Статья: Две замечательные теоремы планиметрии
Название: Две замечательные теоремы планиметрии Раздел: Рефераты по математике Тип: статья | |
Мендель В.В. , доцент кафедры геометрии ХГПУ В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая. Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы. Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства: 1. медианы треугольника пересекаются в одной точке; 2. высоты треугольника пересекаются в одной точке; 3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке; В С1 А1 В1 А С рисунок 1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей) 4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке. Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы. К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно. Одна из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач. Формулировки теорем Чевы и Менелая. В А С В1 А1 С1 рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон) Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников. Теорема Менелая. Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда: (*) на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника. Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*). Будем рассматривать случай, соответствующий рис.1 а). Опустим из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см. рис.2) В Н1 Н2 С1 А1 Н3 А С В1 рисунок 2 Мы получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1. (У первых двух пар равны верти- кальные углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий: ; ; . Легко заметить, что произведение левых частей трех этих равенств равно единице. Отсюда следует, что произведение правых частей также равно единице. Что и соответствует утверждению (*). Обратное утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство: в силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В: . Таким образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Отсюда вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь очевидно доказуемое) противоречие: нет двух различных точек, делящих один и тот же отрезок в одном и том же отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может быть двух различных середин). Доказательство для случая, соответствующего рис.1 б) аналогично. Теорема Чевы. Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка В1О АС, точка С1 О АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение: (**) На рис.3 а) и б) показаны различные возможные варианты расположения точек на прямых АВ, АС и ВС. В С1 А1 О А В1 С рисунок 3 а) Доказательство: (прямая теорема) Запишем теорему Менелая для треугольника АВВ1 и прямой С1О(С): (1) проделаем тоже для треугольника В1ВС и прямой А1О(А): (2) В А В1 С О С1 А1 рисунок 3 б) Перемножив левые части равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**). Обратное утверждение доказывается методом “ от противного“ также, как и в теореме Менелая. Некоторые рекомендации по применению теоремы Менелая для решения задач. Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную(или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан. Итак, в каких случаях уместно применить теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть возможность применения этой теоремы если в условиях задачи: 1) идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.); 2) если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения). Конечно есть случаи когда применение теоремы Менелая в решении не очевидно и требует дополнительных построений. Заметим также, что иногда полезно применять обратную теорему (в частности, если нужно доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой). Примеры решения задач. Начнем с достаточно простых. 1. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь четырехугольника NKМС (K-точка пересечения АМ и ВN). Решение: SMKNC=SBNC-SBKM. Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S). Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC=SABC=S. Найдем теперь SBKM. Так как треугольник NВС и ВKМ имеют общий угол В, их площади относятся как произведения сторон, прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BKЧBM):(ВNЧBC)=BK/BNЧBM/BC. Второе отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7. Для того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой Менелая: запишем её для треугольника NВС и точек М, K и А: Второе и третье отношения нам известны, подставим их: и Подставив найденные отношения в приведенную выше формулу, получим: , зная площадь треугольника NВС (S) находим площадь треугольника ВKМ: Теперь легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM=S-S=S. Для самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной редакции. 2. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка. Следующая задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 10-11 классов. 3. Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и в лежат на отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам. Решение: Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и М В L Q С А Д К Р рисунок 4 прямую LQ(P). Запишем теорему Менелая: Напомним, что РА+РC=РВ+ РD =180°. Выразим отрезки АL и LD через перпендикуляр KL: АL=KLЧctgРD. Отсюда Теперь выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MPЧctgРA (из в AMP), BP=MPЧctgРMBP=MPЧctg(180°-РB)=MPЧctgРD (из в MBP). Отсюда рисунок 5 Подставив найденные отношения в полученную выше формулу имеем: откуда что и требовалось доказать. (Авторское решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников). В заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году на краевой олимпиаде. 4. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ. Решение: запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В): т.к. СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и требовалось доказать. |