Реферат: Лекции по вычислительной математике
Название: Лекции по вычислительной математике Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: реферат |
Вычислительная математика
Специальность ПО 5-й семестр
Конспект лекций
Лекция 1 Общее описание метода ветвей и границ организации пол-ного перебора возможностей . Решение задачи о коммивояжере методом ветвей и границ: основная схема.
Пусть - конечное множество и - ве-щественно-значная функция на нем; требуется найти минимум этой функции и элемент множества, на котором этот минимум достигается. Когда имеется та или иная дополнительная информация о множестве, решение этой задачи иногда удается осуществить без полного перебора элементов всего множества M . Но чаще всего полный перебор производить приходится. В этом случае обязательно возникает задача, как лучше перебор организовать. Метод ветвей и границ - это один из методов организации полного перебора. Он применим не всегда, а только тогда, когда выполняются специфические дополнительные условия на множе- ство M и минимизируемую на нем функцию. А именно, - предположим , что имеется вещественно-значная функция j на множестве подмножеств множества M со следующими двумя свойствами: 1) для (здесь - множество, состоящее из единственного элемента ); 2) если и , то . В этих условиях можно организовать перебор элементов множества M с целью минимизации функции на этом множестве так: разобьем множество M на части (любым способом) и выбе- рем ту из его частей W1 , на которой функция j минимальна; за-тем разобьем на несколько частей множество W1 и выберем ту из его частей W2 , на которой минимальна функция j ; затем разо-бьем W2 на несколько частей и выберем ту из них, где минималь-на j, и так далее, пока не придем к какому-либо одноэлементно-му множеству . Это одноэлементное множество называется рекордом . Функция j , которой мы при этом выборе пользуемся, называется оценочной. Очевидно, что рекорд не обязан доставлять минимум функции f ; однако, вот какая возможность возникает сократить перебор при благоприятных обстоятельствах . Описанный выше процесс построения рекорда состоял из последовательных этапов, на каждом из которых фиксировалось несколько множеств и выбиралось затем одно из них. Пусть - подмножества множества M , возникшие на предпослед-нем этапе построения рекорда, и пусть множество оказалось выбранным с помощью оценочной функции. Именно при разбие-нии и возник рекорд, который сейчас для определенности обозначим через . Согласно сказанному выше, , ; кроме того, по определению оценочной функции, . Предположим, что ; тогда для любого элемента m множества M , принадлежащего множеству , будут верны не- равенства; это значит, что при полном пере- боре элементов из M элементы из уже вообще не надо рас- сматривать. Если же неравенство не будет выполне- но, то все элементы из надо последовательно сравнить с най- денным рекордом и как только отыщется элемент, дающий мень- шее значение оптимизируемой функции, надо им заменить ре-корд и продолжить перебор. Последнее действие называется улучшением рекорда. Слова метод ветвей и границ связаны с естественной гра- фической интерпретацией всего изложенного: строится много- уровневое дерево, на нижнем этаже которого располагаются элементы множества M , на котором ветви ведут к рекорду и его улучшениям и на котором часть ветвей остаются «оборванными», потому что их развитие оказалось нецелесообразным. Мы рассмотрим сейчас первый из двух запланированных в этом курсе примеров применения метода ветвей и границ - ре-шение задачи о коммивояжере. Вот ее формулировка. Имеется несколько городов, соединеных некоторым обра-зом дорогами с известной длиной; требуется установить, имеет- ся ли путь, двигаясь по которому можно побывать в каждом горо- де только один раз и при этом вернуться в город, откуда путь был начат («обход коммивояжера»), и, если таковой путь имеет- ся, установить кратчайший из таких путей. Формализуем условие в терминах теории графов. Города будут вершинами графа, а дороги между городами - ориентиро-ванными (направленными) ребрами графа, на каждом из кото-рых задана весовая функция: вес ребра - это длина соответству- ющей дороги. Путь, который требуется найти, это - ориентиро-ванный остовный простой цикл минимального веса в орграфе (напомним: цикл называется остовным , если он проходит по всем вершинам графа; цикл называется простым , если он прохо- дит по каждой своей вершине только один раз; цикл называется ориентированным , если начало каждого последующего ребра совпадает с концом предыдущего; вес цикла - это сумма весов его ребер; наконец, орграф называется полным , если в нем име-ются все возможные ребра); такие циклы называются также га- мильтоновыми. Очевидно, в полном орграфе циклы указанного выше типа есть. Заметим, что вопрос о наличии в орграфе гамильтонова цикла достаточно рассмотреть как частный случай задачи о ком-мивояжере для полных орграфов. Действительно, если данный орграф не является полным, то его можно дополнить до полного недостающими ребрами и каждому из добавленных ребер при-писать вес ¥, считая, что ¥ - это «компьютерная бесконечность», т.е. максимальное из всех возможных в рассмотрениях чисел. Если во вновь построенном полном орграфе найти теперь лег-чайший гамильтонов цикл, то при наличии у него ребер с весом ¥ можно будет говорить, что в данном, исходном графе «цикла коммивояжера» нет. Если же в полном орграфе легчайший га-мильтонов цикл окажется конечным по весу, то он и будет иско-мым циклом в исходном графе. Отсюла следует, что задачу о коммивояжере достаточно ре-шить для полных орграфов с весовой функцией. Сформулируем теперь это в окончательном виде: пусть - полный ориентированный граф и - весовая функция; найти простой остовный ориентированный цикл («цикл коммивояжера») минимального веса. Пусть конкретный состав множества вершин и - весовая матрица данного орграфа, т.е. , причем для любого . Рассмотрение метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере удобнее всего проводить на фоне конкретного примера. Пользуясь введенными здесь обозначениями, мы проводим это описание в следующей лекции. Введем некоторые термины. Пусть имеется некоторая чис- ловая матрица. Привести строку этой матрицы означает выде-лить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения ) и вычесть его из всех элементов этой строки. Оче-видно, в результате в этой строке на месте минимального эле-мента окажется ноль, а все остальные элементы будут неотрица-тельными. Аналогичный смысл имеют слова привести столбец матрицы. Слова привести матрицу по строкам означают, что все строки матрицы приводятся. Аналогичный смысл имеют слова привести матрицу по столбцам . Наконец, слова привести матрицу означают, что матрица сначала приводится по строкам, а потом приводится по столб-цам. Весом элемента матрицы называют сумму констант приве- дения матрицы, которая получается из данной матрицы заменой обсуждаемого элемента на ¥. Следовательно, слова самый тяжелый нуль в матрице означают, что в матрице подсчитан вес каждого нуля, а затем фиксирован нуль с максимальным весом. Приступим теперь к описанию метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере. Первый шаг . Фиксируем множество всех обходов коммиво- яжера (т.е. всех простых ориентированных остовных циклов). По- скольку граф - полный, это множество заведомо непусто. Сопо-ставим ему число, которое будет играть роль значения на этом множестве оценочной функции: это число равно сумме констант приведения данной матрицы весов ребер графа. Если множест-во всех обходов коммивояжера обозначить через G, то сумму констант приведения матрицы весов обозначим через j(G). При-веденную матрицу весов данного графа следует запомнить; обо-значим ее через M 1 ; таким образом, итог первого шага: множеству G всех обходов коммивояжера сопоставлено чис-ло j(G) и матрица M 1 . Второй шаг. Выберем в матрице M 1 самый тяжелый нуль; пусть он стоит в клетке ; фиксируем ребро графа и раз- делим множество G на две части: на часть , состоящую из обходов, которые проходят через ребро , и на часть , состоящую из обходов, которые не проходят через ребро . Сопоставим множеству следующую матрицу M 1 ,1 : в матрице M 1 заменим на ¥ число в клетке . Затем в получен-ной матрице вычеркнем строку номер i и столбец номер j , причем у оставшихся строк и столбцов сохраним их исходные номера. Наконец, приведем эту последнюю матрицу и запомним сумму констант приведения. Полученная приведенная матрица и будет матрицей M 1 ,1 ; только что запомненную сумму констант приведения прибавим к j(G) и результат, обозначаемый в даль-нейшем через j(), сопоставим множеству . Теперь множеству тоже сопоставим некую матрицу M 1,2 . Для этого в матрице M 1 заменим на ¥ число в клетке и полученную в результате матрицу приведем. Сумму констант приведения запомним, а полученную матрицу обозначим через M 1,2 . Прибавим запомненную сумму констант приведения к числу j(G) и полученное число, обозначаемое в дальнейшем че- рез j(), сопоставим множеству . Теперь выберем между множествами и то, на котором минимальна функция j (т.е. то из множеств, которому соответствует меньшее из чисел j() и j(). Заметим теперь, что в проведенных рассуждениях исполь-зовался в качестве исходного только один фактический объект - приведенная матрица весов данного орграфа. По ней было вы-делено определенное ребро графа и были построены новые матрицы, к которым, конечно, можно все то же самое применить. При каждом таком повторном применении будет фиксироваться очередное ребро графа. Условимся о следующем действии : пе-ред тем, как в очередной матрице вычеркнуть строку и столбец, в ней надо заменить на ¥ числа во всех тех клетках, которые со-ответвуют ребрам, заведомо не принадлежащим тем гамильто-новым циклам, которые проходят через уже отобранные ранее ребра; эту довольно трудную фразу мы еще не раз рассмотрим в следующей лекции на конкретном примере. К выбранному множеству с сопоставленными ему матрицей и числом j повторим все то же самое и так далее, пока это воз-можно. Доказывается, что в результате получится множество, со-стоящее из единственного обхода коммивояжера, вес которого равен очередному значению функции j; таким образом, оказы-ваются выполненными все условия, обсуждавшиеся при описа-нии метода ветвей и границ. После этого осуществляется улучшение рекорда вплоть до получения окончательного ответа. |