Реферат: Формула Шлетца

Название: Формула Шлетца
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p1 ,p2 ).

А1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2 `e + 1/6d3 `e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p1 ,p2 ) – пространство всех пар (p1 ,p2 )точек p1 ,p2 прямой А1 . Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р1 р2 , а конец вектора `е – в точку р1 ; при этом р2 совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р12 ) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p1 ,p2 ) =2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р12 * , близкого к р1 р2 ,по отношению к р1 р2 .

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={p, ` ej }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp =Wj ej ; d ` ej =Wj k ;

DWj =Wk ^Wk j ; DWj =Wj y ^Wy k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А2 в пространстве R(p1 ,p2 ):f:A2 ® R(p1 ,p2 ).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1 (p1 ,p2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q +W= l j Wj ; Q-W= m j Wj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1 : R(p1 ,p2 ) ® A2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l k l j + m k m j = d j k

l j l j =1

m j m j =1 (*)

l j m j =0

m j l j =0

Указанную пару {r;R } реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f .

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f .

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λj Wj -W-Q)=0 ,

получаем :

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

D(μj Wj +W-Q)=0

получаем :

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λj Wj

Q-W=μj Wj

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1 = jj } является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

k ^Wj kk dWj k +1\4(λjμkk μj )^Wk +1\4(λj μkk μj )dWk +dλjk ^Wkjk dWk =0 .

получим:

(dλjtkt Wj kjk Wt k +1\4(λk μjtk λjk )Wk +1\16λt μkjj )Wk )^Wt =0

k ^Wj kk dWj k +1\4d(λj μkk μj )^Wk +1\4(λj μkk μj )dWk +dμjk ^Wkjk dWk =0

получим:

(dμjtkt Wj kjt Wt k +1\4(λk μjtk λjt )Wk +1\16λt μkjj )Wk )^Wt =0

обозначим:

λ j =dλjt Wj t

μj =dμjt Wj t

λjk =dλjktk Wk tjt Wk t

μjk =dμtk Wj tjt Wk t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λj Wj

Q-W=μj Wj

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk (4)

λjk =(1\4(μα λjkα μjk )+1\16λk μαjj )+λjkα )Wα

μjk =(1\4(μα λjkα μjk )+1\16λk μαjj )+μjkα )Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2 = jjjkjk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :

ГР = jjj1j2j1j2 ,...,λj1j2...jpj1j2...jp }.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин j },{μj } образует подобъекты геометрического объекта Г1 . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λj Xj =1 ; μj Xj =1 (6)

не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины jj } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины jj } охватываются объектом Г1 .

Из (*) получаем:

j =-λk Wk j -1\4(λjjt Wtkt λk λt Wtkt Wtk μj

j =-μk Wk jkt μk λj Wtkt μk μj Wt +1\4λtjj )Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1 . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1j ej (вектора v2j ej ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:

λj Xj =0 , μj Xj = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы j } и j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λj Xj =1

V2

V1 μj Xj =1

Система величин ρjjj образует ковектор: jk Wj k +(μjkjk )Wk .

Определяемая им прямая ρj Xj =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .

Пусть W -однородное подмногообразие в R(p1 ,p2 ) содержащее элементы 12 ) определяемое условием: 1 *2 * ) W↔p1 * p2 * =p1 p2 .

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1 (W) многообразия W при отображении f .

Доказательство:

] (p1 * ,p2 * ) W и p1 * =p1 +dp1 +1\2d2 p1 +... ,

p2 * =p2 +dp2 +1\2d2 p2 +... .

Тогда в репере Г: p1 * p2 * =e p1 p2 , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р1 * р2 * по отношению к р1 р2 . Таким образом, 1 * р1 * ) W↔ W=0 .

Из (2) получим: W=ρ1 Wj

Следовательно, 1 * р2 * ) W равносильно ρ j Wj =0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента 12 ) R(p1 p2 ) определяется функция h :(p1 * p2 * ) h(p1 p2 )→e R , так, что р1 * р2 * =е р1 р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1 (W) является линией уровня функцииh . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линииf-1 (W) .

]W1 ,W2 - одномерные многообразия вR(p1 p2 ) , содержащие элемент 1 р2 ) и определяемые соответственно уравнениями:

(p1 * ,p2 * ) є W1 ↔p2 * =p2 .

(p1 * ,p2 * ) є W2 ↔p1 * =p1 .

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразияW2 (многообразияW1 ) при отображенииf .

Дифференциальные уравнения линииf-1 (W1 ) и f-1 (W2 ) имеют соответственно вид:

λj Wj =0

μj Wj =0 .

Пусть W0 - одномерное подмногообразиев R(p1 p2 ) , содержащее 1 р2 ) и определяемое условием: (p1 * p2 * ) є W0 ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р1 * р2 * . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямаяjj )X-j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1 (W0 ) многообразияW0 при отображенииf . Дифференциальное уравнение линииf-1 (W0 ) имеет вид:jj )Wj =0 .

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиямf-1 (W1 ), f-1 (W2 ) , f-1 (W), f-1 (W0 ) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f .

Рассмотрим отображения:

П1 : (р12 ) R(p1 ,p2 )→p1 A1 (5.1)

П2 : (р12 ) R(p1 ,p2 )→p2 A1 (5.2)

Отображение f: A2 →R(p1 ,p2 ) порождает точечные отображения:

φ1 = П1 f: A2 →A1 (5.3)

φ2 = П2 f: A2 →A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г1,2 = { λ j jk } и Г2,2 = jjk } объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1 и φ2 .

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λj Xj +1/2λjk Xj Xk +1/4λy ρk Xj Xk +<3>, (5.5)

y=-1+μj Xj +1/2μjk Xj Xk +1/4μy ρk Xj Xk +<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λjkjk +1/4(λj ρkk ρj ),

Μjkjk +1/4(μj ρkk ρj )

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λj Xj +1/2Λjk Xj Xk +<3> (5.7)

y=-1+μj Xj +1/2Μjk Xj Xk +<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2 , в котором выполняется:

λ1 λ2 1 0

=

μ1 μ2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1 +1/2Λjk Xj Xk +<3> (5.9),

y=-1+X2 +1/2Μjk Xj Xk +<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

Gjk =1/2(λj μkk μj )

Из (3.1) получим:

dGjk =1/2(dλj μkj μk +dλk μjkj )=1/2(μk λt Wj t +1/4λj μk μt Wt -1\4μk μt λt Wtk λjt Wtj μt Wk t +

+1/4λj λk μt Wt -1/4μj λk μt Wt -1/4μj λt μk Wtj λkt Wtk μt Wj t +1/4λk λj μt Wt -1/4λk λt μj Wt +

k μjt Wt ),

dGjk =1/2(μk λtk μt )Wj t +1/2(λj μtt μj )Wk t +Gjkt Wt ,

где Gjkt =1/2(μk λjty μktj λktk μjt -1/2μj μk λt +1/2λj λk μt -1/4λj μk λt +1/4λj μk μt +1/4μj λk μt -

-1/4μj λk λt ) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G :

dS2 =Gjk Wj Wk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS22 -W2 (6.5) в R(p1 ,p2 ).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением Gjk Wj Wk =0 или

λj Wj μk Wk =0 (6.6)

Предложение : Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек ( x,U ) и ( y,U ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU )

Теорема : Метрика dS22 -W2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1 ,p2 ,p1 +dp1 ,p2 +dp2

Соответственно: 1,-1,1+θ+ W,-1+θ-W .

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS22 -W2

Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гl jk =1/2Gtl (Gtkj +Gjtk -Gjkt )


псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2 = jjjkjk }.

Онопределяется формулой: Г l jk j Λjkl Μjkl λt λkl μt μk .

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjkj λkj μk (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk =dλj λk +dλk λj +dμj μk +dμk μjk λt Wj t +1/4λk λj μt Wt -1/4λj λt μj Wtk λjt Wtj λt Wk t +

+1/4λj λk μt Wt -1/4λj λt μk Wtj λkt Wtk μt Wj t +1/4μk λj μt Wt -1/4μk λt μj Wtk μjt Wt +

j μt Wk t +1/4μj λk μt Wt -1/4μj λt μk Wtj μkt Wt .

dgjk =(λk λtk μt )Wj t +(λj λtj μt )Wk t +gjkt Wt , (7.2)

где gjkt =1/2λj λk μt -1/2μj μk λt -1/4λk λt μj -1/4λj λt μk +1/4λj μk μt +1/4μj λk μtk λjtj λkt +

k μjtj μkt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g :

dS2 =gjk Wj Wk (6 .4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика ( 6 .4) соответствует при отображении f метрике:

dS2 =2(θ2 +W2 ) (6 .5)

в R(p1 ,p2 )

Из (6 .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6 .6)

или j Xj )2 +(μj Xj )2 =1 (6 .7)

Из (6 .7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .

V1

V2 рис.3.

Пусть gjkj λkj μk (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjt gtk =(λj λtj μt )(λt λkt μk )=λj λkj μkk j (6 .9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора j } (вектора j } )соответствует в метрике g полю основного ковектора j } (ковектора j } ).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .

Доказательство:

λj λk gjkj λk λj λkj λk μj μk =1 ,

μj μk gjkj μk λj λkj μk μj μk =1 ,

λj μk gjkj μk λj λkj μk μj μk =0 .

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства ( A2 ,gf ).

В работе <2> был построен охват объекта

γjk l =1/2gtl (gtkj +gjtk -gjkt )

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г2 = jjjkjk }

Он определяется формулой:

γ jk l l Λjkl Mjk +Gjkll )+1/2(λll )(μj μkj λk ) ,

где Gjk =1/2(λj μkk μj ).