Математика как модель смысловой структуры теоретического знания

Н.П. Чупахин

Проблема смыслообразования в теоретическом знании решается с явления a posteriori потенциальной возможности мироос- воения, называемой далее послеопределенностью А. Ее актуализация с помощью предопределенности миропонимания В и всеопределенности мировоззрения G призвана снять неопределенность мировосприятия N с помощью потребностей, взаимно однозначно удовлетворяемых возможностями А. Математический алгоритм смыслообразования с помощью биекции Галуа состоит из четырех шагов. Четыре независимых направления представлены вершинами координатного тетраэдра трехмерного проективного пространства.

Исследование смысловой структуры теоретического знания мы начнем с изложения философских и математических оснований авторской концепции смыслообразования в области знания [1]. Её принципы гласят:

Мир состоит из множества актуальных и потенциальных возможностей. Реальность складывается из совокупности отношений между элементами множества возможностей. Базовые возможности являются сущностями.

Согласно онтологическому принципу конкретности существования всякая сущность обретает бытие только в определенной системе отношений своих потенциальных атрибутивных свойств к актуальным возможностям действительности. Достаточное основание сохранения сущности состоит в актуализации потенциальных возможностей соответствующих атрибутивных свойств.

Смысл бытия сущности понимается как взаимно однозначное соответствие между её атрибутивными свойствами и актуальными возможностями их существования. Носители смысла - пары сущностей, первая из которых нуждается в удовлетворении возможностями второй. Смысл - необходимое и достаточное условие явления сущности в бытии.

Гносеологическая определенность смысла в знании зависит от отношения четырех параметров: неопределенности (узнавания), предопределенности (гипотезы), послеопределенности (доопределения) и всеопределенности (подтверждения гипотезы), связанных алгоритмом взаимно однозначного соответствия.

Математическая модель траектории смысла представляет собой сечение проективного расслоения возможностей. Отношение соответствия возможностей - подмножество множества всех пар возможностей, удовлетворяющее условиям математической структуры декартова произведения.

Согласно первому из них весь мир является миром потенциальных и актуальных возможностей. Знание - это потенциальная возможность, актуализация которой истинна. Истину, в свою очередь, можно определить как отношение принадлежности исследуемого объекта к некоторому множеству (см, например: [2]). Знание является первоначальным элементом культурного мира явлений органической и неорганической сфер существующей реальности, пронизанных, по определению П.А. Сорокина [3], нематериальным компонентом смысла. Знание о совокупности актуализирующих потенциальные возможности отношений на декартовом произведении множеств всех возможностей, как окружающего человека мира, так и его собственных возможностей, является теоретическим. Теоретическое знание выявляет производную от элементов культурного мира сущность смыслообразующих возможностей объекта с точностью до определения траектории смысла его бытия. Проблема смысловыявления в культурном мире связана, в первую очередь, с выделением области мира возможностей как объекта изысканий. В пределах этой области выделяются: основное множество возможностей (ОМ), их основные (ОО), производные (ПО) и инвариантные отношения (ПО), что и составляет предмет исследований, который, в свою очередь, делится на две смысловых области: культуру предмета (декартово произведение ОМ*ИО) и предметную культуру (декартово произведение ОО*ПО). Инвариантные отношения определяют отношения классов (ОК), т.е. классификацию подмножеств элементов основного множества. Отсюда следует, что культура объекта как множество носителей смыслов определяется декартовым произведением языка теории (обозначений (О)) на отношения классов, т.е. О*ОК. В математике, например, отношения точек и чисел исторически и логически привели к открытию координатного метода (Декарт и Ферма) описания пространственных отношений, обобщенного в дальнейшем на понятие декартова (прямого) произведения элементов, сначала числовых множеств, а затем и множеств элементов произвольной природы.

Методология смысла как соответствия редуцируется к философским концептам смысла А.Ф. Лосева [4] и Л. Витгенштейна [5] и отражает процесс образования необходимых и достаточных условий сохранения сущности самих носителей смысла. Отношение соответствия в любой теории выполняется на подмножестве соответствующих пар (кортежей) элементов множества всех возможностей объектов этой теории, т.е. на подмножестве декартова произведения. Если это произведение составлено из элементов потенциальных и актуальных возможностей, то взаимная однозначность соответствия этих возможностей свидетельствует о смысле изучаемого объекта в его сущности. Смысл как необходимое и достаточное условие явления сущности в бытии (см. третий принцип концепции смыслообразования) интерпретируется с помощью множества своих носителей в культурном мире (пространстве культуры), содержащем в виде подмногообразия или подпространства и науку, и образование, и философию. Культурный мир, в свою очередь, может быть представлен как субъект-объектное многообразие носителей смыслов материальной и духовной деятельности человека. Сама смыслообразующая деятельность и осуществляющий её человек являются элементами культурного мира, носителями его культуры и смысла.

Что сближает философию с математикой в целостном осмыслении мира? Имеет место неоднозначное отношение к математике со стороны философов. Признавая роль математики в естественно-научном исследовании, Кант, Гегель и Гуссерль категорически отрицали ее философские возможности. Декарт и Лейбниц, напротив, считали математику источником философских методов, признавая за ней эпистемологическую универсальность. Кант понимал математическую деятельность как «познание посредством конструирования понятий» (см. [6]), причем «познание, занимающееся не столько предметами, сколько видами /способами/ нашего познания предметов, поскольку это /способ познания/ должно быть возможным a priori» [7. С. 44]. Познание - способ построения культурного мира как с помощью математики, так и с помощью философии. С одной стороны, всеобщий характер философского знания, обусловленный предельной абстрактностью философских понятий, а с другой - предельная общность математических объектов (точки, числа) как первообразных элементов (неопределяемых, т.е. лишенных каких-либо качеств), с помощью которых устанавливаются отношения, истинные во всех возможных мирах (В.В. Целищев [8]). Поэтому и существует возможность отобразить любые, в том числе и обобщенные философские сущности, на подмножества множеств точек геометрического пространства. Для этого необходимо решить проблему выбора координатной сети категорий и понятий отдельных областей культурного мира. Современное понимание всеобщих и локальных проявлений материального и духовного единства мира, с учетом его структурной неоднородности, количественной и качественной бесконечности невозможно без установления смысла знания этих явлений. Интерпретация представления об интенции возможности как векторе позволяет с помощью фундаментальных философских понятий охарактеризовать траекторию смысла знания на уровнях как науки, так и образования. Геометрически существование смысла можно представить в виде траектории (подмногообразия, линии, поверхности) на многообразии возможностей как точек некоторого пространства. Эта траектория - график смысловой функции. Её структура - алгоритм смыслообразования, полученный с помощью биекции (взаимно однозначного соответствия), носящей имя знаменитого французского математика Эвариста Галуа. Сущность алгоритма соответствия Галуа - в пересечении подмножеств основного концептуального множества потенциальных и актуальных возможностей всех сущностей.

Философская всеобщность подхода со стороны соответствия как бинарного отношения на множествах обеспечивается первоначалом самих множеств. Поскольку они состоят из элементов произвольной природы, то представляют всё мыслимое и немыслимое, явленное и скрытое, материальное и идеальное, реальное и мистическое, рациональное и трансцендентальное, действительное и возможное (как вероятное), существующее и несуществующее, необходимое и случайное, разумное и неразумное, истинное и ложное, сознательное и бессознательное, благо и зло, бытие и небытие, веру и безверие, волю и безволие, закон и беззаконие, положительное и отрицательное, хаос и порядок, красоту и безобразие и т.д., и т.п. - короче, множество всех событий объективной, субъективной и трансцендентной реальности. Всё может быть поставлено в соответствие: одно - другому, другое - третьему и т.д. Здесь нет других правил, кроме правила составления пары (a, b) элементов а из множества А и элементов b из множества В. Пара есть всегда. Даже если не будет двух элементов, может возникнуть пара из дважды взятого одного элемента.

Соответствие в математике - одно из основных понятий. Оно вводится с помощью понятия бинарного отношения для двух, в общем случае, различных или однотипных множеств или математических структур А и В. Бинарное отношение - подмножество R называемого декартовым произведением АхВ множества всех пар (a, b) элементов из А и В. Элементы пары (a, b), находящиеся в бинарном отношении aRb, называются соответствующими друг другу. В общем случае бинарное отношение (соответствие) R является элементом булевой алгебры. Геометрическое построение траектории смысла как подмножества декартова произведения проводится в многомерном точечно-векторном пространстве. Например, в трехмерном случае траектория смысла является пространственной кривой или двумерной поверхностью. В обобщенном виде многообразию носителей смыслов соответствует геометрическая траектория не только точек, но и более сложных элементов многомерного геометрического образа.

Алгоритм отыскания смысла, определяющий структуру смысловой функции в окружающем человека сложном мире, выстраивается с помощью умножения отношений, т.е. является сложной смысловой функцией, зависящей от многих аргументов. Проблема смыслообразования начинается с явления a posteriori потенциальной возможности доопределения послеопределенности А, интерпретируемой в философии как мироосвоение. Ее актуализация с помощью гипотезы предопределенности В (миропонимания) и подтверждения гипотезы во всеопределенности G (мировоззрении) призвана снять неопределенность N (мировосприятия) потенциальных возможностей узнавания, т.е. обеспечить А актуальными возможностями G. Алгоритмические параметры A, B, G, N являются параметрами смысла, а их независимая совокупность - параметрической базой смысла. Проблемы, рожденные послеопределенностью А научного поиска, образуют класс неопределенности (узнаваемости) N, представляющий множество вероятных и невероятных целей. Для снятия неопределенности необходимо установить два соответствия Галуа: 1) между A и N, что придает смысл постановке задачи сохранения сущности А, ее интенции (цели) N и будет смыслом постановки проблемы; 2) между В и G, что откроет смысл решения проблемы как смысл алгоритма, организующего средства достижения поставленной выше цели. В соответствии Галуа Г параметры A и N входят во множество X потенциальных возможностей, а параметры В и G - во множество Y актуальных возможностей и связаны между собой с помощью следующего алгоритма решения проблемы смысло- образования: 1) ЦЕЛЬ: Постановка проблемы. Здесь соответствия Г(А) и Г-1(G) открывают такие смыслообразующие возможности цели N, без которых смысла нет (необходимость параметра N); 2) ВОЗМОЖНОСТИ-ГИПОТЕЗА: гипотеза решения. С помощью Г1 (G) определяются классы условий А, которые отображением Г(А) переводятся во множество теорий В в виде гипотезы алгоритма решения проблемы, удовлетворяющей А;3)ГИПОТЕЗА-

АЛГОРИТМ: алгоритм решения проблемы. Исходя из предписаний алгоритма В, с помощью Г1 (В) и T(N) определяется множество средств G («выход» из алгоритма). 4) АЛГОРИТМ-РЕШЕНИЕ: актуализация потенциальных возможностей. Определенные на предыдущем шаге значения цели из N с помощью T(N) и Г-1 (В) выявляют достаточные для ее удовлетворения актуальные возможности послеопределенности А (достаточность параметра А). Параметрическая база смысла положена в основу геометрической интерпретации траектории смысла и процесса смыслообразования.

Мировоззренческая интерпретация математических оснований моделирования знания о культурном мире соответствует принципам системного построения сети философских категорий (В.Н. Сагатовский [9], М.Р. Ра- довель [10]). С помощью философской интерпретации декартовой системы координат закладываются основы координации смыслообразующих возможностей знания. Изучение процесса познания дает возможность определить, какие стороны смыслообразования в научном знании составляют его базовую сущность. Соответствующие категории интерпретируются как базисные элементы геометрической системы координат. Поскольку категории являются элементами системы философских возможностей, то в абстрактном геометрическом пространстве они поставлены в соответствие точкам плоскости, изображающей эту систему. Смысл, определенный на множестве отношений актуальных и потенциальных возможностей двух сущностей, обозначен точкой соответствующего подмножества декартова произведения. Он определяется в соответствии с теми теориями (научными, теологическими и философскими), принципы которых лежат в основе построения картины мира. В целом каждую картину мира можно интерпретировать как расслоенное пространство над общей базой смыслового многообразия. Методология такой интерпретации должна соответствовать методологии построения этой картины, т.е. быть философски общезначимой. В геометрии наиболее общими свойствами обладают проективные многообразия точек. Поэтому модель культурного мира рассматривается именно как проективное расслоение носителей смысла.

Таким образом, проблемы мировосприятия, миропонимания, мировоззрения и мироосвоения культурного мира соответствуют отношениям четырех линейно независимых (базисных) векторов четырехмерного векторного пространства. Этим векторы определяют четыре базисных точки в трехмерном проективном пространстве - вершины системы координат (базиса, или координатного тетраэдра) этого пространства. В эпистемологической интерпретации базисные векторы охарактеризованы как направления: A - неопределенности (узнаваемости) мировосприятия, B - предопределенности (гипотезы) миропонимания, G - всеопреде- ленности (подтверждения гипотезы) мировоззрения и A - послеопределенности (доопределения) мироосвое- ния. Соответственно, буквами A, B, G, N обозначены базисные точки проективной системы координат. Их взаимосвязь, полученная с помощью алгоритма соответствия Галуа, определяет структуру смысловой функции. Расположение параметров смыслового базиса на пространственной диаграмме аналогично проективному отношению базисных точек в координатном тетраэдре трехмерного проективного пространства, что создает потенциальные возможности для построения геометрической модели траектории смысла как годографа (геометрического места концов радиус-векторов S) смысловой вектор-функции. Каждому ребру тетраэдра соответствует два отображения Г и Т^1. Четыре грани соответствуют четырем шагам решения проблемы смысла, по Галуа. Поскольку биекция Галуа между потребностями и удовлетворяющими их возможностями является основой процесса смыслообра- зования, то ее алгоритмические параметры являются параметрами смысла, а их независимая совокупность - параметрической базой смысла. Параметры А, В, G, N независимы и принадлежат разным множествам возможностей, которые характеризуются по Гегелю [11], современными отношениями категорий возможность и действительность [12]: А - множество элементов реальной действительности; В - реальные возможности; G - формальная действительность; N - формальные возможности. Каждому ребру тетраэдра соответствует взаимно однозначное отображение. Четыре грани изображают четыре шага решения проблемы смыслообразования, по Галуа. Плоскости этих граней будем называть, соответственно: (A, B, N) - онтологической, (A, G, N) - феноменологической, (A, B, G) - логической и (B, G, N) - гносеологической. Тогда можно сказать, что постановка проблемы осуществляется последовательно в феноменологической и логической плоскостях, в логической плоскости, кроме того, разрабатывается гипотеза алгоритма решения, а решение проблемы осуществляется в гносеологической (для науки - эпистемологической) и онтологической плоскостях.

Соответствие между множеством полученных a posteriori элементов реальной действительности А и множеством формально возможных элементов N устанавливается при выборе языка теории и обозначений (О) и закрепляется понятийным аппаратом на всех этапах построения данной теории. На этом этапе возникает и основное множество теории (ОМ) как соответствие между формальными возможностями N и элементами формальной действительности G.

Соответствие между А и G определяется основными отношениями (ОО) (аксиомами, постулатами, первичными неопределяемыми понятиями и т.п.) между элементами основного множества. Основные отношения являются теоретической базой для выдвижения гипотезы, построенной a priori на элементах множества реальных возможностей В для описания реальной действительности из А.

Соответствие между В и N дает основное содержание теории в виде производных отношений (ПО). А с помощью соответствия между В и G определяются инвариантные отношения (ИО), т.е. получаются инварианты теории. Инвариантные отношения, полученные на этом этапе, далее следует отнести к основным отношениям теории.

Наконец, соответствие между A и В создает отношение классов (ОК) на основном множестве теории, или классификацию объектов теории по их инвариантным свойствам, что, в целом, и является целью построения теории.

Таким образом, структура теории состоит из шести компонентов: О - обозначения (язык теории); ОМ - основное множество; ОО - основные отношения на

ОМ; ПО - производные отношения на ОМ; ИО - инвариантные отношения между элементами ОМ; ОК - отношения классов, или классы элементов из ОМ. Однако выбором основного множества построение теории не ограничивается. Как правило, при построении одной теории из множества элементов всеопределенности G с помощью гипотетических предположений множества предопределенности В приходится привлекать инвариантные отношения других теорий. Последние для данной теории входят в множество ОО.

Отсюда следует, что с помощью четырех параметров A, B, G, N алгоритма смыслообразования построение модели теоретического знания в культурном мире получается за счет: 1) смысла объектов формальной действительности G; 2) смыслов предметной деятельности (методологический аспект), параметризованной реальной возможностью B на бесконечном многообразии параметров формальной возможности N, и 3) смысла предмета деятельности (параметр реальной действительности А). Иными словами, культура знания - это культура объекта + культура предмета + предметная культура.

Геометрические характеристики и условия существования траектории смысла интерпретируются в науке, образовании и других областях культурного мира как условия смысла бытия соответствующих сущностей. Слои над точкой траектории смысла - это многообразия структур различных областей науки или образования, искусства или техники, политики или экологии - всех подпространств культурного пространства. Каждая отдельная структура - сечение слоя. «Философскими сечениями» слоя могут быть, например, и классические системы категорий (Аристотель, Кант, Гегель и др.), и современные схемы (В.С. Степин [13] и др.). Отдельно можно рассматривать сечения как строки и столбцы матрицы-таблицы «периодических элементов смысла», как у С.Б. Чернышева [14], или как какие-либо другие системы. Важно при этом соотносить все структуры с одной и той же «точкой смысла» (рассматривать в одном и том же смысле), чтобы разные представления имели один и тот же смысл, соответствовали одному и тому же набору философских координат-понятий. Поскольку точка смысла зависит от четырех базисных координат (мировосприятия, миропонимания, мировоззрения и мироосвоения), то от них же зависят и «координатные системы» философии, науки, образования и т.д. Эти системы отличаются друг от друга носителями смысла, например: для математики - это точки, для философии - сущности, для науки - явления, для образования - навыки, для техники - способы и т.д.

Общими для всех областей культурного мира являются свойства отношений на множествах носителей смысла. В частности, определение математики можно сформулировать так: математика - это отношения точек и чисел на декартовом произведении множеств элементов произвольной природы. Такое определение не противоречит представлению Ф. Энгельса [15. С. 37] о математике как науке, объектом которой являются «пространственные формы» (в точечной интерпретации) и «количественные отношения» (в числовой интерпретации), принимающие «чрезвычайно абстрактную форму» (декартова произведения) множеств элементов произвольной природы, чье «происхождение из внешнего мира слабо затушевано абстракцией отделения от содержания» как чего-то совершенно «безразличного». Отношение, согласно алгебраическому определению, есть подмножество декартова произведения двух, трех и т. д. множеств элементов произвольной природы. В чистом виде такая парадигма математики - это теория отношений в системе координат.

Предлагаемая здесь парадигма математики - это теория отношений, связывающих различные системы смысловых координат-понятий ее областей. Система смысловых координат является базой расслоенного пространства математической теории. С каждой точкой смысла этой базы связано декартово произведение всех областей математики: алгебраических, геометрических, функциональных и др. Поскольку явление в одной области математики интерпретируется с помощью отношений в других ее областях (горизонтальные связи), то в целом за счет таких интерпретаций в каждой точке траектории смысла выстраивается сечение математического расслоения. Это сечение биективно соответствует траектории смысла изучаемого объекта. В конечном счете, получается, что моделью математики является расслоенное пространство отношений точек и чисел на декартовом произведении множеств элементов произвольной природы.

Заметим, что в общем случае расслоение - модель любой теории, а структура теории - замкнутые многообразия соответствующих сечений этого расслоения.

Список литературы

ЧупахинН.П. Философские аспекты смысла математической культуры // Философия математики: актуальные проблемы: Материалы Междунар. науч. конф. М.: Издатель Савин С.А., 2007. С. 456-458.

Светлов В.А. Почему математические истины необходимо истинны // Философия математики: актуальные проблемы: Материалы Междунар. науч. конф. М.: Издатель Савин С.А., 2007. С. 61-63.

СорокинП.А. Моя философия - интегрализм // Социологические исследования. 1992. № 10. С. 134-139.

ЛосевА.Ф. Миф - Число - Сущность / Сост. А.А. Тахо-Годи; Общ. ред. А.А. Тахо-Годи, И.И. Маханькова. М.: Мысль, 1994.

Витгенштейн Л. Философские работы. М.: Гнозис, 1994.

Катречко С.Л. Трансцендентальная философия математики // Философия математики: актуальные проблемы: Материалы Междунар. науч. конф. М.: Издатель Савин С.А., 2007. С. 31-33.

Кант И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994.

Целищев В.В. Философские проблемы семантики возможных миров. Новосибирск: Наука, 1977.

Сагатовский В.Н. Основы систематизации всеобщих категорий. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1973.

Радовель М.Р. Категориальная структура исследовательского мышления. Ростов н/Д: Изд-во Ростов. ун-та, 1993.

Гегель Г.В.Ф. Наука логики. М.: Мысль, 1999.

Книгин А.Н. Учение о категориях: Учеб. пособие. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.

Степин В. С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-Традиция, 2000.

Чернышев С.Б. Смысл. Периодическая система его элементов. М.: Мартис, 1993.

Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20.