Реферат: Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

Название: Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС3

Проверил: Беляков Г.С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б


4 В 2


Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

пункт i А Б В Д 1 4
yi 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥
28 13 17 8,32 9
16,64

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij < yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений.Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

yA + l4A =0+9=9 < y4 =¥Þ y4 =9

yA + lBA =0+13=13 < yB =¥Þ yB =13

yA + l1A =0+8,32=8,32 < y1 =¥Þ y1 =8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y4 + lB4 =9+7=16 > yB =13

y4 + lД 4 =9+8=17 < уД =¥Þ yД =17

yВ + lДВ =13+12=25 > yД =17

yВ + lБВ =13+15=28 < уБ =¥Þ yБ =28

yВ + l =13+9=22 > у1 =8,32

y1 + lВ1 =8,32+10=18,32 > yВ =13

y1 + lБ1 =8,32+8,32=16,64 < уБ =28 Þ yБ =16,64

yД + l =8,32+17=25,32 > y4 =9

yД + lВД =17+12,32=29,32 > yВ =13

yБ + lВБ =16,64+15,32=31 > yВ =13

yБ + l =16,64+8=24,64 > y1 =8,32

Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети.

l4A = у4 - уА 9=9-0

l4 – уД 8,32>9-17

lД4 = уД – у4 8=17-9

lДВД – уВ 12>17-13

lBA = yB - yA 13=13-0

l > yB – yД 12,32>13-17

l > yB – yБ 15,32>13-16,64

lB4 > yB – y4 7>13-9

lB1 > yB – y1 10>13-8,32

lБВБ - уВ 15>16,64-13

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l = у1 – уА 8,32=8,32-0

l1 – уВ 9>8,32-13

l1 – уБ 8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

lij = yi - yj

Таковыми являются:

l4A = у4 - уА 9=9-0

lД4 = уД – у4 8=17-9

lBA = yB - yA 13=13-0

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l = у1 – уА 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

пункт 4 Д Б 1 В
расстояние до А 9 17 16,64 8,32 13

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

А Б В Г Д
А --- 16 13,32 --- 17,64
Б 16,64 --- 15 21 ---
В 13 15,32 --- 15 12,32
Г --- 21,64 15,32 --- 16
Д 17 --- 12 16,32 ---

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1

min z = SSlij * xij

i=1 j=1

при следующих ограничениях:

- из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

Sxij = 1 i=1, ......, n+1

j=1

- в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

Sxij = 1 j=1, ......, n+1

i=1

- переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

- решение есть простой цикл

4. Решение задачи:

А Б В Г Д
А --- 16 13,32 --- 17,64
Б 16,64 --- 15 21 ---
В 13 15,32 --- 15 12,32
Г --- 21,64 15,32 --- 16
Д 17 --- 12 16,32 ---

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

minz = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

мощность АБЗ Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cp i + E*Kp i уд
т/час тыс. т/год 1 2 3 4
10 18 484 489 495 481
25 45 423 428 435 420
50 90 405 410 416 401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij , руб

Пункт размещения Зона-потребитель
1 28,3 60,3 45,3 90,3
2 61,3 30,3 93,3 48,3
3 50,3 95,3 33,3 62,3
4 99,3 54,3 65,3 36,3

Математическая модель транспортной задачи:

m n

min z = SSCij * xij

i=1 j=1

Ограничения:

n

-Sxij = ai i=1, ......, m

j=1

весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

m

-Sxij = bj j=1, ......, n

i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

- xij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n

xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =135 Ui Ki
433,3 440,3 < 465,3 449,3 < 450,3 437,3 < 495,3 0
X1 =90 50 40 0 5/9
433,3 < 471,3 440,3 449,3 < 503,3 437,3 < 458,3 0
X2 =90 60 30 0 6/9
433,3 < 466,3 440,3 < 511,3 449,3 437,3 < 478,3 0
X3 =90 45 45 0 ½
433,3 < 500,3 440,3 < 455,3 449,3 < 466,3 437,3 0
X4 =90 70 20 0 7/9
Vj 433,3 440,3 449,3 437,3 0

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф =Sаi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сp i + E*Kp i + Cij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij .

Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательноплан является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф , остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток(Ui + Vj = Сp i + E*Kp i + Cij ).

Проверяем план на оптимальность:

· число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

· для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

· для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vjp i + E*Kp i + Cij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

Ki = S xij / xi

S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

xi – мощность i-го АБЗ

Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сp i + E*Kp i + Cij для клеток третьей строки.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =90 Ui Ki
433,3 424,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -16< 0
X1 =90 50 40 -16 1
449,3 < 471,3 440,3 466,3 < 503,3 437,3 < 458,3 0
X2 =90 60 30 0 6/9
449,3 < 485,3 440,3 < 530,3 466,3 < 468,3 437,3 < 497,3 0
X3 =45 45 0 0
449,3 < 500,3 440,3 < 455,3 466,3 437,3 0
X4 =90 5 70 15 0 15/18
Vj 449,3 440,3 466,3 437,3 0

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =45 Ui Ki
433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -18< 0
X1 =90 50 40 -16
452,3 < 489,3 458,3 469,3< 521,3 440,3 < 476,3 1 > 0
X2 =45 45 _ + 3
451,3 < 485,3 457,3 < 530,3 468,3 439,3 < 497,3 0
X3 =45 0 + _ 45 2
449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -2 < 0
X4 =90 15 + 5 _ 70 0
Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -2

Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vjp i + E*Kp i + Cij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =45 Ui Ki
433,3 440,3 < 465,3 450,3 422,3 < 495,3 -18 < 0
X1 =90 50 40 -18 1
451,3 < 489,3 458,3 468,3 < 521,3 440,3 < 476,3 0
X2 =45 40 5 0 8/9
451,3 < 485,3 458,3 < 530,3 468,3 440,3 < 497,3 0
X3 =45 5 40 0 1/9
448,3 < 500,3 455,3 465,3 < 466,3 437,3 -3 < 0
X4 =90 20 70 -3 1
Vj 451,3 458,3 468,3 440,3 0

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =18 Ui Ki
433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -78 < 0
X1 =90 50 40 -16 1
452,3 < 489,3 458,3 469,3 < 521,3 440,3 < 476,3 -59 < 0
X2 =45 45 3 1
511,3 < 545,3 517,3 < 590,3 528,3 499,3 < 557,3 0
X3 =18 0 18 62 0
449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -62 < 0
X4 =90 15 5 70 0 1
Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -62

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

Вариант размещения Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год Значение целевой функции, zi , тыс.руб.
М1 М2 М3 М4
1 50 60 45 70 98912,5
2 90 60 0 75 99037,5
3 90 40 5 90 100067,5
4 -наилучший 90 45 0 90 100072,5