Учебное пособие: Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003
Название: Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003 Раздел: Остальные рефераты Тип: учебное пособие | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Министерство образования Российской Федерации ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Нижний Новгород 2003 ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ: Метод. указания к лаб.работе / НГТУ; Сост.: Н.В. Марочкин. Н.Новгород, 2003. – 20 с. Рассмотрены основные характеристики цифровых фильтров, методы построения и анализа. Приведены индивидуальные задания по синтезу и анализу цифровых фильтров. Дана методика проведения исследования.
Подп. к печ. 06.06.02. Формат 60х841/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд.л. 0,8. Тираж 200 экз. Заказ 434. 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучить основные характеристики цифровых фильтров (ЦФ), методы построения и анализа. Закрепить теоретические знания проведением экспе-риментального исследования с помощью моделирующей программы. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует посту-пившую на его вход последовательность чисел x (nT ) в другую последова-тельность чисел y (nT ), формируемую на выходе фильтра. ЦФ – дискретное устройство. Если при выполнении арифметических операций числа не подвергаются округлению, выполняются операции задержки, суммирова-ния, умножения на постоянные коэффициенты, то работу ЦФ можно описать линейным разностным уравнением с постоянными параметрами. При постоянном периоде дискретизации Т это уравнение имеет следующий вид: (1) где х( n Т), у( n Т) – входной и выходной дискретные сигналы в момент n Т , , – постоянные параметры уравнения. Как следует из уравнения для формирования выходного отсчета в текущий момент времени n Т исполь-зуются входные и выходные отсчеты, это в общем случае. Для синтеза и анализа ЦФ вводят характеристики, сходные с характе-ристиками аналоговых фильтров. Как известно, для анализа аналоговых непрерывных систем широко используют дифференциальные уравнения. Для упрощения их решения используют преобразование Лапласа. В результате от дифференциальных уравнений переходят к алгебраичес-ким.Функция f( t), которая подвергается преобразованию Лапласа должна удовлетворять следующим требованиям: 1) f ( t )= 0 , при t<0; 2) при t≥0 f ( t ) на каждом конечном отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода; 3) при t→∞ f ( t ) имеет ограниченную скорость роста, т.е. существуют α и М = М( f , α) такие, что │f ( t ) │≤, для t >0. Прямое преобразование Лапласа : , (2) где p =δ+ jw комплексная величина. Переменную следует выбирать так, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции f ( t ), для этого полюсы функции F ( p ) при t ≥0 находились слева от прямой , . Добавляя к этой прямой дугу бесконечного радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования с обходом пути интегрирования против часовой стрелки. Обратное преобразование Лапласа : . (3) Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции F ( p ) . Прямое дискрет-ное преобразование Лапласа: , (4) представляет собой периодическую функцию частоты с периодом . Дискретное преобразование Фурье: , (5) где k=0,1,2…N-1 –число выборок,, – верхняя частота в спектре сигнала, – частота повторения или интервал между соседними отсчета-ми АЧХ, рис. 1, . Рис.1 Спектр дискретного периодического сигнала имеет вид, рис. 2. В изображение по Лапласу входит множитель exp(pT ) – трасцендентная функция комплексной частоты. Это затрудняет переход от одних характе-ристик электрической цепи к другой. Нули и полюсы передаточной фун-кции периодически повторяются. Рис.2 В связи с этим для дискретных систем широкое распространение получило Z -преобразование, получаемое заменой на z, при этом . Такая замена преобразует трасцендентные функции в рациональные фун-кции от z . Периодическое повторение особых точек устраняется, сдвиг на период Т на плоскости Р соответствует повороту на 360º на плоскости комплексной переменной z . Ось частот jω плоскости Р отображается в окружность единичного радиуса, левая полуплоскость – во внутрь, рис. 3. Рис. 3 Z – преобразование записывают так: . (6) Здесь f ( k ) – отсчеты импульсной характеристики аналоговой цепи в дискретные моменты времени 0,Т ,2Т ,…, при замене z = получим: . (7) Это означает, что единичная окружность Z плоскости – геометрическое место точек отсчетов частотной характеристики системы (или отсчетов спектральных составляющих), рис. 4. Рис.4 Если Z – преобразование применить к разностному уравнению ЦФ (1), то получим: , (8) где Н( z ) – системная функция ЦФ, аналогичная по смыслу передаточной функции аналогового фильтра. Н( z ) – есть Z преобразование импульсной характеристики ЦФ. Импульсная характеристика – есть реакция ЦФ на единичный импульс:
Z ( f ( nT ))= 1, поэтому при Х( z )= 1, H( z )= Y ( z ). Системная функция H ( z ) характеризуется положением нулей и полюсов. У физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функ-ции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной P =. Так как , то у устойчивого ЦФ полюсы системной функции H ( z ) должны располагаться внутри окружности еди-ничного радиуса. Системная функция H ( z ) связана с частотной характеристикой ЦФ следующим образом. Если подать на вход ЦФ дискретный гармонический сигнал , то сигнал на выходе ЦФ , где – частотная характеристика ЦФ. В соответствии с разностным уравнением (1): . (9) Это выражение совпадает с H ( z ), если в нем заменить z -1 на , таким образом . Частотная характеристика периодическая функция частоты, рис. 5. Рис.5 Если период дискретизации выбран больше чем , то это приведет к искажению частотной характеристики, рис. 6. Рис. 6 Разностное уравнение (1) есть алгоритм функционирование ЦФ. Его изобра-жают в виде структурной схемы ЦФ, рис. 7. Здесь z-1 - элементы задержки на один такт Т , элемент усилитель с коэффициентом усиления а, b ; x ( nT ) – входной дискретный сигнал, у( nT ) – выходной, Т – период дискре-тизации. Рис.7 Цифровой фильтр на рис. 7 имеет обратные связи, это фильтр с бесконеч-ной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр. Если все коэффициен-ты b 1 = b 2 =…= bN =0, то получим фильтр с конечной импульсной характерис-тикой, КИХ-фильтр, он всегда устойчивый. При синтезе ЦФ важно, чтобы фильтр обладал определенной частотной и фазовой характеристикой. Для синтеза БИХ фильтров используют следу-ющие методы: 1) синтез по аналоговому прототипу; 2) синтез по цифровому прототипу; 3) расчет численными методами на ЭВМ. При синтезе по аналоговому прототипу от известной передаточной функции К(р ) аналогового фильтра-прототипа стремятся перейти к разностному уравнению и системной функции H ( z ) ЦФ. Используют следующие методы: 1) метод отображения дифференциалов; 2) инвариантное преобразование импульсной характеристики; 3) согласованное Z-преобразование; 4) метод билинейного преобразования. В методе отображения дифференциалов заменяют дифференциалы на конечные разности:
В случае прямой первой разности переход к Z плоскости производят так: . Метод приближенный поэтому частотные характеристики ЦФ и аналого-вого прототипа могут существенно различаться, возможна потеря устой-чивости. , где bi - комплексная величина. Импульсную характеристику h ( nT ) ЦФ получают дискретизацией h ( t ): . (10) Находят системную функцию: . (11) Полоса пропускания фильтра-прототипа не должна превышать величины π/Т для того, чтобы не было наложения частотных характеристик ЦФ. При согласованном Z-преобразовании полюсы и нули передаточной функции К(р) аналогового фильтра-прототипа отображаются в полюсы и нули системной функции H ( z ) по правилу: b → exp (- bT ), (p + b ) → (1- Z - 1 (exp (- bT ))), (p+a-jb )(p+a+jb )= (p+a ) 2 +b 2 → 1- 2Z- 1 e- aT cosbT+ 2Z- 2 e- 2 aT . Метод неприменим, если нет нулей у прототипа. Если частоты, соответ-ствующие нулям превышают половину частоты дискретизации, то поло-жение нулей цифрового фильтра будет искажаться за счет эффекта нало-жения. В методе билинейного преобразования по передаточной функция К(р) аналогового фильтра-прототипа находят системную функцию ЦФ заменой . (12) Подставляя вместо р выражение через z , получим системную функцию H ( z ), однако H ( z ) не будет дробно-рациональным выражением и не соответствует никакому реальному цифровому устройству. Необходимо подобрать дробно-рациональное выражение, которое совпадало бы с , и при этом сохранялась бы устойчивость фильтра. Для этого используют разложение в ряд : , (13) Ограничиваясь, для упрощения расчетов, одним членом ряда, получаем формулу билинейного преобразования: . (14) Этот переход от плоскости Р к плоскости Z отображает ось jω в единичную окружность │z │=1, точки, расположенные левее оси р= jω оказываются внутри окружности │z │=1. Фильтр сохраняет устойчивость, но не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, т.к. билинейное преобра-зование искажает частотный масштаб (из-за приближения для p ). Если - значение частоты характерной точки частотной характеристики аналого-вого фильтра, то этой характерной точке ЦФ будет соответствовать частота ω ц в соответствии с билинейным преобразованием: (15) Искажение частотного масштаба иллюстрирует рис. 8. Рис.8 Для корректирования искажений нужно внести предыскажения в ана-логовый прототип. Известным характерным точкам нужно поставить в соответствие характерные точки аналогового прототипа ω а в соответствии с выражением (15). При синтезе БИХ ЦФ по цифровому прототипу используется цифровой фильтр НЧ, от него переходят к цифровому фильтру НЧ, ПЧ, ВЧ, режекторному в соответствии с преобразованиями, указанными в табл.1.
Если АЧХ не является ступенчатообразной функцией частоты и синтез по аналоговому прототипу дает больше искажения, применяют расчет БИХ-фильтров численными методами на ЭВМ. При этом численными методами подбирают коэффициенты a , b в разностном уравнении (1), минимизируя величину среднеквадратической ошибки: (16) где H действ (ejωT ), H задан (ejωT ) – частотные характеристики действительная и заданная. При расчете КИХ-фильтров решают задачу аппроксимации АЧХ. Ис-пользуют метод частотной выборки и взвешивания. Метод частотной выборки заключается в том, что если известны отсчеты требуемой АЧХ, то выполнив обратное дискретное преобразование Фурье, можно получить отсчеты h (n ) импульсной характеристики ЦФ. Их исполь-зуют для построения системной функции ЦФ: . (17) Если импульсная характеристика h (n ) задана и бесконечна, то ее ограни-чивают умножением на прямоугольный импульс единичной амплитуды: (18) Использование конечной импульсной характеристики приводит к всплес-кам АЧХ в переходной полосе из-за эффекта Гиббса. Для уменьшения всплесков используют методы оптимизации и взвешивания. При оптимизации АЧХ ЦФ представляют следующим образом: , (19) где Н о (jω ) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (0÷ω 1 ) и (ω 2 ÷ω 3 ), Нк (jω ) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (ω 1 ÷ω 2 ) в переходной полосе, − интерполирующая функция. Положение отсчетов Н к в полосе ω 1 ÷ω 2 (рис. 9), нужно выбрать так, чтобы Н( jω ) приближалась к заданной. Рис.9 Задачу решают методом линейного программирования или с использова-нием алгоритма многократной замены Ремеза. Использование взвешивания применяют для уменьшения пульсации путем умножения импульсной характеристики на специально подобранную весовую функцию, функцию окна. Весовые функции приведены в табл.2, их свойства приведены в табл.3. Таблица 2
В предыдущих методах синтеза не представлялись требования к фазовой характеристике фильтра. Одной из основных особенностей цифровых КИХ-фильтров является то, что их можно построить так, чтобы они имели линейную фазу. Предположим, что число выборок входного сигнала N – нечетно, импульсная характеристика четная: h nc (-n )=h nc (n ), n =0,1…(N -1)/2. фильтр некаузальный (физически нереализуемый, h (n )≠0 при n <0). Частот-ную характеристику фильтра можно записать так: (20) где а (0)=hnc (0), a (n )=2hnc (n), n =1,…,(N -1)/2. Таблица 3
Чтобы получить каузальный (физически реализуемый) фильтр необхо-димо ввести задержку в некаузальную импульсную характеристику в течение интервала времени, который соответствует наличию (N -1)/2 выборок. Частотная характеристика каузального фильтра будет иметь вид: . (21) Для получения отсчетов импульсной характеристики можно использовать обратное дискретное преобразование Фурье выборок АЧХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой представлены в табл.4. На рис. 10 показаны импульсные и частотные характеристики фильтров четырех видов. При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики B (ω) необходимо подобрать коэффициенты Со ,…, Ск частотной характеристики цифрового фильтра Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) так,чтобы выполнялось приближенное равенство Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск )≈ B (ω ). Для реше-ния используют критерии оценки приближения. Среднеквадратический критерий заключается в минимизации интегра-ла в заданной полосе частот ω 1 ÷ ω 2 : . (22) Критерий наилучшего равномерного приближения (чебышевский критерий): . (23) Рис.10 Таблица 4
Если использовать среднеквадратический критерий и разложить функцию Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) в ряд Фурье, то можно найти коэффициенты Со ,…, Ск . Для функций Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) двух видов: , (24) коэффициент определяется следующим образом: , (26) где − нормированная частота, − частота дискретизации; D
=2 при l
=0; D
=4 при l
≠0 ; и для выражений (24) и (25) соответственно. . (27) Пользуясь формулой (3), получим: (28) Для фильтра вида 1 отсчеты импульсной характеристики находят так: , l =0,1,…,k -1;, k =(N -1/2), N – нечетное,
Структура ЦФ будет иметь вид, показанный на рис. 11. Рис. 11 Сгладить пульсации частотной характеристики можно путем умножения отсчетов импульсной характеристики на весовое окно g ( l ), тогда вместо коэффициентов получим , l =0,…,(N -1)/2. Найдем коэффициенты для преобразователя Гильберта, идеали-зированная частотная характеристика которого имеет вид: , где Ω – нормированная частота. Выберем В(ω )=-1 в диапазоне при интегрировании в соответствии (3) и , получим: . Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра : , l =1,…,k ; k =(N -1)/2, коэффициенты h (0), h (1), h (k ) антисимметричны коэффициентам h (2k ),…,h (2k -l ): h (l )=-h (2k -l ). Это фильтр вида 3, количество отсчетов импульсной характеристики нечетное. 3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Рис. 12 Ее передаточная функция , где Т* = RC . Заданы величины Т* и Т (Т – период дискретизации). Используйте метод инвариантного преобразования импульсной характеристики. Постройте структурную схему ЦФ, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы. 2. В задании 1 используйте метод билинейного преобразования, постройте структурную схему, фильтра, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы. 3. Используйте метод билинейного преобразования постройте ЦФ с максимально гладкой АЧХ со следующими данными: затухание на частоте среза , 3дб, затухание на частоте , А дБ; частота дискретиации , аналоговый прототип – фильтр Баттерворта с частотной характерис-тикой: , где n – порядок фильтра,. Расчет выполняйте следующим образом. 1) определите аналоговые частоты, соответствующие требуемым и в соответствии с выражением: , 2) из условия затухания А
дб на частоте в сравнении с сигналом на нулевой частоте определите порядок фильтра n
: 3) из справочника [4 ] найдите передаточную функцию прототипа или используйте табл.5; 4) сделайте замену в соответствии с билинейным преобразованием: , получите К (p )→Н (z ); 5) по системной функции H (z) постройте структурную схему ЦФ, АЧХ и ФЧХ. 4. Постройте структурную схему ЦФ преобразователя Гильберта, Исходные данные для расчетов по п.1-4 получите у преподавателя. 5. Полученные результаты по п.1-4 сравните с результатами работы Таблица 5
5. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ
6. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера 2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки 3. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с англ. Под 4. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир. 5. Чернега В.С., Василенко В.А., Бондарев В.Н. Расчет и |