Министерство образования Украины

Национальный технический университет Украины

«Киевский политехнический институт»

Институт телекоммуникационных систем

Теория электрических цепей и сигналов

Методические указания к курсовой работе

«РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ»

Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов

Рассмотрены и одобрены

на заседании института

телекоммуникационных сетей и систем

Протокол №________________________

от _________________________________

Киев - 2002г

УДК 621.395.001

Теория электрических цепей

Методические указания у курсовой работе

«РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ»

Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов

-НТУУ «КПИ», 2002г.

Методические указания включают три раздела:

Математические модели различных режимов работы электронных схем и

методы и алгоритмы расчета различных режимов работы электронных схем.

Методы и алгоритмы анализа чувствительности электронных схем.

Методы и алгоритмы оптимизации электронных схем.

Методические указания к курсовой работе предназначены для выполнения курсовой работы студентами института телекоммуникационных систем НТУУ «КПИ», по вышеупомянутой дисциплине, а также для самостоятельной работы при изучении курса.

Библиография назв.

Рецензенты:

ВВЕДЕНИЕ

Использование персональных электронных вычислительных машин (ПЭВМ) во всех областях человеческой деятельности - характер­ная черта научно-технической революции. ПЭВМ, особенно высоко­производительные, способствуют ускорению прогресса в радиоэлектронной промышленности. Использование ПЭВМ предполагает разработку соответствующего специализированного математического (методы, алгоритмы) и программного обеспечения.

Цель курса изложенного в методических указаниях - помочь в изучение электронных схем как объектов исследования и проектирования, получение навыков формулирования задач исследования и проектирования, овладение методами и алгорит­мами решения задач исследования в проектирования электронных схем, навыками реализации задач в виде программного обеспечения на ПЭВМ. Изложение курса базируется на знаниях студентами курсов математики, физики, теоретических основ электротехники, полупро­водниковых приборов, электронных цепей непрерывного и импульсно­го действия.

В методические указания входит изучение структур, режимов работы, качественных показателей, характеристик электронных схем. Про­цесса проектирования электронных схем, математических моделей компонентов электронных схем, математических моделей электронных схем, методов и алгоритмов анализа математических моделей элек­тронных схем, ознакомление с задачами автоматизации конструирова­ния и изготовления электронных схем, с принципами построения программ моделирования электронных схем и системами автоматизация проектирования.

ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

Транзисторный усилитель (ТРУ), представленный электрической принципиальной схемой (на рис. 1 ), в зависимости от характера вход­ного сигнала может работать в различных режимах. При отсутствии входного сигнала (или постоянном сигнале) усилитель нахо­дится в статическом состоянии (режим постоянного тока). При малом быстроизменяющемся входном сигнале допустимо считать, что транзис­тор проявляет только линейные динамические свойства, и усилитель работает в режиме линейного усиления. При большом быстроизменяющемся входном сигнале транзистор проявляет нелинейные динамические свойства, усилитель функционирует в динамическом нелинейном режиме. В зависимости от формы входного сигнала (гармонический, импульсный) функционирование усилителя может рассматриваться во временной или частотной областях.

Каждый режим работы усилителя можно представить соответствую­щей эквивалентной цепью (схемой) и математической моделью и оце­нить множеством качественных показателей (характеристик, схемных функций) и параметров. Качественные показатели определяются на основе математической модели и проверяются экспериментально. Все множество качественных показателей характеризует свойства и функциональные возможности усилителя в целом. К основным качественным показателем и параметрам усилителя относятся коэффициент передачи (коэффициент усиления) Кр , входное и выходное сопротивлени­ях Zвх, Zвых , динамический диапазон, коэффициент нелинейных искажений, коэффициент шума. Чтобы найти эти качественные показатели необходимо проанализировать усилитель в статическом режиме, в динамическом режиме во временной и частотной областях при большом и малом входных сигналах.

Эквивалентная схема ТРУ для каждого режима имеет свое мно­жество элементов (компонентов) и свою структуру (т.е. специфичное для режима соединение элементов). Так, например, режим малого входного сигнала представляется линейной эквивалентной схемой - соединением линейных элементов, статический режим - нелинейной эквивалентной схемой на постоянном токе и т.д.

Следует отметить, что отмеченные режимы характеризуют работу большинства электронных схем приемно-усилительных устройств и поэтому решение задач расчета схем в этих режимах имеет общее значение.

Множество качественных показателей, определяемых в соответ­ствующем режиме в представляющих задачи анализа, зависит от множества элементов и их параметров - d ^р _э , от структуры их соедине­ния - S ^p , типа входного сигнала (постоянный, частотный, временной):

К^р =F(S ^p , d ^р _э , U ^p ) (1)

где р - cоответствующий режим.

Динамические качественные показатели всегда зависят от исход­ного статического режима, что можно отразить зависимостью:

d ^р _э = ¦ ( К^ст )

Только в пассивных схемах статический режим может ха­рактеризоваться нулевыми значениями переменных. Соотношения вида (1) представляют основные задачи расчета, анализа качественных показателей ТРУ и электронных схем.

Большое значение при проектировании электронных схем имеет решение задач расчета чувствительности качественных показателей по параметрам элементов- S ^р _d , позволяющее определить допуска на параметры, и задач оптимизации, т.е. поиска множества опти­мальных параметров d ^р _опт , обеспечивающих необходимое откло­нение множества качественных показателей от заданных в техническом задании.

Из перечисленных режимов наиболее общим является динамичес­кий режим при воздействии большого сигнала, изменявшегося во вре­мени. Остальные режимы - частные от этого режима.

Динамический нелинейный режим (временная и частотная область) - при большом входном сигнале.

Статический ре­жим наблюдается, когда внешнее воздействие постоянно во времени.

Динамический линейный режим (временная и частотная область) - при малом входном сигнале.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ.

ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ.

Рис.2

В модели Эберса-Молла свойства элементов выражаются следующими соотношениями:

Iк=Iко•( e ^{(К1•Uкб)} -1)= ¦ _К ( U_кб ), К1=1/(m_к • j _Т ), (2)

Iэ=Iэо•( e ^{(К2•Uбэ)} -1)= ¦ _Э ( U_бэ ), К2=1/(m_э • j _Т )

J дк = a _N •I э ,

J дэ = a _I •I к ,

U_{R б} = i _{R б} •R _б

I ск = Ск (U кб )•dU кб /dt,

Ск (U кб )=C кб + Скд = С_о кб /(1-U кб / j _К )^0.5 + С_о кд •I к

С_о кд=К1/(2• p •F _{a i} )

Iсэ=Сэ(Uбэ)•dUбэ/dt,

Сэ(Uбэ)=Cэб+Сэд=С_о кб/(1-Uбэ/ j _К )^0.5 +С_о кд•Iэ

С_о эд=К2/(2• p •F _{a n} )

где, Uкб, Uбэ - напряжение коллектор-база, база-эмиттер соответственно;

К1, К2 - температурный потенциал;

j _т - контактная разность по­тенциалов;

Iко, Iэо - токи насыщения коллекторного и эмитерного переходов;

m_к , m_э - коэффициенты отражающие технологию изготовления транзиторов;

a _N , a _I - коэффициенты усиления по току при нормальном и инверсном режимах;

i _Rб - ток через резистор базы;

R_б - сопротивление базы;

С_о кб , С_о эб - барьерные ем­кости при нулевом смещении;

F _{a n} F _{a i} - предельные частота транзистора при нормальном и инверсном включениях.

Свойства остальных элементов эквивалентной cxeмы ТРУ (рис. 2) для динамического режима описываются соотношениями:

U_R1 = i _R1 •R₁ , U_R2 = i _R2 •R₂ , U_{R б} = i _{R б} •R _б , U_R3 = i _R3 •R₃ , U_R4 = i _R4 •R₄ , U_R5 = i _R5 •R₅ ,

U_R6 = i _R6 •R₆ , U_R7 = i _R7 •R₇

В общем виде можно записать для элементов схемы :

Резисторы: U_Ri = i _Ri •R_i , i - номер резистора (3)

Емкости: i _Cj =C_j • dUcj/dt , j - номер емкости

Источники постоянного тока: J₌ =const

Входное ток: J_~ = ¦ ( t ) =J_м •sin( w •t+ y _J ) - функция времени.

Элементы схемы (или ветви), соединяясь в узлах, образуют в схеме контура. Токи в узлах (сечениях) схемы и напряжения в контурах подчиняются, соответсвенно, первому и второму законам Кирх­гофа;

1. Алгебраическая cyммa токов i в любом узле (в замкнутом сечении) электрической схемы равна нулю (вытекающий ток из узла берется со знаком "+" , втекающий ток в узел берется со знаком "-" )

n

S i= 0 (4)

к =1

2. Алгебраическая сумма напряжений u ветвей в любом кон­туре электрической схемы равна нулю

n

S u = 0

к=1

Уравнения соединений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т.е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т.е. физического содержания ветвей. Поэтому при составлении урав­нений соединений удобно отвлекаться от вида и характеристик вет­вей цепи и заменять их линиями, соединяющими узлы, с сохранением числа ветвей и узлов. В результате получают так называемый линей­ный граф (топологический граф), который представляет совокупность или систему узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ребер) изображаемых отрезками линий, соединяющих любую пару узлов. Таким образом, элементами графа являются узел и ветвь (рис. 3) .

Объединенные множества уравнений ветвей (компонентных уравне­нии (2) , (3) и топологических уравнений (4) составляют мате­матическую модель схемы (ММС) для динамического режима при боль­шом сигнале. Если схема имеет l ветвей, то число уравнений к число переменных ММС равно l •2 при выборе независимых сечений и контуров. Для нашей схема при указанных стрелками направлениях токов уравнение (4) имеет вид :

Узел 1 i _R1 + i _С1 - J_~ =0

Узел 2 - i _{С 1} + i _R3 + i _R2 + i _{R б} =0

Узел 3 - i _{R б} + i _Ск + i _Сэ - i _К - i _Э - i _ДК - i _ДЭ =0 (5)

Узел 4 - i _R5 - i _{С 2} - i _Сэ + i _Э + i _ДЭ =0

Узел 5 i _R4 + i _{С 3} - i _Ск + i _К + i _ДК =0

Узел 6 - i _R4 - i _R2 - i _R7 + J₌ =0

Узел 7 - i _C3 + i _C4 - i _R6 =0

Кроме токов и напряжений ветвей, введем в рассмотрение новые переменные - потенциалы узлов j_i относительно базисного узла ( j ₀ =0 ) . В качестве базисного узла удобно взять узел, общий для входа и вы­хода схемы. Тогда согласно второму закону Кирхгофа, напряжения всех ветвей u и узловые потенциалы j_i связываются соотношениями : u _R1 = j₁ -j₀ , u _C1 = j₁ -j₂ , u _R2 = j₂ -j₆ , u _R3 = j₂ -j₀ , u _С3 = j₅ -j₇ u _Rб = j₂ -j₃ , u _R4 = j₅ -j₆ , u _R6 = j₇ -j₀ , u _R5 = j₀ -j₄ , u _C4 = j₇ -j₀ u _С2 = j₀ -j₄ , u _Cк = j₃ -j₅ , u _Cэ = j₃ -j₄ , u _Iк = j₅ -j₃ , u _Iэ = j₄ -j₃ u _Jдк = j₅ -j₃ , u _Jдэ = j₄ -j₃ (6)

Множества уравнений (5) и (6) можно записать в матричной форме в общем виде | A | • | i |=0 (7)

| u |=| A^t | • | j | (8)

где | i | = | i _R1 , i _С1 , i _R2 ……, J_~ , J₌ |^t - вектор токов всех ветвей схемы;

| u | = | u _R1 , u _С1 , u _R2 ……, u _Jдк , u _Jдэ |^t -вектор напряжений всех ветвей;

| j | = | j₁ , j₂ , j₃ , j₄ ,…. j_q |^t - вектор узловых потенциа­лов;

q - число узлов, t - знак транспонирования.

Матрица |A| , называемая матрицей инциденций узел-ветвь, для схемы представлена на рис.3 и характеризует ее структурные свойства. Матрице |A| и соотношениям (7)-(8) соответствует топологический (направленный) граф схемы, построенный на множестве переменных схемы i , u и j. Граф явля­ется геометрическим образом структуры схемы. На графе выделены узлы j₁ , j₂ , j₃ , j₄ , j₅ , j₆ , j₇ . Выбор направления токов в ветвях графа определяет систему независимых токов в напряжений в МУС. Выразим уравнения (5) используя уравнения (2),(3) и (6) . В результате получим систему уравнений (9) :

Узел 1 ( j₁ -j₀ )/R1 +С1•d( j₁ -j₀ )/dt - J_~ =0

Узел 2 - С1•d( j₁ -j₀ )/dt +( j₂ -j₀ )/R3 +( j₂ -j₆ )/R2 +( j₂ -j₃ )/Rб =0

Узел 3 - ( j₂ -j₃ )/Rб +Ск ¦ ( j₃ -j₅ )•d( j₃ -j₅ )/dt +Сэ ¦ ( j₃ -j₄ )•d( j₃ -

- j₄ )/dt- ¦ _К ( j₅ -j₃ )- ¦ _Э ( j₄ -j₃ ) - a _N • ¦ _{I э} ( j₄ -j₃ ) - a _I • ¦ _{I К} ( j₅ -j₃ )=0

Узел 4 - ( j₀ -j₄ )/R5-С2•d( j₀ -j₄ )/dt-Сэ ¦ ( j₃ -j₄ )•d( j₃ -j₄ )/dt+

+ ¦ _Э ( j₄ -j₃ )+ + a _I • ¦ _{I К} ( j₅ -j₃ )=0 (9)

Узел 5 ( j₅ -j₆ )/R4 +С3•d( j₅ -j₇ )/dt +Ск ¦ ( j₃ -j₅ )•d( j₃ -

-j₅ )/dt+ ¦ _К ( j₅ -j₃ )+ a _N • ¦ _Iэ ( j₄ -j₃ )=0

Узел 6 - ( j₅ -j₆ )/R4 -( j₂ -j₆ )/R2-( j₆ -j₀ )/R7+ J₌ =0

Узел 7 -С3•d( j₅ -j₇ )/dt +С4•d( j₇ -j₀ )/dt -( j₇ -j₀ )/R6 =0

Эти уравнения, называемые узловыми, составлены методом, по­добным методу узловых потенциалов для линейных цепей. Сис­тема (9) - это система алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений относительно переменных j₁ , j₂ , j₃ , j₄ , j₅ , j₆ , j₇ ,J₌ ,J_~ Она состоит из трех групп уравнений: линейных алгебраических (7) , линейных дифференциальных (1,2,6) , нелинейных дифференциальных (остальные уравнения). Соответственно, переменные делятся на линейные Xл=J₌ и J_~ , линейные дифференциальные Xлд= | j₁ , j₂ , j₆ , j₇ |^t нелинейные дифференциальные Xнд= | j₃ , j₄ , j₅ |^t .

С учётом сказанного система (9) может быть записана в сокращен­ном виде:

¦ л=( Xл, Xлд, Xнд)=0; ¦ лд=( Xл, X'лд, Xнд)=0

¦ нд=( Xл, Xлд, X'лд, Xнд, X'нд)=0 (10)

где -¦ л - линейный оператор; ¦ н - нелинейный оператор.

X'нд, X'лд - производные переменных по времени

Множество ветвей схеме (2)-(3) соответственно свойствам их уравнений, можно разделить на характерные подмножества ветвей: (11)

- источников тока J₌ , J_~ ;

- линейных резисторов R и проводимоcтей G ; U_R = i _R •R , или i _R =U_R •G ,где G=1/R

- нелинейных резисторов Iн= ¦ (U_R ) ;

- зависимых источников тока Iд= a •Iн ;

- линейных емкостей i _СЛ = Сл•d(Ucл)/dt ;

- нелинейных емкостей i _СН = Сн ¦ ( Ucн)•d(Ucн)/dt .

Этому разбиению соответствует разбиение топологической мат­рицы |A| на субматрицы и запись топологических урав­нений (7)-(8) в форме

Подставим уравнение (13) в соотношения (11) и результат в (12) . После преобразований получал матричное уравнение: (14)

|А_Е |•| i _Е |+|А_R |•|G|•|А^t _R |•| j |+|А_H |• ¦ (|А^t _H |•| j |)+|А_Д |• a • ¦ _Н (|А^t _Д |•| j |)+

+|А_СЛ |•|С_Л |•d(|А^t _CЛ |•| j |)/dt+|А_СН |•|С_Н ¦ (|А^t _CН |•| j |)|•d(|А^t _CН |•| j |)/dt = 0 Уравнение (14) - это записанное в более общей форме (с уче­том топологических субматриц) уравнение (9) . Подстановка суб­матриц и уравнений ветвей на основе (11), (2), (3) и последующее преобразование дадут в конечном итоге (9) . Уравнение (14) как и (9) можно представить в форме (10) .

Итак, уравнения (9), (6), (2), (3) составляют матема­тическую модель ТРУ в динамическом режиме, а соотношения (14), (13), (11) - математическую модель для динамического режима класса электронных схем, представляемого на основе множества ком­понентов (ветвей) вида (11) . Назовем эту модель ММС-ДР1(Математическая модель схемы - динамический режим 1).

Рис. 4

Выбор дерева на топологическом графе схемы определяет не только системы линейно-независимых уравнений, составленных по за­конам Кирхгофа, но, в конечном итоге, вид и свойства математичес­кой модели схемы.

Наиболее общие топологические свойства электронных схем представляются законами Кирхгофа в форме:

|П_i | =0, (15)

|Р_u |=0, (16)

где |П_i | , |Р_u | - матрицы сечений и контуров.

На самом деле, под |П| , и |Р| в дальнейшем подразумеваются матрицы главных сечений и контуров. Если обобщенные узлы, обра­зуемые сечениями графа, совпадают с вершинами (узлами) графа, то матрица |П| совпадает с |А| . Это случай построения канонических сечения и дерева. Построение дерева (имеется в виду фундаментальное дерево) разбивает ветви графа на ветви дерева (ребра) и ветви, не вошедшие в дерево, называемые хордами (связями). Уравнения Кирхгофа при этом принимают вид

При совпадении фундаментального дерева с деревом графа выполняется соотношение: p =- r ^t , r =- p ^t (19) С учетом этого соотношения (17)-(18) запишутся i _T = - p •i _X , u _Х = p ^t •u _Т (20) (21)

На основе уравнений (20)-(21) может быть составлена ММС в форме нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений (в ви­де уравнений переменных состояния [1,2,4,5] .

Рис.5

Соответствующая матрица сечений П для схемы

Емкостной контур (С2®Сэ®Ск®С3®С4) разорван включе­нием небольшого R7. Матрица |П| разбивается на ряд характерных субматриц

Подставим компонентные уравнения (11) в (20)-(21), в результате получим

С•d(Uc)/dt= p _CRX •G_Х • u_RX + p _CIH +I_H (u_H )+ p _CIД • a • I_H (22)

i _EB = p _EBRX •G _Х • u_RX + p _EBI • I_X ü

ý (23)

i _RB = p _RBRX •G _Х •u_RX + p _RBI •I_X þ

u_RB =R_B • i _RB

В этих уравнениях

Подстановка уравнения (24) в (22) приводит поcледнее к виду (25)

Соотношения (25) , (23) и (24) - ММС в форме уравнений переменных состояния, назовем ее ММС-ДР2. (Математическая модель схемы - динамический режим 1).

В сокращенном виде эти соотношения запишутся в виде

Xд= ¦ д( Xд, Xл, Е_В ), Xд=| Xлд, Xнд|^t , Xл= ¦ л( Xд, Xл, Е_В ) (26)

Второе уравнение можно представить и в форме:

|А|•X= ¦ д( Xд, Е_В )

Если подставить в (23)-(25) значения топологических субматриц p _IJ и параметров ветвей C1,C2,...,R1,R2,.., a и т.п., то получим математическую модель ТРУ для динамического режима при большом воздействующем сигнале.

Сравнение ММС-ДР1 и ММС-ДР2 показывает, что прежде всего они отличаются видом математических уравнений (в первом случае - неявная форма алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений, во вто­ром случае производные, переменных дифференциальных уравнений вы­ражены явно) и числом независимых переменных (в первом случае - это j , во втором - |u_С, u_RX , u_IX |^t - При необходимости получе­ния напряжений и токов всех ветвей в ММС-ДР1 приходится иметь дело с (2• l +q) уравнениями (14), (13) и (11), в ММС-ДР2 с n £ 2• l уравнениями.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В СТАТИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

Схема находится в статическом режиме, если на нее воздейству­ют постоянные во времени сигналы, т.е. при t=t_o (или равном ну­лю)

u _вх (t_o )=Е=const.

При этом токи в емкостях (напря­жения на индуктивностях) равны нулю, что соответствует du_C /dt =0 и d i _L /dt=0 или отсутствию изменений токов и напряжений в схеме. Подставляя эти условия в соотношения (9), (14), (25) полу­чим соответствующие математические модели для статического режи­ма - ММС ТРУ: ММС-Cтl, ММС-Ст2.

Математическая модель ТРУ для статического режима будет иметь вид (9) без членов с производными и при u _вх =Е.

Уравнение (6) остается без изменений и позволяет определить напряжения на всех ветвях (включая емкостные) в статике после на­хождения из (27) j и подстановки в (6) . Необходимые токи ветвей, как и в динамике, можно найти из уравнений (2), (3).

Модель ММС-Ст1 на основе ММС-ДР1 (см. соотношения (14), (13), (11) ) запишется как

|А_Е |•| i _Е |+|А_R |•|G|•|А^t _R |•| j |+|А_H |• ¦ (|А^t _H |•| j |)+|А_Д |• a • ¦ _Н (|А^t _Д |•| j |) = 0 (27)

| u |=|А|^t •| j |, |u | = | u _Е , u _R , u _H , u _Д , u _СЛ , u _СН |^t (28)

I н = ¦ _Н ( u _Н ), I н =| I к , I э |^t ,

I э = a • I н , I д =| I дк , I дэ |^t , a =| ^{a n} _{a i} | (29)

Сокращенно уравнения (27) представляются в форме (см. (10) )

¦ л( Xл, Xн)=0 (30)

¦ н( Xл, Xн)=0

где -¦ л - линейный оператор; ¦ н - нелинейный оператор.

Xл, Xн - независимые переменные, соответственно, линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Из соотношений (25) , (23) , (24) с учетом i _С =0 и u _вх (t_o )=Е получим математическую модель электронных схем ММС-Ст2

i _ЕВ = p _{ЕВ RX} •G _Х •u_RX + p _{ЕВ I} •I _Х I _Х =| I н , I д |^t , (31)

i _{R В} = p _{ЕВ RX} •G _Х •u_RX + p _{R В I} •I _Х u_RX =R _В • i _{R В} ,

Сокращенно ММС-Ст2 имеет вид уравнении (30) .

Если линейные уравнения рассматривать как частный случая нелинейных уравнений, то все ММС-Ст и уравнение (30) можно пред­ставить как одно операторное уравнение

¦ ( X)=0 (32)

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ.

Вообще существует два основных подхода при решении задачи расчета статического режима.

Первый основан на представлении статического режима, к кото­рому стремятся при t ® ¥ переходные процессы в схеме при под­ключении к ней источников питания и входного источника (его по­стоянной составляющей). При этом используются динамическая математическая модель схемы и методы численного интегрирования для ее решения. Второй подход основан на решении алгебро-трансдендентных нелинейных уравнений с применением итерационных, проекционных методов, методов спуска и продолжения решения по па­раметру, комбинированных методов [1,2,4,5] .

Наибольшее распространение при машинном проектировании элек­тронных схем нашел метод Ньютона и его модификации. Пусть задана система нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений ви­да (32) и известно, что в некоторой области G переменных (X₁ , Х₂ ,..., Х_n ) существует единственное решение (X^* ₁ , Х^* ₂ ,..., Х^* _n ) . Метод Ньютона заключается в том, что по начальному приб­лижению переменных (X⁰ ₁ ,Х⁰ ₂ ,...,Х⁰ _n ) находится следующее приближение по формулам :

X_i ¹ = Х _i ⁰ -|W( Х _i ⁰ )|^-1 •¦ ( Х _i ⁰ ) i=1,…n

или

W( Х _i ⁰ ) •D Х _i ⁰ = - ¦ ( Х _i ⁰ ), Х _i ¹ = Х _i ⁰ + D Х _i ⁰ ,

где

¦ (Х_i ⁰ ), - значение левой части системы (32) при Х_i ⁰ , на­зывается вектором невязок,

W(Х_i ⁰ )=d ¦ (Х_i ⁰ )/dХ_i ⁰ - матрица Якоби (якобиан) системы (32),

D Х_i ⁰ - вектор поправок.

По полученным значениям вычисляется

W( Х _i ¹ ) •D Х ₁ ¹ = - ¦ ( Х _i ¹ ), i=1,…,n

Х_i ² = Х_i ¹ + D Х_i ¹ , и т.д.

Если найдено k-е приближение, то (k+1)-e приближение находится по формуле

W(Х_i ^k ) •D Х₁ ^k = - ¦ (Х_i ^k ), (33)

Х_i ^k+1 = Х_i ^k + D Х_i ^k

Если Lim(Х_i ^k )_{k ® ¥} для i=1,…,n . т.е. Х_i ^k ® ¥ (погрешность), то говорят, что метод Ньютона сходится к решению.

Как видно из (33) на каждой итерации процесса приближения к решению требуется вычислять значение вектора невязок ¦ (Х_i ^k ) , Якобиана W=d ¦ (Х_i ^k )/dХ_i ^k , решать систему линейных алгебраичес­ких уравнений относительно вектора поправок D Х_i ^k и находить следующее приближение Х_i ^k+1 через Х_i ^k и D Х_i ^k по формуле суммирования векторов.

Приближенное решение Х_i ^k+1 = Х_i ^* желательно получить с наперед заданной точностью e . На практике достигнутую в процессе итераций точность оценивают по норде вектора поправок D Х_i ^k или по норме вектора невязок [ ¦ (Х_i ^k )] . Очевидно, что при Х_i ^k+1 ® Х_i ^* имеем [ D Х_i ^k ] ® 0 и [ ¦ (Х_i ^k )] ® 0 . Отсюда следу­ет, что вычисления следует прекращать, если [ D Х_i ^k ] < e или [ ¦ (Х_i ^k )] < e . Под номой вектора D Х_i ^k или ¦ (Х_i ^k ) может пониматься либо евклидова норма е - норма

n

[ D Х _i ^k ] = ( S ( D Х _i ^k )² ) ^0.5

i=1

либо S - норма

n

[ D Х_i ^k ] = S | D Х_i ^k |

i=1

либо равномерная норма ( m - норма)

[ D Х_i ^k ] = max | D Х_i ^k |

1 £ i £ n

Скорость сходимости метода Ньютона квадратична

D Х _i ^k+1 £ k •( Х _i ^k )²

где k - константа.

Если ошибка D Х_i ^k мала, например D Х_i << 1 , то после­дующая ошибка будет уменьшаться до увеличенного в k - раз квад­рата предыдущей ошибки. После каждой итерации наблюдается удвое­ние количества правильных десятичных знаков в результате. Для сходимости процесса Ньютона к решению Х^* необходимо, чтобы:

а) начальное приближение Х⁰ было близко задано к корням Х^* ;

б) вектор функция ¦ (Х) должна быть определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой области;

в) матрица Якоби W(Х) должна иметь обрат­ную ограниченную матрицу;

г) матрица вторых частных производных функции ¦ (Х) также должна быть ограничена. Эти условия матема­тически сложны для априорного определения факта сходимости и ско­рости сходимости. Поэтому мы не приводим их строгой математичес­кой формулировки, а поясним на конкретных примерах как они влияют на процесс сходимости и результат решения.

ПРИМЕР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ.

Рассмотрим простейшую математическую модель цепи (рис.6) с диодом для статического режима

Рис.6

-E+Uд+R •Iо•( e ^{Uд / j т} -1)= ¦ ( Uд )=0 (34)

где- Iо, j _Т - параметры модели диода для статического режима;

E, R - параметры цепи.

Якобиан уравнения (34) будет равен:

W( Uд )=d ¦ ( Uд )/d Uд =1+(1/ j _Т ) •R•Iо• e ^{Uд / j т} (35)

Итерационная формула Ньютона (см. (33) ) с учетом (34) и (35) примет вид

U^к д/ j _Т U^к д/ j _Т

[ 1+(1/ j _Т ) •R•Iо• e ] • D U^k д = E-U^к д -R•Iо•( e -1) (36)

U^к+1 _д = U^к _д + D U^к _д

Рис. 7

Процесс решения начинает­ся с начального приближения U⁰ _Д и заканчивается в близкой окрест­ности корня U^* _Д . Видно, что выбор начального приближения U⁰ _Д справа от корня приводит к окончанию итерационного процесса в поиску решения за 3-4 итерации. Наклон касательной в точке, например, [U⁰ _Д , ¦ (U⁰ _Д )] определяется W(U⁰ _Д ) , а приращение меж­ду итерациями D U⁰ _Д - значением якобиана и функции в прежней точке, т.е.

D U⁰ _Д = W^-1 (U⁰ _Д ) • ¦ (U⁰ _Д )

Рис. 9

Для устранения неоправданного роста ¦ (U¹ _Д ) переполнения разрядной сетки ЭВМ в случае экспоненциальных нелинейностей суще­ствует несколько способов [l,2] :

а) введение ограничений на изме­нение напряжения и тока диодов:

Iд £ Iд _макс , Uд £ Uд _макс

6) линеаризация диодных характеристик после Uд _макс , т.е. при­менение соотношений:

ì Iо•(e^{Uд/ j т} -1) при Uд £ Uд _макс = Uдм

Iд= í

î Iо•(e^{Uдм/ j т} -1)•(1+(Uд-Uдм)/ j _Т ) при Uд > Uдм

в) использование вспомогательных соотношений - определение поправ­ки, например, при D U >0 по формуле:

D U^к _Д = j _Т •Ln(1+ D U^к _Д / j _Т )

где D U^к _Д - поправка, вычисленная по обычной итерационной схе­ме Ньютона. Эти идеи переносимы и на другие классы нелинейных функций.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИМЕНЯЕМЫХ ДЛЯ АНАЛИЗА СХЕМ.

При расчете статического режима методом Ньютона (cм. (33) ) возникает необходимость решения, системы линейных алгебраических уравнений на каждой итерации. Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1) точные (прямые) методы

2) итерационные.

Точные методы дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точ­но (без ошибок округления), то решение заданной системы также по­лучается точным.

Итерационные методы служат, как прави­ло, для итерационного улучшения решений, получаемых прямыми мето­дами. Итерационные методы являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вы­числяемых некоторым единообразным процессом (например), рассмот­ренный метод Ньютона, метод простой итерации, метод Некрасова, метод Зейделя и др. [4,5] .

Наиболее простой среди точных методов - метод Гаусса [4,5] . Он основан на идее исключения неизвестных, в результате которого заданная система уравнений

W• D Х= ¦ или А•Х=В

т.е.

а₁₁ •х₁ +а₁₂ •х₂ +а₁₃ •х₃ +……а_1n •х_n =b₁

а₂₁ •х₁ +а₂₂ •х₂ +а₂₃ •х₃ +……а_2n •х_n =b₂ (37)

………………………………………

а_n1 •х₁ + а_n2 •х₂ + а_n3 •х₃ +……а_nn •х_n =b_n

преобразуется в эквивалентную ей систему о верхней треугольной матрицей, решение которой уже не представляет труда. Метод Гаус­са может быть реализован следующим образом. Предположим, что а₁₁ ¹ 0 и разделим первое уравнение системы (37) на коэффициент а₁₁ , называемый ведущим для первого шага,. Затем умножим последователь­но полученное уравнение на а_i1 и (i=2,3,..., n) и вычтем его из соответствующих уравнений (i=2,3,..., n) системы (37) . В ре­зультате неизвестное x₁ будет исключено из всех уравнений за­данной системы, кроме первого, и мы получим систему, эквивалентную (37) вида

х₁ +а₁₂ ⁽¹⁾ •х₂ +а₁₃ ⁽¹⁾ •х₃ +……а_1n ⁽¹⁾ •х_n =b₁ ⁽¹⁾

0+а₂₂ ⁽¹⁾ •х₂ +а₂₃ ⁽¹⁾ •х₃ +……а_2n ⁽¹⁾ •х_n =b₂ ⁽¹⁾ (38)

………………………………………………

0+а_n2 ⁽¹⁾ •х₂ +а_n3 ⁽¹⁾ •х₃ +……а_nn ⁽¹⁾ •х_n =b_n ⁽¹⁾

С этой системой поступаем аналогично, но без учета первого уравнения. Таким образом, на втором шаге фактически преобразуемой является система ( n-1 ) -го порядка с матрицей

| а₂₂ ⁽¹⁾ а₂₃ ⁽¹⁾ …… а_2n ⁽¹⁾ |

| а₃₂ ⁽¹⁾ а₃₃ ⁽¹⁾ …… а_3n ⁽¹⁾ |

| ……………………….. |

| а_n2 ⁽¹⁾ а_n3 ⁽¹⁾ …… а_nn ⁽¹⁾ |

и правой частью | b₂ ⁽¹⁾ b₃ ⁽¹⁾ …… b_n ⁽¹⁾ |^t

После второго шага получаем систему, в которой х₂ будет исключено из всех уравнений, кроме первого и второго. Продолжая описанный процесс, после n -го шага придем к системе, эквивалентной (37) , но с треугольной матрицей

х₁ +а₁₂ ⁽¹⁾ •х₂ +а₁₃ ⁽¹⁾ •х₃ +……а_1n ⁽¹⁾ •х_n =b₁ ⁽¹⁾

0 + х₂ +………………а_2n ⁽²⁾ •х_n =b₂ ⁽²⁾ (39)

………………………………………

………………………………… х _n =b_n ⁽ⁿ⁾

Преобразование системы (37) в систему (39) называется прямым ходом, а решение треугольной системы (39) - обратным хо­дом. Вычислительные формулы этого варианта метода Гаусса, называемого алгоритмом единственного деления, имеют следующий вид:

Прямой ход. s -й шаг (s = 1, 2,……n)

а _{i к} ^(s) = а _{i к} ^(s-1) / а _ss ^(s-1) , b_i ^(s) = b_i ^(s-1) / а _ss ^(s-1) , i=s, к =s,s+1,……,n (40)

а _{i к} ^(s) = а _{i к} ^(s-1) -[ а _{s к} ^(s-1) / а _ss ^(s-1) ]• а _is ^(s-1) ,

b_i ^(s) =b_i ^(s-1) -[ а _is ^(s-1) / а _ss ^(s-1) ]•b_i ^(s-1) , i=s+1, s+1, ………., n к =s, s+1, ……, n

Обратный ход осуществляется по формул

n

x_i =b_i ⁽ⁱ⁾ - S а _{i к} ⁽ⁱ⁾ •x _к , i=n, n-1, ………,1 (41)

к=i+1

Схема единственного деления проста и экономна по числу ариф­метических операций (требует умножений- ( n ³ +3 •n² +n )/3 , сложений- (2 •n ³ +3 •n² +5•n )/6 , делений- n ), однако для ее применения необходи­мо, чтобы вcе ведущие элементы а_ss ^(s-1) (s=1,2,…., n ) были отличны от нуля. Близость ведущих элементов к нулю может привести к большой потере точности вычисленного решения. В связи с этим вво­дятся различные варианты метода Гаусса, например, алгоритм с выбо­ром главных элементов по всей матрице. Порядок исключения неизвестных в заданной системе происходит следующим образом. На каж­дом шаге s (s=1,2,…., n-1 ) из коэффициентов преобразуемой матрицы выбирается наибольший по модулю, называемый главным эле­ментом s -го шага. Стоящее при нем неизвестное исключается по описанному выше правилу. Дня удобства вычислений перед исключением этого неизвестного делают перестановку уравнений и неизвестных так, чтобы главный элемент занял левый верхний угол преобразуемой матрицы. Если s- м шаге наибольший элемент выбирается среди коэффициентов s -го столбца (строки), то такой алгоритм называ­ется алгоритмом с выбором главного элемента по столбцу (отроке). Следует отметать, что процедура обращения матриц путем применения исключений Гaycca требует примерно n³ умножений по сравнению n³ /3 при решении системы линейных уравнений. Поэтому не пред­лагается решать уравнение W • D Х= ¦ путем обращения W .

При решении систем линейных уравнений, в том числе при анали­зе линейных схем, широкое распространение кроме метода Гаусса по­лучили также LU - разложение, метод Краута, методы отражений и вращений [5, Д2] . В случае расчета больших электронных схем мат­рица W имеет значительное количество нулевых элементов (до 80-90 %) т.е. сильно разряжена. Учет этого обстоятельства в специальных мо­дификациях вышеуказанных методов [5, Д2] позволяет резко увели­чить эффективность решения (уменьшить затраты памяти и увеличить скорость решения).

При расчете статического режима ТРУ (см. (9) при условиях статики и (33) ) методом Ньютона потребуется решать систему ли­нейных алгебраических уравнений вида

где ¦ 'к=d ¦ _к j ^к _i /d j ^к _i , ¦ 'э=d ¦ _э j ^к _i /d j ^к _i

i - индекс соответствующе­го потенциала,

W₃₃ = -1/R_Б + ¦ 'э+ a _N • ¦ 'э+ ¦ 'к+ a _I • ¦ 'к

W₄₄ = 1/R₅ + ¦ ' э - a _N • ¦ ' э

Если в вычислении i _Е нет необходимости, то можно решать систему 6-го порядка, удалив последний строку и седьмой столбец в матрице W . Потенциалы на каждой итерации определяются из

j ^к+! _i = j ^к _i - D j ^к _i , к=0,1,2,……..

Если [ D j _i ^k ] < e и [ ¦ ( j _i ^k )] < e , то j _i ^k+1 = j ^* _i т.е. иско­мому решению.

Для моделей ММС-Ст1 и ММС-Ст2 может быть построена итерационная схема (33) подобно тому, как это было сделано для модели ТРУ. Например, матрица Якоби от (27) имеет вид

W( i _Е , j )=|А_Е |+|А_R |•|G|•|А^t _R |+|А_H |• ¦ '(|А^t _H |•| j |)•|А^t _H |+

+|А_Д |• a • ¦ '_Н (|А^t _Д |•| j |)•|А^t _Д | (42)

Чтобы рассчитать методом Ньютона статический режим заданной схемы из класса электронных схем представленного множеством вет­вей (2)-(3) , необходимо по заданной топологической информации (матрацам |А| или |П| ) сформировать не только модели (27….29) или (31) , но и матрицу Якоби. В ЭВМ это осуществляется автомати­чески с помощью специальных алгоритмов формирования модели и Якобиана. Если при решении линейной системы применяется метод разре­женных матриц, то якобиан представляется не в форме матрицы [n x n] , а в виде связанных векторов (множеств) [5] .

Кроме метода Ньютона, при расчете статического режима, т.е. при решении ММС-Ст1 и ММС-Ст2, можно применить другие методы:

-ме­тод Ньютона-Канторовича, требующий вычисления Якобиана только один раз;

-метод наискорейшего спуска, который менее критичный, чем ме­тод Ньютона, к выбору начального приближения, но с меньшей ско­ростью сходимости;

-метод Матвеева - комбинацию из названных;

-методы высокой скорости сходимости [2,4,5].

На основе ММС-Ст рассчитывается ряд качественных показателей, например, потребляемая мощность на постоянном токе - Ро , как сумма мощностей, потребляемых в каждой ветви, передаточная ха­рактеристика Uвых= ¦ (Uвх) при линейном законе изменения Uвх в др. По окончании расчета статического режима находятся также па­раметры малосигнальных моделей приборов. Например, для транзистора определяется

g_K = I'_К •(U^* _КБ ) » D I_К / D U^* _КБ |

| U_КБ= U^* _КБ

r_K =1/g_K , C_K =C_K (U_КБ )

g_Э = I'_Э •(U^* _БЭ ) » D I_Э / D U^* _БЭ |

| U_БЭ= U^* _БЭ

r_Э =1/g_Э , C_Э =C_Э (U_БЭ )

U^* _КБ , U^* _БЭ - значения напряжений в статическом режиме.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ МАЛОМ СИГНАЛЕ.

ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ.

При малом входном сигнале нелинейные функции, описывающие свойства приборов, в окрестности статического режима можно счи­тать линейными и представлять параметрами, рассчитанными (или измеренными) в статическом режиме. Тогда на эквивалентной схеме транзистора (рис.2) диоды будут заменены резисторами r _K и r _Э , нелинейные емкости - постоянными значениями. Математичес­кая модель ТРУ (9) приобретает вид линейных алгебро-дифференциальных уравнений, а ее обобщенный матричный аналог (14) -ММС-ДР1

|А_Е |•| i _Е |+|А_R |•|G|•|А^t _R |•| j |+|А_H |•g_Н •|А^t _H |•| j |+|А_Д |• a • g_Д •|А^t _Д |•| j |+

+|А_СЛ |•|С_Л |•d(|А^t _CЛ |•| j |)/dt+|А_СН |•|С_Н •d(|А^t _CН |,| j |)/dt = 0 (43)

g_Н =|^1/rк _1/rэ |, С_Н =|^Ск _Сэ |

или после перестановок:

и, наконец, в сокращенном виде без уравнения для i _Е

A _j •d(A^t _C , j )/dt=A_{G j} • j + A_U • u (t) (45)

Соответственно ММС ДР2 (см.(23) ) для малого сигнала после алгебраических преобразований с учетом разбиения матриц p ^t _RХ и p ^t _IХ , ( на субматрицы ) запишется как

С•duc/dt=|C|^-1 •[( p _CRX •G_Х • p ^t _CRX + p _CIH •g_H • p ^t _CIX + p _CIД • a •g_H • p ^t _CIX )•uc+ +( p _CRX •G_Х • p ^t _RBRX + p _CIH •g_H • p ^t _RBIX + p _CIД • a •g_H • p ^t _RBIX )•u_RB +

+( p _CRX •G_Х • p ^t _ERX + p _CIH •g_H • p ^t _EIX + p _CIД • a •g_H • p ^t _EIX )•E_B ] (46)

или более сокращенно

dX/dt=A₁ •X +A₂ •X+B₁ • u (t), X= u_C , X_л = u_RB , u (t)=E _B (47)

где A₁ , A₂ , B₁ - матрицы в квадратных скобках, умноженные на |C|^-1 .

Используя подобные преобразования из (23) и (24) , имеем

X_Л =Д₁ •X +Д₂ • u (t) (48)

Подставляя (48) в (47) окончательно получим

dX/dt=(A₁ +A₂ • Д ₂ )•X+(B₁ +A₂ • Д ₂ )• u (t),

или

dX/dt=A•X+B• u (t) = ¦ ( X, t ) (49)

Это уравнение разрешено явно относительно производных dX/dt , а уравнение (45) представлено в неявной форме относительно про­изводных, порядок и вид систем уравнений также различен. Алгоритм формирования уравнений (45) проще, ибо не требует выбора дерева на графе и такого количества операций с матрицами, как при полу­чении (48) .

Задача расчета динамического режима математически формулируется как задача Коши, заключающаяся в том, что ищется решение X( t ) (или j ( t ) ) уравнения (49) (или (45) ), удовлетворяю­щее заданному начальному условию

X( t_О )=X _О =X^* ( j ( t_О )= j ^* )

на интервале t_О £ t £ t_К , t_К - конец интервала.

Условия су­ществования и единственности решения поставленной задачи Коши бу­дем считать выполненными.

При решении численными (конечно-разностными) методами иско­мая функция ищется в отдельных точках интервала [t_О , t_К ], t₀ , t₁ ,…, t_n , …, t_N называемых узлами, в виде таблицы значений X₀ ,X ₁ ,…,X _n ,…,X _N , приближенно равных значениям X(t₁ ) , X(t₂ ) ,…, X(t_n ) ,…, X(t_N ) точного решения X(t) . Расстояние между узлами h =D t =t_n+1 -t_n называется шагом интегрирова­нии и может быть задано либо перед началом вычислений (интегриро­вание с постоянным шагом), либо определяться в процессе вычисле­ний (интегрирование с автоматическим выбором шага).

Большинство численных методов решения рассматриваемой задачи Коши можно представить в виде [l,2,4.5,Д4]

X_n+1 =F(X_n-q , X_n-q+1 ,…,X_n ,X_n+1 ,…, X_n+s ) (50)

где F - некоторая известная функция указанных аргументов, опре­деляемая способом построения метода и зависящая от вида интегри­руемого уравнения и избранной сетки

t _О < t₁ < ….. <t_N =T

При q=0, 0 £ s £ 1 такие вычислительные алгоритмы обычно называют одношаговыми, а при q ³ 1 или s ³ 1 - многошаговыми. Как одношаговые, так и многошаговые метода вида (50) называют явными в случае s=0 и неявными при s=1 . В случае s=1 многошаговые алгоритмы называют методами с забеганием вперед. Многошаговые методы требуют применения специальных вычислительных алгоритмов для нахождения первых q - значений X₁ ,X₂ ,..,X_q

приближенного решения и последних его s-1 значений X_N-S+2 ,X _N-S+3 ,…,X_N .

Ввиду приближенного характера решения на каждом шаге числен­ного интегрирования возникает, так называемая, локальная ошибка:

e _к =|| X_К , X(t_К ) ||

между точным и получаемым решением. Локальная ошибка состоит всег­да из двух компонент:

1) ошибки метода (-или отбрасывания) -e _мк

2) ошибки округления e _rк

Первая зависит от вида численного ал­горитма, используемого при вычислении X_К , а вторая - обуслов­лена конечной длиной машинного слова при реализации алгоритма на ЭВМ. Как ошибка метода, так и ошибка округления накапливаются с увеличением числа шагов. Некоторые методы (численно неустойчивые) способствуют усилению локальной ошибки метода и ошибки округления на каждом шаге так, что через некоторое время возросшая ошибка мо­жет преобладать над самим решением. Устойчивость же метода гаран­тирует, что локальные ошибки не усиливаются, а остаются ограни­ченными для достаточно малой величит шага h при h ® ¥ . Ме­тоды имеют разную область устойчивости и, соответственно, разную величину максимально-возможного шага интегрирования. На результат решения влияет также точность задания начальных условий. На прак­тике для расчетов имеет смысл применять сходящиеся методы. Метод считается сходящимся в том случае, когда для решения задачи Коши, имеющей единственное решение X(t) , вычисленное решение X(t_К ) при действии указанных факторов, однозначно сходится к X(t) на интервале t_О £ t £ T при t ® ¥ и h=T/n .

Самыми простыми из методов численного интегрирования являют­ся явный и неявный методы Эйлера. Они являются первыми в ряду как одношаговых, так и многошаговых методов. Согласно явному методу Эйлера решение определяется по формуле

X_n+1 = X_n + h• ¦ (X_n , t_n ) + r _n+1 (51)

где

X_n+1 =X(t_n +h), t_n = t_o +n•h,

r _n+1 - ошибка метода (или ошибка отбрасывания),

r _n+1 =(h² /2)• ¦ ''( t_n + Q •h, X_n ) 0 < Q < 1 (52)

или выраженная через конечные разности и значения X_i

r _n+1 =(h² /2)•( D ² •X_n )/h² = (X_n+1 -2•X_n +X_n-1 )/2 (53)

Показатель при h (в нашем случае два) характеризует порядок точности метода.

Геометрически метод Эйлера означает замену интегральной кри­вой, представляющей точное решение X(t ), кусочно-ломаной ли­нией, участки которой параллельны касательной к X(t ) в узлах t_n . Поэтому метод Эйлера называют иначе методом ломаных или ка­сательных.

Если ошибка задана, т.е. r _n+1 = e то шаг интегрирования может быть выбран исходя из ошибки метода

h £ [2• e /( • ¦ ''( t_n , X_n ) ) ]^0.5 (54)

Значительно большие ограничения на шаг интегрирования явного метода Эйлера налагаются из условий устойчивого поведения в про­цессе вычислений [2,6] . Так при интегрировании устойчивой систе­мы линейных дифференциальных уравнений (50) , имеющей, например, р различных действительных отрицательных собственных чисел матрицы А=| l ₁ , l ₂ ,…, l _p |^t решение стремится к нулю, т.е. Lim _{n ® ¥} X_n =0 только при выполнении условия

|1+h• l _i |^t <1, i=1,2,……,p

Учитывая, что l _i , получаем верхнюю границу для величины ша­га интегрирования

h < 2/ l _МАКС (55)

где l _МАКС = _МAX [| l ₁ |,| l ₂ |,| l ₃ |,….,| l _p1 |,]

Известно, что постоянные времени линейной схемы, описываемой системой (50) , связаны с собственными значениями |А| следующим образом: t = -1 / l _i .

Поэтому h < 2• t _МИН , где t _МИН =_МIN [| t ₁ |,| t ₂ |,| t ₃ |,….,| t _p1 |,] Если в системе уравнений имеется боль­шой разброс собственных значений l _i . (говорят, жесткая система) или в схеме большой разброс постоянных времени, то приходится интегрировать с малым шагом даже на участке, где решение изменя­ется медленно (большое t ). Любая попытка увеличения шага незамедлительно приводит к резкому возрастанию погрешности ("взрыву" погрешности).

Неявный метод Эйлера X_n+1 = X_n + h• ¦ (X_n+1 , t_n+1 ) (56)

имеет ошибку метода r _n+1 = -0.5•h² • ¦ ''( X_n , t_n ), (57)

но в отличие от явного метода Эйлера, его свойства устойчивости не накладывают каких-либо ограничений на шаг h . Действительно, из условия устойчивости

1/|1-h• l _i | < 1

и т.к. l _i <0 , то приближенное решение устойчиво для всех h>0 . Шаг интегрирования может быть выбран, основываясь только на сооб­ражениях точности, т.е. по формуле (57) . Применение неявного метода Эйлера для решения жестких систем уравнений (с большим раз­бросом постоянных времени) позволяет получить выигрыш в числе ша­гов h и тем больший, чем больше разброс постоянных времени. Од­нако использование (56) связано с решением на каждом шаге интег­рирования системы нелинейных уравнений для нахождения вектора X_n+1 , если ¦ (X_n ) - нелинейно.

Применение (56) для интегрирования (49) приводит к решению на каждом шаге системы

|1/h - A |•X_n+1 =(1/h)•X_n+1 + B• u (t _n+1 ) (58)

а для решения (45) - системы линейных уравнений

|A _j /h - A_{G j} |• j _n+1 = (A _j /h)• j _n + A _u • u (t _n+1 ) (59)

При явном, методе Эйлера получаем, соответственно системы

X_n+1 =|1+h•A |•X_n + h•B• u (t _n1 ) (60)

(A _j /h)• j _n+1 =|A _j /h + A_{G j} |• j _n + A _u • u (t _n ) (61)

Решение линейных систем может быть произведено методом Гаус­са, либо другим методом решения систем алгебраических уравнений. Следует отметить, что при интегрировании жестких систем, в линейных уравнениях могут возникать плохообусловленные матрицы, что предъявляет дополнительные требования к методам ре­шения линейных систем и ограничивает шаг h

Методы Эйлера, как правило, при анализе динамического режима сложных электронных схем не всегда обеспечивают необходимую точ­ность и эффективность решения. Поэтому применяют методы более сложные, большего порядка точности и в случае решения жестких си­стем, а таковыми в большинстве случаев являются математические модели электронных схем - жестко-устойчивые:

метод Шихмана,

метод Гира,

ФДН,

неявные методы Рунге-Кутта [1,2,5] .

В случае колебательного характера решения предпочтение отдается методу трапеций и неявным методам Рунге-Кутта.

Имея решение (58) -(61) и уравнения (13) ,(23) -(24)

или (49) можно определить почти все токи и напряжения в анали­зируемой схеме и необходимые качественные показатели; коэффициен­ты передачи, входные и выходные сопротивления и прочее.

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКОГО РЕЖИМА ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ.

ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ .

Математические модели для динамического нелинейного режима, детально рассмотренные в разделе "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ. ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ." (9) , (13) , (14) , (23)-(25), можно представить (10) и (26) в двух характерных обобщенных формах

F д (X, X , t)=0, X(t_o )=X^* (62)

и

X = ¦ д (x, t), (63)

где Fд , ¦ д - нелинейные операторы,

X ^* - результат расчета ста­тического режима,

|X|=|X_Д ,X_Н ,X_Л |^t , т.е. в виде нелиней­ных алгебро-дифференциальных уравнений и в нормальной форме обык­новенных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений может быть найдено при использовании явных и неявных методов численного интегрирования. Применяя явный метод Эйлера к (63) найдем реше­ние в узлах t₀ , t₁ , t₂ ,….., t_n , интервала [t₀ ,….. t_К ] по соотноше­нию

X_n+1 = X_n + h• ¦ д(X_n , t_n ) n=0,1,……N (64)

Из уравнения (56) для производной Х получим

X _n+1 =¦ ( X_n+1 , t_n+1 )=( X_n+1 - X_n )/h (65)

Введение из (65) в (62) и (63) позволяет последние свести к конечным нелинейным алгебраическим уравнениям в узлах разностной сетки

Fд ( X_n+1 , ( X_n+1 - X_n )/h, t_n+1 )=0 (66)

( X_n+1 - X_n )/h= ¦ д( X_n+1 , t_n+1 ) (67)

Для решения (66) и (67) применим метод Ньютона. В результате получим алгоритмы расчета динамического режи­ма в виде

| ¶ Fд( X^к _n+1 )/ ¶ X^к _n+1 |• D X^к _n+1 = - Fд( X^к _n+1 , ( X_n+1 - X_n )/h, t_n+1 ) (68)

X^к+1 _n+1 =X^к _n+1 + D X^к _n+1 , к=0,1,2,….,

и

| ¶ ¦ д( X^к _n+1 )/ ¶ X^к _n+1 -1/h |• D X^к _n+1 =¦ д( X^к _n+1 , t_n+1 ) - X^к _n+1 /h + X_n , (69)

X^к+1 _n+1 =X^к _n+1 + D X^к _n+1

Таким образом, расчет динамического режима сводится к решению к -раз на каждом шаге численного интегрирования систем линейных алгебраических уравнений, например, рассмотренным ранее методом Гаусса. Условия сходимости метода Ньютона требуют достаточно хо­рошего начального приближения, точность которого определяет и чис­ло итераций в (68) и (69) . Для его получения рекомендуют [2,5] - один из явных методов (например, метод Эйлера). При этом руковод­ствуются тем, что характеристики устойчивости явного метода не имеют существенного значения при его однократном применении. Сле­дует отметить, что из условий сходимости метода Ньютона вытекают дополнительные ограничения на пределы изменения шага численного интегрирования h . При построении численных алгоритмов приходит­ся также учитывать особенности интегрирующих систем уравнений (например, жесткость), которые могут привести к плохой обусловлен­ности матрицы Якоби и трудностям при решении систем линейных урав­нений. При сильно разреженной матрице Якоби применяют методы ре­шения систем с разреженными матрицами [4,5] .

Компоненты вектора Fд и матрицы Якоби ¶ Fд/ ¶ X для ММС ТРУ вида (9) при подстановке (69) будут

Fд ₁ =(С₁ /h-1/R₁ )• j _1(n+1) - (С₂ /h)• j _2(n+1) -u_вх (t _n+1 )/R1+(С₁ /h)• j _1n +(С₂ /h)• j _2n

Fд ₂ =(С₁ /h)• j _1(n+1) - (С₁ /h+1/R_Б +1/R₂ )• j _2(n+1) + (1/R₃ -1/R_Б +1/R₂ )• j _3(n+1) -

- E ₂ / R₂ +(С₁ /h)• j _1n +(С₂ /h)• j _2n

Fд ₃ =………………………………………………………………………… (70)

Fд ₄ = -[ С_Э (- j _3(n+1) + j _4(n+1) ) / h ]• j _3(n+1) + [ С_Э (- j _3(n+1) + j _4(n+1) ) / h ]• j _4(n+1) -

- a _I ¦ к (- j _3(n+1) + j _4(n+1) ) + ¦ э (- j _3(n+1) + j _4(n+1) + j _5(n+1) /R₅ --

- С_Э (- j _3(n+1) + j _4(n+1) ) / h ]• j _3(n+1) + С_Э (- j _3(n+1) + j _4(n+1) ) / h ]• j _4(n+1)

F д ₅ =………………………………………………………………………………..

F д ₇ = j _2(n+1) /R₂ -- j _5(n+1) /R₄ - i _E(n+1) -- (1/R₂ +1/R₄ )•E (71)

Здесь ¦ 'к, ¦ 'э, С'э - производные от нелинейных функций по соответствующим переменным.

Обобщенные модели (14) и (25) таким же путем, как было сделано для (9) , можно представить в виде (68) и, соответ­ственно, (69) .

На основе системы (14) вектор Fд и матрица Якоби ¶ Fд/ ¶ j запишутся в форме:

Fд= A_СН •[C_Н (A^t _СН , j _n+1 )/h]•A^t _СН • j _n+1 +

+ A_СЛ •(C_Л /h)•A^t _СЛ • j _n+1 +

+ A_Н • ¦ н(A^t _Н , j _n+1 ) +

+ A_Н • a • ¦ н(A^t _Д , j _n+1 )+

+ A_R •G_R •A^t _R • j _n+1 + (72)

+A_E • i _К +

+A _СН •[C _Н (A^* _СН , j _n )/h]•A^t _СН • j _n +

+ A _СЛ •(C _Л /h)•A^t _СЛ • j _n

¶ F д / ¶ j _n+1 = A _СН •[C ' _Н (A^t _СН , j _n+1 )•A^t _СН /h]•A^t _СН • j _n+1 +

+ A _СН •[C _Н (A^t _СН , j _n+1 ) /h]•A^t _СН +

+ A _СЛ •(C _Л /h)•A^t _СЛ +

+ A_Н • ¦ 'н(A^t _Н , j _n+1 )•A_Н ^t + (73)

+ A_Н • a • ¦ 'н(A^t _Д , j _n+1 )•A^t _Д +

+ A_R •G_R •A^t _R +

+ A_E

При реализации на ЭВМ задачи расчета динамического режима для электронной схемы произвольной структуры вектор Fд в Якобиан ¶ Fд/ ¶ j _n+1 формируются по заданной топологии схемы ав­томатически с помощью специальных алгоритмов формирования.

Алгоритм анализа динамического режима, использующий ММC вида (63) или (25) и явные методы численного интегрирования не требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений и казалось бы более эффективен по затратам времени и памяти на ЭВМ, чем (68) или (69) . Но, на самом деле из-за ограничений на шаг, из условий устойчивости явных методов, этот алгоритм, особенно ври интегрировании жестких систем дифференциальных уравнений (c большим разбросом постоянных времени), а таковыми почти всегда являются уравнения электронных схем, оказывается менее аффективным.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ МАЛОМ СИГНАЛЕ.

ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ.

Математические модели для частотной области получаются на основе моделей (43), (45), (49) для временной области при использовании преобразования Лапласа (оператор d/dt заменяется p или j w , а. переменные j (t) ® j (p) и X(t) ® X(p) , u(t) ® u(p) и учете того, что сопротивление источника питания на переменном токе равно нули, т.е. Е=0 .

Тогда уравнение (45) , например, приобретает вид

|A _j •p•A^t _C |• j (p)=|A_{G j} |• j (p)+|A_U |• u (p) (74)

или

|A _j •p•A^t _C - A_{G j} |• j (p)=|A_U |• u (p) (75)

а из (47) -(49) можно получить

|p - A|•Х(p)=В• u (р) (76)

Х_л (р)=[Д₁ •|p-A|^-1 •B+Д₂ ]• u (p) (77)

Качественные показатели или функции схемы (например, коэффи­циенты передачи) определяются из (75)-(77) следующим образом

K _j (p)=[ j (p)/ u (p)]•[ A _u /|A _j •p•A^t _C - A_{G j} |] (78)

K₁ (p)=[X(p)/ u (p)]•[В/(р-А)] (79)

K₂ (p)=[X_л (p)/ u (p)]•[ Д₁ •В/(р-А)+Д ₂ ] (80)

Математическая модель может быть составлена и непосредственно по эквивалентной схеме переменного тока. Например, для рассмат­риваемого нами ТРУ эквивалентная схема, граф схемы и матрица инциденций А представлены ниже.

Рис. 10

Эквивалентная схема ТРУ для режима малого сигнала в частотной области

Рис. 11

Граф схемы ТРУ для режима малого сигнала в частотной области.

Матрица инциденций |А|

Каждая k -я ветвь схемы представляется как обобщенная

i _К = b _К •( u_к +Е_к ) -J_к

где b _К - проводимость ветви, в общем b _К =1/R+p•C+1/(p•L)

Е_к , J_к - источники тока и напряжения в ветви, i _К - ток в ветви,

u_к - напряжение на b _К .

Узловое уравнение вида (63) для данной схемы будет

|Y|•| j |=|I| (81)

где, |Y|=|A|•|Y_B |•|A|^t , |I|=|A| • (|J|-|Y_B |•|E|)

|Y_B |- матрица проводимостей ветвей,

|E| и |J| - вектора источни­ков напряжения и тока ветвей,

| j |=| j ₁ , j ₂ , …. , j ₆ ,|^t - вектор потенциалов узлов.

Матрица проводимостей узлов |Y|

Вектор эквивалентных узловых источников тока

|I|=| -u_вх /R₁ , 0, a •Iэ, 0, a •Iэ, 0|^t .

Напряжение узлов и ветвей

| u |=|A|^t •|j |, | j |=| j ₁ , j ₂ , …. , j ₆ ,|^t , | u |=| u ₁ , u ₂ , …. , u ₁₀ ,|^t .

Коэффициент передачи по напряжению с выхода схемы на вход определится как

К _u = j ₆ / u_вх (82)

а коэффициент передачи по мощности - из выражения

К _u =[ j ² ₆ •(Z₁₁ +R₁ )] / [ u² _вх •Z₆₆ ] (83)

где Z₁₁ и Z₆₆ - соответствующие элементы Y^-1

Поиск решения систем уравнений (75), (76), (81) в оп­ределение качественных показателей (см. (78)-(83) ) связаны с решением систем линейных уравнений (или обращением матриц) с комплексными коэффициентами. Описанные ранее алгоритмы для реше­ния систем линейных уравнений могут быть примене­ны и в данном случае с учетом того, что все величины комплексные. Полное количество операций умножения здесь в 4 раза больше, чем с действительными коэффициентами. Это видно из выражения при умножении двух комплексных чисел Z ₁ , Z ₂

Z ₁ •Z ₂ =(x₁ +jy₁ )•(x₂ +jy₂ )= (x₁ •x₂ - y₁ •y₂ ) + j(x₁ •y₂ + y₁ •x₂ )

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ.

ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ .

При воздействии на схему большого гармонического сигнала с для составлении математической модели схемы в частотной области применяют однократное преобразование Фурье.

Если на нелинейный элемент с характеристикой

¦ (u н₁ , u н₂ ,…, u н_z )

воздействует сигнал большой мощности, то разложение в ряд Фурье имеет вид:

N

¦ _н (t) =(1/2) • S Ф ⁿ • e ^{j(n• w )•t} (84)

n=-N

где

2 p

ó

Ф ⁿ =(1/ p ² )• ô ¦ ( u н₁ , u н₂ ,…, u н_z ) • е^{-j(n • t 1 )} •d t ₁ , t ₁ = w ₁ •t, (85)

õ

0

N

u н_q (t)=(1/4) • S Uⁿ _нq • e ^{j(n• w 1 )•t} q=1,2,……,z t ₁ = w ₁ •t,

n=-N

Ф ⁿ и Uⁿ _нq - комплексные амплитуды гармоник;

n - номер гармоники w ₁ =n• w ;

N -количество используемых гармоник;

Для упрощения записи введем обозначение wⁿ = е^{j(n • t 1 )} (86)

N N w^-n = е ^{-j(n • t 1 )}

а вместо S будем использовать S

n=-N n

учтем также

_N

u (t)=(1/4)• S U ⁿ _{н q} • e ^{j(n• w 1 )•t} (87)

n

_N

i _вх (t)=(1/4)• S I ⁿ _вх • w^-n (88)

n _N

при переходе в частотную область d/dt Û S j(r• w ₁ )

r

Для нелинейного конденсатора i_сн (t)=С( u_с )•d u_с / dt (89)

Комплексные амплитуды определяются из соотношения

2 p

ó n

I _c ⁿ =(j w /4 p ² )• ô С( u_сн )•wⁿ [ S r • U ^r _c •w^-r ]•d t ₁ (90)

õ ^r

0

напряжение на нелинейный конденсаторе

N

u _сн (t)=(1/4) S U _c ⁿ • w^-n (91)

n

ток через нелинейный кондненсатор

N

i _сн (t)=(1/4) S I _c ⁿ • w^-n (92)

n

ток нелинейный резистор

N

i _н (t)=(1/4) S I ⁿ _н • w^-n (93)

n

где

2 p

ó N

I ⁿ _н =(1/ p ² )• ô i _н (t) ( S • U ⁿ _н •w^-n ) • wⁿ d t ₁ (94)