Реферат: Геометрические свойства равнобедренных треугольников
Название: Геометрические свойства равнобедренных треугольников Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В. В. Богун Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии. Где же могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего в педагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьников и студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, поскольку работа находится на стыке двух разделов математики - элементарной геометрии и тригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна. Существенными плюсами данных исследований являются следующие факты: Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид; Объяснение с помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основе правильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидами Гизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина); Последний факт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям, поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярных учебниках в большинстве случаев лишь в виде "голой" теории, мы имеем сочетание теоретических и практических аспектов. Для простоты изложения материала внесем ряд определений: Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине. Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого. Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого. Теорема 1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значению косинусу равных углов при основании. Исходные данные: Равнобедренный ∆ АВС (рис. 1); ВD = h основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2 а; АВ = ВС = b боковые стороны треугольника; DО = КО = LО = r - радиус вписанной в ∆ АВС окружности, ВАС = ВСА = . Доказать: (1) Доказательство: Формулы для вычисления площади ∆АВС: S ∆АВС. S ∆АВС. Рис. 1. Равнобедренный ∆ АВС с вписанной в него окружностью. Получим:
Следствия из теоремы 1: 1.1.Отношение половины основания равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно котангенсу половинного угла при основании: Так как , а то . (2) Однако из курса геометрии известно, что центр вписанной в любой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. 1.2. Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании к косинусу полного угла при основании:
1.3. В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой и радиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковой стороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла при основании: . (4) Теорема 2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании или разнице единицы и косинуса двойного угла при основании: Рис. 2. Равнобедренный ∆ АВС с описанной вокруг него окружностью. Исходные данные: Равнобедренный ∆АВС (рис. 2); ВD = h - основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2 а; АВ = ВС = b - боковые стороны треугольника; АQ = BQ = CQ = R - радиус описанной вокруг ∆АВС окружности, ВАС = ВСА = . Доказать: (5) Доказательство: Формулы для вычисления площади ∆АВС: S ∆АВС = S ∆АВС = Получим:
Следствия из теоремы 2: 2.1. Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании: Так как , то (6) Поскольку , то 2.2. Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусам углам при основании:
2.3 В равнобедренном треугольнике отношение разницы между радиусом описанной окружности и основной высотой к величине первого равно косинусу двойного угла при основании:
Следствие из теорем 1 и 2: В равнобедренном треугольнике отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности равно произведению тангенса половинного угла при основании и синуса двойного угла при основании: (9) В табл. 1 представлены взаимосвязи между линейными элементами равнобедренного треугольника (основная высота, половина основания, боковая сторона, радиусы вписанных и описанных окружностей), выражаемые через тригонометрические выражения равных углов при основании. Таблица 1 Соотношения в равнобедренном треугольнике
В предлагаемых ниже двух теоремах рассмотрены взаимосвязи между вписанными и описанными окружностями двух равнобедренных треугольников, имеющих один общий элемент. В первой теореме данным субъектом является основная высота, во второй - сторона основания. Что же касается совпадения боковых сторон равнобедренных треугольников, то здесь получим равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. Теорема 3: О равных углах равнобедренных треугольников Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то их центры вписанной и описанной окружностей соответственно совпадут. Исходные данные: Равнобедренные ∆АВС и ∆ЕBF c общей основной высотой ВD = h. DO 1 = r и ВО 2 = R - радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренных ∆АВС и ∆ЕBF соответственно. ВАС = ВСА = EBF = , BEF = BFE = (рис. 3) Рис. 3. Геометрическая интерпретация теоремы 3 Доказать: h = R + r (10) Доказательство: Для равнобедренного ∆АВС: Для равнобедренного ∆ЕBF: По условию теоремы ВАС = ВСА = EBF = = , BEF = BFE = . А так как BEF = BFE = , получим: Если (10), то Действительно, , что и требовалось доказать. Следствия из теоремы 3: 3.1. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и угол между боковыми сторонами одного равен углам при основании второго, то отношение соответствующих оснований равно разнице величины, обратной по значению косинусам равных углов при основании второго, и единице: Так как и , то
3.2. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то отношение соответствующих боковых сторон равно половине величины, обратной по значению синусам равных углов при основании второго: Поскольку и , то .
Теорема 4: О половинных углах равнобедренных треугольников Если два равнобедренных треугольника имеют общее основание и вершина, являющаяся пересечением боковых сторон первого, совпадает с центром вписанной во второй треугольник окружности, то центр описанной вокруг первого треугольника окружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам второго. Исходные данные: Равнобедренные ∆ АВС и ∆ АОС с общим основанием АС = 2 а, DO = r = H радиус вписанной окружности и высота равнобедренных ∆ АВС и ∆ AOC соответственно. ВАС = ВСА = , OAC = OCA = (рис. 4). Доказать: (13) Рис. 4. Геометрическая интерпретация теоремы 4 Доказательство: Исходя из рис. 4, получим следующую цепочку соотношений: Тогда
При этом согласно определению равнобедренные ∆ АВС и ∆ АСS являются полуподобными, поскольку и наоборот, а равнобедренные ∆АВС и ∆АОС являются половинноподобными, поскольку удовлетворяют определению: ВАС = ВСА = , OAC = OCA = |