Реферат: Элементарная теория сумм Гаусса

Название: Элементарная теория сумм Гаусса
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

Рассмотрим следующую сумму – сумму Гаусса :

где D – целое положительное и (a, D)= 1.

Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда х=qD+k , где k =0, 1, …, D-1 , q є Z



Будем иметь :



что и требовалось.

Лемма 1.



Пусть (a, D)=1. Тогда:


Доказательство:


По свойству модуля комплексного числа :

Имеем:


Сделаем замену x = x + t . Когда х и х пробегают полную систему вычетов по модулю в , от х и t пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю в . Тогда х = qD + k k=0, 1, …, D-1 , q є Z

х = pD + i i=0, 1, …, D-1 , p є Z

Следовательно, t = x – x = (q – p)D + (k – i) = l в + m , где m=0, 1, …, D-1 , l є Z


а) Пусть в – нечетное, т.е. (2а, D)=1


если в делит t.



Если же в не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде :


Получили :

Тогда


Отсюда


б) Пусть в делится на 4, т.е. возможно представление : в = 2D , где в – четное и ( a, в )=1 .



Получим :



Так как в четное, то


Следовательно

в) Пусть в = 2 (mod 4) , т.е. в = 4q + 2 , q є Z


Тогда из предыдущего случая имеем : в = 2 (2q+1)= 2D , в - нечетное. Имеем :



Что и требовалось.

Лемма 2.

Если в и в взаимно простые числа, то


S ( aD1 , D2 ) S ( aD2 , D1 ) = S ( a , D1 D2 )

Доказательство:

В этих суммах t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2. При этом D1 t1 + D2 t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1 D2 . Действительно , всего членов в сумме D1 D2 и никакие два несравнимы между собой. Действительно, предположим противное : пусть D1 t1 + D2 t2 = D1 t1 + D2 t2 ( mod D1 D2 )

Отсюда D1 (t1 – t1 ) = D2 (t2 – t2 ) (mod D1 D2 ) Тогда

D1 (t1 – t1 ) = D2 (t2 – t2 ) (mod D2 ) А так как D2 (t2 – t2 ) = 0 (mod D2 )

То по свойству сравнений имеем D1 (t1 – t1 ) = 0 (mod D2 ) Отсюда так как (D1 , D2 )=1 , то t1 – t1 = 0 (mod D2 ) Аналогично получим t2 – t2 = 0 (mod D1 )

Т.е. имеем t1 = t1 (mod D2 ) и t2 = t2 (mod D1 ) . Но это противоречит тому, что t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D1 t1 + D2 t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1 D2 .


Поэтому

Лемма 3.


Пусть p простое нечетное число и не делит a . Тогда



Доказательство:






что и требовалось доказать.

-6-

Лемма 4.


Если р простое нечетное число , то

Доказательство :

Из леммы 3. получим


Так как произведение сопряженных величин дает квадрат модуля, то


Лемма 5.

Если р и q различные простые числа , то


Доказательство :

Так как ( р, q )= 1 , мы можем воспользоваться леммой 2 : в нашем случае




Итак , мы показали, что


что и требовалось доказать.