| ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ
ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ
И АВТОМАТИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КУРСОВАЯ РАБОТА
ТЕМА: «Исследование эмпирической зависимости».
КУРС: «Математическое моделирование экономических процессов».
Студентки группы МФ-3-95
Франковской К. И.
____________________________________________________________________________МОСКВА 1998
План
1. Введение
2. Исходные данные
3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости
3.1. Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах
3.2. Построение производной
3.3. Построение темпа производной
4. Исследование на приближение к степенной зависимости
4.1. Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости
4.2.  Построение графика B
ÖX
4.3. Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах
5. Заключение
6. Используемая литература
7. Приложение
1. Введение
Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения конкретного показателя в будущем.
В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени.
Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая зависимость.
В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как экспоненциальная зависимость и степенная зависимость.
2. Исходные данные
В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из книги «Историческая статистика Соединенных Штатов Америки» – Эмиграция в США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и стран Балтии с 1886 по 1915 год.
График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение).
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
(Венгрия, Австрия) (Литва, Эстония, Латвия, Финляндия)
3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости
3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах
 Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид:
X=Cekt
,
 что является решением дифференциального уравнения:
dX/dt = KX .
Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t:
 lnX
= kt
+ lnC .
Эмиграция из Центральной Европы Эмиграция из СССР и стран Балтии
Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре.
Иными словами, если последовательность представляет собой экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах спрямляется.
 По данному графику определяется темп роста, равный
K = D2/D1 = (lnX2 – lnX1)/(t2-t1) ,
параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости.
Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение). Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости Эмиграции в США из Центральной Европы – 0,11, для графика зависимости Эмиграции из СССР и стран Балтии – 0,13.
3.2 Построение производной
Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле:
 X´(ti
) = (Xi
– Xi-1
)/(ti
– ti-1
) .
Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени. Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во времени увеличивается.
Эмиграция в США из Эмиграция в США из СССР и
Центральной Европы стран Балтии
3.3 Построение темпа производной
График изменения темпа производной строится с использованием формулы:
 X´(ti
)/X(ti
) = (Xi
– Xi-1
)/Xi
(ti
– ti-1
) .
Эмиграция в США из Эмиграция в США из
Центральной Европы СССР и стран Балтии
В результате построений получен график, представляющий собой колебания с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности.
4. Исследование на приближение к степенной зависимости
4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости
 Степенная функция имеет вид:
X = X0
(t – t0
)B
,
который является решением дифференциального уравнения следующего вида:
 dX\dt = BX/(t – t0
) .
 Производная степенной функции равна:
X´ = BX0
(t – t0
)B-1
.
 Темп роста степенной функции равен:
X´/X = B/(t – t0
) ,
 а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид:
X/X´ = (t – t0
)/B .
Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции, имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая пересекает ось абсцисс в точке t0
.
 Интеграл степенной функции вычисляется по формуле :
Y = X´(t – t0
)B+1
/B+1 .
А обратный темп роста интеграла равен:
 Y´/Y = X/Y = (B+1)/(t – t0
) .
 Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле:
B = ctga - 1 ,
или, другими словами, разности отношения приращения аргумента (D1) к приращению функции (D2) и 1.
Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по формуле:
 Y/Y´ = S(XDt)/X .
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение).
Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших квадратов.
На основе данных графиков получены следующие значения параметров прямой:
¨ График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из Центральной Европы: t0
= 1877, B = 2.5
¨ График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и стран Балтии: t0
= 1875.5, B = 2.9
 4.2 Построение графика B
ÖX
Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального времени t0
, построен график зависимости B
ÖX от времени.
Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение).
Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика, ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых.
В результате проведенных построений определились значения t0
. В обоих случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих построений.
¨ Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое значение t0
= 1890.
¨ Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое значение t0
= 1883.
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
4.3 Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах
Как было сказано выше, степенная функция имеет вид:
X = X0
(t – t0
)B
.
 Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT, где Т = t – t0
:
LnX
= lnX0
+ Bln(t – t0
)
.
Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t0
.
Для значений t0
(t – t0
= T1, t0
= 1877 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0
= 1875,5 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности, графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение).
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой, проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в этом случае будет равняться
¨ Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,39;
¨ Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 2,73.
 Для значений t0
(t – t0
= T2, t0
= 1890 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0
= 1883 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков B
ÖX , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см. Приложение).
Эмиграция в США Эмиграция в США
из Центральной Европы из СССР и стран Балтии
Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные
¨ Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,44;
¨ Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 1,82.
5.Заключение
В результате проведенных исследований были построены графики эмпирических зависимостей и из них получено:
· эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11
· эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13
· эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0
. При построении графиков были получены следующие значения параметров:
В=2,5 t0
= 1877
В=2,39 t0
= 1890
В=2,44
· эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0
. При построении графиков были получены следующие значения параметров:
В= 2,9 t0
= 1875,5
В= 2,73 t0
= 1883
В= 1,82
6. Используемая литература
1. Statistical History of USA.
7. ПРИЛОЖЕНИЕ
|