Доклад: Филлотаксис и последовательность Фибоначчи
Название: Филлотаксис и последовательность Фибоначчи Раздел: Рефераты по медицине Тип: доклад | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В. Березин Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»). Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144. Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой Fn = Fn–1 + Fn–2 . Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2 = 1 – α. Выразим значения степеней α3 , α4 , α5 , ... через 1 = α0 и α:
Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1 ? По-видимому, и для любого n можно записать формулу αn = (–1)n (Fn–1 – Fn α), где Fn–1 и Fn — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:
У уравнения α2 = 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,
Решая эту систему относительно Fn , получаем, что
И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы. Следующую неожиданность получим, если вычислим
Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза. Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:
Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке. |