Учебное пособие: Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия»
Название: Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия» Раздел: Остальные рефераты Тип: учебное пособие |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯи задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ » (для студентов специальностей 7.080403 «Программное обеспечение автоматизированных систем» и 7.050102 «Экономическая кибернетика») УтвержденоНа заседании каф.ПМ и И22 марта 2000 г. -ДонГТУ- Донецк - 2000 УДК 517Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А – Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30 Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов . Составители А.Е. Скворцов , доц . А.А. Губарев , асс. Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф. Рецензент Часть1.РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИЗадача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение ? Решение. Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь: . Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим . По определению φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того , , значит не короче . Ответ : ↑↓ и ≥ . Задача 2. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами и . Решение. Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов и , для чего разделим эти векторы на их длины : , . Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами и . Ответ : искомый вектор имеет вид + . Задача 3. Векторы и - взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t векторы и : 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны . Решение. Будем использовать известные условия , . Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно . Итак , имеем : , , ибо ; . Из полученных соотношений делаем выводы : 1) векторы и перпендикулярны , если t –2=0 , т.е. t =2 ; 2) векторы коллинеарны , если 2 t +1=0 ,т.е. t =-1/2 , ибо и неколлинеарны . Замечание. На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов и означает = λ , где λ - некоторое число , т.е. или . Но векторы и - неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора ) по и единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций и равны : 1= λ t и 2=- λ . Отсюда t =-1/2. Ответ : при t =2 ; при t =-0,5 . Задача 4. Найти вектор , удовлетворяющий условиям : 1) и ; 2) ; 3) образует с осью Оу тупой угол . Решение . Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению , ибо по определению - это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем по известной формуле , где , : . Итак , , т.е. , где . Далее , используя второе условие , находим , , т.е. . Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид . Замечание. Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как , то , т.е. 3x+2y+2z=0 ; а равенство означает (здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Ответ: . Задача 5. Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S . Решение . Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно : , где - точка , принадлежащая прямой р , - направляющий вектор прямой р . В качестве точки возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами и ( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если , то ; если , то . Для нашей задачи имеем :
Вектор направлен по биссектрисе угла , образованного векторами и . Находим его : . Но векторы вида и - коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор . Итак , уравнение биссектрисы имеет вид : , или после упрощения AD : 7x – y + 5 =0 . Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения в биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки: . Берем и . Получаем : или после упрощения ВС : 2x – 11y + 30 = 0 . Координаты точки в - это решение системы линейных уравнений или Решив ее , например , методом Крамера , , , получим в (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна AD = d(A,D) = . Замечание. Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки в , используя известный из элементарной геометрии факт : точка в делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам , . Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки . 2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула : , где . Имеем в нашей задаче : АН=. Уравнение высоты ищем в общем виде : , где - нормальный вектор прямой р . В нашем случае , а : АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 . Замечание. Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой : . Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме : . 3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл : длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы и мы уже знаем . Находим их векторное произведение : . Итак , (ед.кв.) . Замечание. Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин . Задача 6. Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые и пересекаются под прямым углом ; 2) для точки , плоскости и прямой известно , что и . Решение . 1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой : и В этих уравнениях : - точка , принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем : Условие означает , что , т.е. . Отсюда : , значит l = 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы и . Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 : . Отсюда . Параметры найдены . 2)Известно , что в общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α имеет вид . Из уравнений прямой р получаем : - направляющий вектор прямой , - точка , принадлежащая прямой . Отличное от нуля расстояние означает , что , т.е. . Отсюда получим : , значит А=2 . Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что = ): , . Вычислим эти расстояния : ; ; ; = . Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :
Решениями первого уравнения являются числа . Но второму уравнению удовлетворяет только значение . Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А = 2 , t = -1 . Задача 7. Составить уравнение плоскости α , если известно , что 1) : и , где ; 2) α проходит через точку пересечения прямой и плоскость , причем . Решение . Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M ( x , y , z ) . Далее находим три вектора ,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е. . Это и будет уравнение искомой плоскости . Если же известны некоторый вектор , перпендикулярный искомой плоскости , и точка , принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид . 1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и точки , принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку . Так как , то вектор лежит в плоскости α . Далее ,так как по условию и , то и . Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение . Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α : 23x – 16y + 10z – 153 = 0 . 2)Так как , то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α : . Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t : или Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β , получим , откуда t = -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты , и . Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором : . После упрощения получим . Задача 8. Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону . Решение . Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α , перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α имеет вид , или после упрощения α : . Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :
Найдем точку пересечения р и α : , откуда t =1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 . Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений . В нашей задач имеем . После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника . Замечание. Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α , проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β , проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β , то векторы и лежат в β . Записав условие компланарности этих векторов , получим уравнение β . Объединив уравнения плоскостей α и β в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) . Задача 9. Найти канонические уравнения проекции q прямой на плоскость α : . Решение . Найдем уравнение проектирующей плоскости β , т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р , и перпендикулярной плоскости α .Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости α параллельны плоскости β . Точка и , если - текущая точка β , то вектор лежит в плоскости β . Векторы и - компланарны . Запишем условие этого . После упрощения получаем β : . Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α , получим общие уравнения искомой проекции q прямой р : (1) Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α и β , будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению и т.е. может служить направляющим вектором этой прямой: . Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид . Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α как прямой , проходящей через в направлении . Задача 10. Поворотом системы координат исключить из уравнения член , содержащий произведение переменных . Решение . Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид (2) При повороте системы координат на угол α старые координаты точки (x , y ) связаны с новыми известными формулами После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат : . Здесь : Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α необходимо выбрать таким , чтобы , т.е. . Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α должен удовлетворять уравнению . В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит ,т.е. . Одно из решений этого уравнения . Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :
Итак , повернув систему координат на , мы получим уравнение . Замечание. Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) . Ответ: в новой системе координат линия имеет уравнение . Задача 11. Уравнение линии привести к нормальному виду . Решение . Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :
Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии : (3) . Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий ) . Центр гиперболы расположен в точке , действительная полуось а =2 , мнимая b =3, половина расстояния между фокусами .Вершины : .Фокусы : Гипербола (3) получается из канонической гиперболы путем параллельного переноса центра в точку . Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения , т.е. . Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы
Ответ: нормальное уравнение Задача 12. Провести касательную q к линии : 1) , параллельную прямой 2) , перпендикулярную прямой 3) через точку М(-5;-4), принадлежащую линии; 4) через точку N(5;-7) . Решение . Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными . Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания . 1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой , а именно (т.к. по условию ) . Уравнение касательной запишем в общем виде , а неизвестный параметр С определяем из того условия , что q и имеют единственную общую точку . Другими словами , система уравнений
должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим . Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие . Решая его , находим : Итак , имеется две касательные к , параллельные . Это и . 2)Уравнение прямой запишем в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом : . И уравнение касательной q будем искать в такой же форме : . А так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку , то k =-2 . Неизвестный параметр b находим , как и в предыдущем пункте , из того условия , что система
имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения равен 0 . После преобразований получаем уравнение для b : . Откуда . Итак , имеется две касательных к , перпендикулярные : , . 3)Линия - это гипербола (старшие коэффициенты противоположных знаков). Ее каноническое уравнение . Из него находим : Ее фокусы лежат на оси Ох (коэффициент перед положительный ) и имеют координаты . Найдем векторы , направленные по фокальным радиусам точки М(-5;-4) : и . Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М : . Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор является ее направляющим вектором . Запишем уравнение касательной в канонической форме : . Итак , искомая касательная имеет вид
4)Уравнение касательной будем искать в форме , где , а k – угловой коэффициент прямой q . В нашем случае , а неизвестный параметр k находим , как и в пунктах 1) и 2) , из того условия , что система
имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой : . Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для . Отсюда : Теперь можно составить уравнения искомых касательных : и . Задача 13. Установить , какая линия определяется уравнением . (4) Решение . Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат : . В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме : . (5) Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус и директриса . Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение всегда неотрицательно , то получаем , что абсциссы точек линии (4) удовлетворяют условию , то есть эта линия лежит левее прямой .Итак , данное уравнение определяет левую половину параболы (5) . Ответ: уравнение определяет восходящую ветвь параболы .
1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место указанное соотношение.
. .
при всяких значениях и . 2. Найти вектор , удовлетворяющий указанным условиям.
где
где
3.1 - 18. Выполнить указанные действия над векторами, заданными в различных формах.
3.19 – 25. Найти проекцию вектора на направление вектора .
4. Треугольник ACD задан координатами своих вершин. В каждой задаче, кроме указанного в условии, вычислить площадь треугольника, не находя длины его сторон. Принятые обозначения: точки B, H и M – точки пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника соответственно; BA – биссектриса угла при вершине A; HC – высота, опущенная из вершины C на противоположную сторону; MD – медиана проведенная из вершины D. Сделать чертеж. 4.1 A(3;-5), C(-1;-2), D(-3;3). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) уравнение MC;3) угол между BA и HC. 4.2 A(2;8), C(6;4), D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) уравнение HA;3) угол между BA и MA. 4.3 A(0;5), C(-3;4), D(5;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) точку H; 3)угол между MA и HA. 4.4 A(-8;2), C(2;2), D(10;8). Найти: 1) уравнение и длину BC; 2) точку H; 3)угол между HD и MC. 4.5 A(-2;-3), C(6;-6), D(2;3). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) точку M; 3) угол между MD и MA. 4.6 A(4;-4), C(0;1), D(-2;4). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) уравнение BA;3) угол между HD и BA. 4.7 A(-3;-8), C(9;0) D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) точку M; 3)угол между BD и MD. 4.8 A(0;10), C(4;6) D(-6;4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) углы треугольника. 4.9 A(1;7), C(-2;-2) D(6;2). Найти: 1) уравнение AK║CD; 2) точку H; 3) угол между HC и MA. 4.10 A(8;6), C(2;0) D(6;8). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) уравнение KL, где K и L – середины сторон CD и CA; 3) угол ACM. 4.11 A(8;14), C(16;-2) D(2;-4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MD. 4.12 A(4;2), C(6;-12) D(18;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол CBA. 4.13 A(-7;-3), C(1;9) D(9;3). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) точку M; 3)угол между HC и MA. 4.14 A(-5;-1), C(5;-1) D(13;5). Найти: 1) уравнение и длину MС; 2) точку H; 3) угол между BC и HD. 4.15 A(1;-2), C(-2;0) D(5;6). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) уравнение HA. 4.16 A(2;14), C(-4;-4) D(12;4). Найти: 1) уравнение и длину PQ, где P и Q – середины сторон AC и AD; 2) точку H; 3) угол между MA и HA. 4.17 A(-6;-13), C(12;-7) D(4;17). Найти: 1)уравнение и длину HC; 2)точку B; 3) угол между MC и HC. 4.18 A(2;-8), C(2;2) D(8;10). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол DMC. 4.19 A(0;-1), C(4;5) D(8;-4). Найти: 1) уравнение DK║AC; 2) точку M; 3)угол между HD и MD. 4.20 A(0;4), C(2;-10) D(14;2). Найти: 1) уравнение CD; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол между HC и MA. 4.21 A(4;5), C(-3;-1) D(0;-3). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) уравнение AK║CD; 3) углы треугольника. 4.22 A(3;0), C(-3;2), D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MC. 4.23 A(-2;1), C(6;-5) D(-2;11). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) точку H; 3) угол MAC. 4.24 A(2;4), C(-12;6) D(0;18). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) точку B; 3) расстояние от B до стороны AD. 4.25 A(2;-6), C(-2;-3) D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MC; 2)уравнение HD;3)угол между HD и MC. 5.Установить, какую линию определяет уравнение, определить фокусы, вершины, оси линии, нарисовать ее. 5.1. 4x2 – y2 –8x – 4y – 4 = 0. 5.2. x2 + y2 –2x – 4y + 1 = 0. 5.3. 4y2 – 8x – 4y + 9 = 0. 5.4. x2 – 4y2 + 8y + 4 = 0. 5.5. x2 + 2x + 4y – 7 = 0. 5.6. 4x2 + 4y2 – 8x – 24y + 31 = 0. 5.7. x2 + 4y2 + 4x – 8y + 4 = 0. 5.8. x2 – y2 – 6x – 4y + 1 = 0. 5.9. y2 + 8x – 6y + 25 = 0. 5.10. x2 + y2 + 8x + 2y + 1 = 0. 5.11. 4x2 + y2 – 8x + 4y + 4 = 0. 5.12. 4x2 – y2 – 8x – 6y – 9 = 0. 5.13. y2 - 16x + 6y + 25 = 0. 5.14. 2x2 + 2y2 + 16x – 28y + 53 = 0. 5.15. x2 + 9y2 –2x +18y + 1 = 0. 5.16. x2 – 4y2 – 8x +8y + 16 = 0. 5.17. x2 – 4x – 4y + 12 = 0. 5.18. x2 + y2 – 8x + 2y + 16 = 0. 5.19. 9x2 + 4y2 – 18x + 24y + 9 = 0. 5.20. x2 – 9y2 – 8x + 18y – 2 = 0. 5.21. 3x2 + 3y2 – 42x + 6y + 146 = 0. 5.22. y2 + 10x – 10y + 55 = 0. 5.23. 9x2 – 16y2 – 36x + 32y + 164 = 0. 5.24. y2 – 20x – 14y + 37 = 0. 5.25. 9x2 + 16y2 – 18x + 96y + 9 = 0. 6.Установить , какая линия определяется уравнением , нарисовать ее. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. 6.21. 6.22. 6.23. 6.24. 6.25. 7.1-8.Провести касательные к линии l , параллельные прямой p.
7.1. l : , p: 2x+y-7=0. 7.2. l : , p: 4x-2y+23=0. 7.3. l : , p: 10x-3y+9=0. 7.4. l : , p: 3x-2y+13=0. 7.5. l : , p: 3x-4y+7=0. 7.6. l : , p: 2x+2y-13=0. 7.7. l : , p: x-y-7=0. 7.8. l : , p: 2x-y+3=0. 7.9-16.Провести касательные к линии l , перпендикулярные прямой p. 7.9. l : , p: x-2y+9=0. 7.10. l : , p: 2x-2y-5=0. 7.11. l : , p: 4x+3y-7=0. 7.12. l : , p: 4x+2y-1=0. 7.13. l : , p: y-2x-4=0. 7.14. l : , p: 3x-2y-6=0. 7.15. l : , p: 5x+2y+8=0. 7.16. l : , p: x+y-17=0. 7.17-21.Через точку М провести касательную к линии l . 7.17. M(-9;3), l : . 7.18. M( 2;2), l : . 7.19. M(0;-6), l : . 7.20. M(0;11), l : . 7.21. M( 7;0), l : . 7.22-25.Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается линии l . 7.22. l : . 7.23. l : . 7.24. l : . 7.25. l : . 8. Определить параметры, входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 ) 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 - пересекаются 8.22 p и q – пересекаются 8.23 p и q – пересекаются 8.24 8.25 9. Составить уравнение плоскости и найти расстояние точки N от неё. Выяснить, лежат ли точка N и начало координат по одну или по разные стороны относительно плоскости . 9.1 А. 9.2 . 9.3 . 9.4 линии пересечения плоскостей . 9.5 . 9.6 . 9.7 . 9.8 . 9.9 . 9.10 проходит через линию пересечения плоскостей . 9.11 . 9.12 . 9.13 . 9.14 . 9.15 . 9.16 . 9.17 . 9.18 . 9.19 . 9.20 . 9.21 . 9.22 . 9.23 . 9.24 . 9.25 10.Составить канонические, параметрические или общие уравнения прямой р,проходящей через точку N, используя данные о расположении p относительно других объектов. 10.1 N (-1,2,-3) , p|| q:. 10.2 N (2,2,5) , p ={1,2,0}, ={0,3,7}. 10.3 N (1,0,5) , p||: 3x-y+7z=0 , p пересекается с прямой q: == 10.4 N (2,-3,1) , p ={2,1,-1} , p пересекается с прямой q:. 10.5 N (3,1,0) , p|| : x-3y+z-1=0 , p|| : 2x+3y+z+3=0. 10.6 N (4,-3,1) , p|| : x+2y-3z-1=0 , p пересекается с прямой . 10.7 N (5,7,-5) , pq: == , p и q – пересекаются. 10.8 N (3,2,-2) , p пересекается с прямыми q: и r:. 10.9 N (4,1,-3) , p={3,-2,1} , p пересекается с прямой q: ==. 10.10 N (5,7,3) , p пересекается с прямой q:и pq. 10.11 N (7,1,1) , p={3,4,-1} , p||: 2x-3z+6=0. 10.12 N (-2,3,1) , p: 3x+y+3=0 , p||: 2y-z+1=0. 10.13 N (4,2,1) , p={7,1,2} , pq: . 10.14 N (2,3,2) , p: 3x-2y+z-2=0 , p={2,0,1}. 10.15 N (-3,-,5) , p||:2x-3y-z+1=0 , pq:. 10.16 N (1,7,9) , pq: , p и q –пересекаются. 10.17 N (2,-3,-5) , p={2,-1,-3} , pq: . 10.18 N (7,-3,1) , p={1,-1,2} , p пересекается с прямой q:. 10.19 N (-1,2,1) , p={3,5,1} , p ={1,2,2}. 10.20 N (6,3,7) , p:3x-y+z-2=0 , pq: ==. 10.21 N (4,2,2) , pq:, pr:==. 10.22 N (1,1,3) , p|| :2x-3y-z=0 , pq:. 10.23 N (5,0,1) , p||:x-3y+z=0 , p||:2x+3z-1=0. 10.24 N=q , где q:==, :2x+7y-z+0 ,p|| r:. 10.25 N=q , где, : x+2y+z-13=0 , p. 11. Найти угол между прямой р из задачи 10 и плоскостью из задачи 9. 12.1-4. Найти проекцию точки М на прямую р или плоскость .
12.5-7.Найти расстояние от точки M до прямой p.
12.8-11.Найти точку N , симметричную точке М относительно плоскости или прямой р .
12.12-15.Не находя точку пересечения , доказать , что прямые p и q пересекаются.
12.16-18.Составить уравнение плоскости ,проходящей через прямую р и параллельную прямой q.
12.19-22.Найти расстояние между прямыми p и q .
12.23-25.Составить каноническое уравнение проекции прямой р на плоскость .
Список рекомендованной литературы
1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия . –М.: Наука . –223с. 2.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика : Підручник . –К.: Либідь, 1996. –440с. 3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - СПб.: Спец. лит.,1998. –200с. 4.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –М.: Наука , 1970. –336с. 5.Сборник задач по математике для ВТУЗов . Линейная алгебра и основы математического анализа . / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.:Наука,1986. -462 с. 6.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике . –М.: Высш.шк., 1983. –175с. 7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии . –М. : Наука , 1975. –272с. Содержание Часть 1. Решение типовых задач аналитической геометрии……………3Часть 2. Расчетные задания………………………………………………17 Список рекомендованной литературы…………………………………..30 Учебное изданиеМетодические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 «Программное обеспечение автоматизированных систем» и 7.050102 «Экономическая кибернетика») Составители : Скворцов Анатолий Ефремович Губарев Андрей Анатольевич
|