Курсовая работа: Ряды и интеграл Фурье
Название: Ряды и интеграл Фурье Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Основные сведения Функция f (x ), определенная на всей числовой оси называется периодической , если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции. Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции: 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т . 2) Если функция f (x ) период Т , то функция f (ax )имеет период . 3) Если f (x )- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство . Тригонометрический ряд. Ряд Фурье Если f (x ) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1) ,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам: , где n =1,2, . . . Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье , а коэффициентами ряда Фурье. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке. ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f (x ) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f (x ) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной). ТЕОРЕМА 2. Если f (x ) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f (x ) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой). Ряды Фурье для четных и нечетных функций Пусть f (x ) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (-x ) = f (x ) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: = = = 0 , где n =1,2, . . . Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: Пусть теперь f (x ) - нечетная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (-x ) = - f (x ). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где n =1,2, . . . Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так: Если функция f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где, , , Если f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L ], то доопределив заданную функцию f (x ) соответствующим образом на [-L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2L ), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье. Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a ,b ], надо : доопределить на [b ,a +2L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [b -2L ,a ] и периодически продолжить. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций непрерывных на отрезке [a ,b ], называется ортогональной системой функции на отрезке [a ,b ], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b], если выполняется условие Пусть теперь f (x ) - любая функция непрерывная на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на отрезке [a ,b ] по ортогональной системе называется ряд: коэффициенты которого определяются равенством: n=1,2,... Если ортогональная система функций на отрезке [a ,b ] ортонормированная, то в этом случаи где n =1,2,... Пусть теперь f (x ) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на томже отрезке по ортогональной системе называется ряд: , Если ряд Фурье функции f (x ) по системе (1) сходится к функции f (x ) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a ,b ]. В этом случае говорят что f (x ) на отрезке [a ,b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1). Комплексная форма ряда Фурье Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x ), если определяется равенством , где Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул: (n =1,2, . . .) Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x =l . Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости. При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению (1) , где а - положительное число. Наша з а д а ч а - найти функцию u (x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных: (2) и начальных условиях: (3) Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x ,t )0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u (x,t )=X (x )T (t ), (4) , где , . Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает: Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений: Используя это условие X (0)=0, X (l )=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи. a) Пусть Тогда X ”=0 и его общее решение запишется так: откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль. б) Пусть . Тогда решив уравнение получим , и, подчинив, найдем, что в) Если то Уравнения имеют корни : получим: где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем: откуда , т. е. (n =1,2,...) (n =1,2,...). Учитывая это, можно записать: (n=1,2,...). и, следовательно , (n =1,2,...), но так как A и B разные для различных значений n то имеем , (n =1,2,...), где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3). Итак, подчиним функцию u (x,t ) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l ] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой где (n =1,2,...) Интеграл Фурье Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f (x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно: 1) абсолютной интегрируемости на (т.е. интеграл сходится) 2) на любом конечном отрезке [-L , L ] функция была бы кусочно-гладкой 3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x ) Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида: , где , . Интеграл Фурье для четной и нечетной функции Пусть f (x )-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x =0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем: (3) Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x ) запишется так: , где a (u ) определяется равенством (3). Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x ) : (4) и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид: , где b (u ) определяется равенством (4). Комплексная форма интеграла Фурье , (5) где . Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x ). Если в формуле (5) заменить c (u ) его выражением, то получим: , где правая часть формулы называется двойным интегралом Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул: Формулы дискретного преобразования Фурье Обратное преобразование Фурье.
где n =1,2,... , k =1,2,... Дискретным преобразованием Фурье - называется N -мерный вектор при этом, . ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Исходные данные : (Рис. 1) Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода. Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва. Рис. 1 Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье. 1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале . 2) F(x) - кусочно-монотонна. Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна. Представление функции рядом Фурье. Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1. Поэтому формулу для можно записать в виде: ( так как ). Отдельно рассмотрим случай когда n=1: . Подставим найденные коэффициенты в получим: и вообще . Найдем первые пять гармоник для найденного ряда: 1-ая гармоника , 2-ая гармоника , 3-ая гармоника , 4-ая гармоника , 5-ая гармоника , и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники. Запишем комплексную форму полученного ряда Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию) , но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n =+1 : (т.к. см. разложение выше) и случай когда n =-1: (т.к. ) И вообще комплексная форма: или или |