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (§ 2). (Опорная задача.) Дано: а¦ b
Прямая с пересекает а в точке О (рис.1).
Рис.1
Доказать: прямая с пересекает прямую b.
Доказательство.
Точка О лежит на а и О лежит на с как точка пересечения прямых а и с. Но О не лежит на b , так как параллельные прямые а и b не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Следовательно, прямые b и с – различные, поскольку О лежит на с и О не лежит на b.
- Предположим, что прямая с не пересекает прямую b. Значит, с¦ b.
- Тогда через точку О, не принадлежащую прямой b, проходит более одной прямой (а и с), параллельных прямой b.
- Это противоречит 5 постулату Евклида -аксиоме параллельных прямых. (Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной).
- Следовательно, если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
2. Задача на 2-е следствие.
Эту задачу учащиеся могут решать самостоятельно.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Дано: а¦с и b¦с (Рисунок 2)
Доказать: а¦b
Доказательство:
- Предположим, что а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рисунок 3).
- Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b) параллельные прямой с.
- Это противоречит 5 постулату Евклида- аксиоме параллельных прямых.
- Следовательно, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
При доказательстве теорем мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного.
Для лучшего усвоения метода доказательства от противного и экономии времени используем многоразовые карточки-подсказки, сделанные из плотной бумаги, вставленные в полиэтиленовые пакеты, на которых выполняются записи.
Карточки имеют следующий вид:
|
3. Закрепление нового материала.
№196 Дан треугольник АВС. Через точку С сколько параллельных прямых можно провести к АВ ? (одну, по аксиоме параллельных прямых).
№ 197.Через точку, не лежащую на прямой р проведено четыре прямых. Сколько этих прямых может пересекать данную прямую? (ответ: три или четыре, полезно показать учащимся на рисунке два возможных случаю расположения прямых:
а) все четыре прямые пересекают прямую р;
б) одна из четырех прямых параллельна р, а три другие пересекают ее
Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи.).
№ 198.Прямые а и b перпендикулярны к р, прямая с пересекает прямую а, пересекает ли прямая она прямую b? (ответ: да, так как прямые а и b параллельные. Задача 1°)
4. Итог урока.
Что мы изучали на уроке? О чем вы узнали?
(Мы изучали аксиому, аксиому параллельных прямых, следствие из нее и метод доказательства теорем от противного.)
5. Домашняя работа.
№ 199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Доказать, что ВС и АС пересекают прямую р.
(Доказываем от противного. Предположим, что ВС и АС не пересекают прямую р.Из предположения следует, что ВС и АС параллельны к прямой р. Это противоречит данной. Значит, ВС и АС пересекают прямую р. )
№ 219.