Шпаргалка: Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Название: Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)2 = а2 ± 2ав + в2

(а ± в)3 = а3 ± 3а2 в + 3ав2 ± в3

а2 - в2 = (а + в) (а - в)

а3 + в3 = (а + в) (а2 - ав + в2 )

а3 - в3 = (а - в) (а2 + ав + в2 )

(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс

Степени.

ам ан = ам + н

ам : ан = ам - н

(ав)м = ам вм

м )н = амн

(а : в)м = ам : вм

а- м = 1 : ам

ам : н = н Ö ам

Корни.

н Öав =н Öа н Öв

н Öа м Öв = н м Öам вн

н Öа : в = н Öа :н Öв

(н Öам )х = н Öам х

н Öам = ам/н

м Öн Öа = мн Öа

(н Öа)м = н Öам

Арифметическая прогрессия.

а1 , а2 , а3 , …, аn -1 , аn

аn -1 - аn = d

d – разность прогрессии

а2 = а1 + d

а3 = а2 + в = а1 + 2d

аn = а1 + d(n-1)

Sn = (а1 + аn ) n = (2а1 + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

прогрессии.

d – разность прогрессии.

d > 0 – прогрессия возрастающая

d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

а1 , а2 , а3 , …, аn -1 , аn

аn +1 / аn = q

а2 = а1 q

q - знаменатель прогрессии.

а3 = а2 q = а1 q2

аn = а1 qn -1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = аn q - а1 = а1 (qn -1 : q – 1)

q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а1 (1 - qn )

1 - q

Сумма членов бесконечно убывающей

Прогрессии

Sn = а1

1 - q

Вектора.

а = М1 М2 ={х2 – х1 , у2 – у1 , z2 –z1 }

Длина вектора

çа ç=Ö(х2 - х1 )2 +(у2 - у1 )2 + (z2 - z1 )2

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcosj

cosj = х1 х2 + у1 у2 + z1 z2

Öх1 2 + у1 2 +z1 2 Öх2 22 2 + z2 2

а2 = çа ç2

а в = х1 х2 + у1 у2 + z1 z2

Параллельность векторов

а ççв, то х1 = у1 = z1

х2 у2 z2

Перпендикулярность векторов

а ^ в, то х1 х2 + у1 у2 + z1 z2

Производная.

(c u)¢ = с u¢

u ¢ = u¢ v – u v¢

v v2

(c)¢ = 0

(xn )¢ = n xn-1

(ax )¢= ax ln a

х )¢ =ех

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = - sin x

(tg x)¢ = 1

cos2 x

(ctg x)¢ = - 1

sin2 x

(ln x)¢ = 1

х

(1 / х)¢ = - 1

х2

(Öх)¢ = 1

2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

logа в = с

logа 1 = 0

logа а = 1

logа (mn) = logа m + logа n

logа m = logа m - logа n

n

logа mn = nlogа m

logа n Öm = 1 logа m

n

logа в = logс в

logс а

Основные тригонометрические тождества

sin2 x + cos2 x = 1

tg x = sin x

cos x

ctg x = cos x

sin x

1 + ctg2 x = 1

sin2 x

1 + tg2 x = 1

cos2 x

tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb

cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb

tg (a±b) = (tga± tgb)

(1 + tga tgb)

ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1

ctgb±ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b)

2 2

sina- sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b)

2 2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b)

2 2

cosa- cosb = - 2 sin (a + b) sin (a-b)

2 2

tga± tgb = sin (a±b)

cosa cosb

ctga± ctgb = sin (b±a)

sina sinb

sin2 a- sin2 b = cos2 b- cos2 a =

sin (a + b) sin (a-b)

cos2 a- sin2 b = cos2 b- sin2 a =

cos (a + b) cos (a-b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ±Ö1 - cos2 a

sina = tga

±Ö1 + tg2 a

sina = 1

±Ö1 + ctg2 a

cosa = ±Ö1 - sin2 a

cosa = 1

±Ö1 + tg2 a

cosa = ctga

±Ö1 + ctg2 a

tga = sina

±Ö1 - sin2 a

tga = ±Ö1 - cos2 a

cosa

tga = 1

ctga

ctga = ±Ö1 - sin2 a

sina

ctga = cosa

±Ö1 - cos2 a

ctga = 1

tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a-b) - cos (a + b)

2

cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b)

2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b)

2

tga tgb = tga + tgb

ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos2 a- sin2 a =

= 1 - 2sin2 a =

= 2cos2 a- 1

tg2a = 2 tga

1 - tg2 a

= 2

ctga- tga

tga = 2 tg (a/2)

1 - tg2 (a/2)

ctg2a = ctg2 a- 1

2 ctga

= ctga- tga

2

ctga = ctg2 (a/2) - 1

2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)n arksin a + pn

cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 -a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p-a) = + sina

sin (p + a) = - sina

sin (3p/2 -a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p-a) = - sina

sin (2p + a) = + sina

----------------

cos (p/2 -a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p-a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 -a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p-a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

-----------------

tg (p/2 -a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p-a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 -a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p-a) = - tga

tg (2p + a) = + tga

-------------

ctg (p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p-a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p-a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (-a) = - sina

cos (-a) = cosa

tg (-a) = - tga

В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

a = b = c

sina sinb sing

теорема косинусов:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d1 d2 sina,

d1 и d2 - диагонали

a - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d1 d2 sina

Трапеция

S = a + b h = ½ d1 d2 sina

2

Круг

S = l r = p r2

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a2 = d2 /2

Ромб

S = a2 sina = ah = ½ dD

где в - малая диагональ

D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3

Призма

V = Sосн h = S^ сеч l

l - г рань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h = pr2 h = 1/4pd2 h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3 pr2 h

Шар

V = 4/3 pr3

Площади поверхностей

Призма

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = ph = S^ сеч l

p = a + b +c

Куб

Sп = 6a2

Пирамида четырехугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = ½ Pосн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Sосн cosj

j - угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = 2prh

Sосн = 2pr (h + r)

Конус

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = prl

Sосн = pr (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 pr2

Значения углов

a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0

cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0

ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -