Доказательства теорем

Т.Сумма смежных углов = 180°

Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)

Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.

Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.

2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых.    Е

       А      В    В       А              А               В

С                                     Д                         Д

       Д                  С                         С

∠ВАС ∠ДСА внутр. одностор. (1рис)

∠ВАС ∠ДСА внутр. накрест лежащ. (2)

∠ЕАВ ∠АСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. ∠ =, то прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,рпрямые| |.

Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. ∠1=∠2

Но  ∠1=∠3 (вертикальные)р∠3=∠2.Но ∠2 и ∠3-накрестлежщие.рПо Т 1 a | | bn

Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. ∠=180°, то прямые | |n

Для ТТ 1-3 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й

прямой, то внутр.накрестлеащие ∠=, со-

ответств.∠=, сумма внутр.одност∠=180°.

Перпедикулярные пр-е пересек-ся ∠90°.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести ⊥ ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки (∉ данной прямой) можно опустить перпендикуляр⊥ на данную прямцю и только 1.

3. две прямые ⊥ 3-й параллельны.

4. Если прямая ⊥ 1-й из | | прямых, то она ⊥ и другой.

Многоугольник (n-угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис.,  r- впис.)

R = a / 2sin(180°/n);  r = a / 2 tg (180°)

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого∇ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. ∇ пересек. в 1 тчке -

центр впис. Круга.

4. Все 3 ⊥, восстановленные из середин сторон ∇, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.

5. Средняя линия | |  и = ? основания

H(опущ. на стор. a) = 2vp(p-a)(p-b)(p-c)

                                                  a

M(опущ на стор a) = ?  v 2b2+2c2 -a2

B (-тАШтАЩ-)= 2v bcp(p-a)   / b+c

p - полупериметр

a?=b?+c?-2bx, х-проекция 1-й из сторон

Признаки равенства ∇: 2∇=, если = сотв.

1. 2 стороны и ∠ между ними.

2. 2 ∠ и сторона  между ними.

3. 2 ∠ и сторона,  противолеж. 1-му из ∠

4. три стороны

5. 2 стороны и ∠ , лежащий против большей из них.

Прямоугольный ∇ C=90В°       a?+b?=c?

NB!       TgA= a/b;              tgB =b/a;

    sinA=cosB=a/c;          sinB=cosA=b/c

Равносторонний ∇  H= v3   * a/2

S ∇= ?  h a =? a b sin C

Параллелограмм

d?+d`?=2a?+ 2b?

S =h a=a b sinA(между а и  b)

= ? d d` sinB (между d d`)

Трапеция   S= (a+b) h/2 =?uvsinZ= Mh

Ромб S=a h =a?sinA= ? d d`

Окружность L= πRnВ°  / 180В°,nВ°-центр∠

Т.Впис.∠= ? L , L-дуга,на ктрую опир∠

S(cектора)= ? R?α= πR?nВ° / 360В°

Векторы.   Скалярное произведение

-а-b=|-a| |-b| cos (-a ∧-b),

                   |-a| |-b| - длина векторов 

Скалярное произведение |-a|{x`; y`} и |-b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, =

|-a| |-b| = x` ⋅  y` + x`` ⋅  y``

Преобразование фигур

1. Центр. Симметрия

2. Осевая симметрия  (⊥)

3. Симм. Отн-но плоскости (⊥)

4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .

5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

6. Поворот

7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:

- все точки оси переходят сами в себя

- любая точка А∉ оси р АрА` так, что

А и А` ∈ α, α⊥р, ∠АОА` = φ= const, О- точка пересеч. α и р.

Результвт 2-х движений= композиции.

8. Паралeн.перенос (x,y,z)р(x+a,y=b,x=c)

9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз

К=1 - движение.

Св-ва подобия.

1. АВС∈(а); A`B`C` ∈(a`)

2. (p) р (p`); [p)р[p`); αрα`; ∠Aр∠A`

3. Не всякое подобие- гомотетия

NB! S` = k? S``;     V ` = k 3 V ``

Плоскости.

Т. Если прямая, ∉ к.-л. плоскости α , | | к.-л. прямой, ∈  α, то она | | α

Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)

T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й α | | двум пересек. прямым другой β, то α | | β.

Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.

Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.

Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.

Т. Признак ⊥ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ⊥каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ⊥.

Т. 2 ⊥ к пл-сти | |.

Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых  ⊥, то и другая ⊥ плоскости.

Т. Признак ⊥ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ⊥ к др. п-сти, то он ⊥ этой  л-сти.

Дано [a)⊥ β,[a) ∈α,α ∪β= (p).Д-ть: α ⊥ β

Док-во. [a)⊥ β=•М. Проведем (b) через М, (b)⊥(p). (a)∧(b) - линейный ∠ двугранного угла между α и β. Так как [a)⊥ βр(a)⊥(b)р (a)∧(b)=90В°рα ⊥ βn

Т. Если 2 пл-сти взаимно ⊥, то прямая

1-й пл-сти ⊥ линии пересеч. пл-стей, ⊥ 2-й пл-сти.

Т. О 3-х ⊥. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ⊥ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ⊥ проекции наклонной.

Многогранники

Призма. V = S осн ⋅ a - прямая призма

a - боковое ребро , S пс- S ⊥-го сечения

V = S пс ⋅ а - наклонная призма

V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.

V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc

S=2(ab+ac+bc)

Пирамида V= 1/3  * НS осн. S=S всех ∇.

Фигуры вращения

Цилиндр V=πR?H;  S= 2πR (R+H)

Конус V= 1/3  * НS осн= 1/3  * πR?H

S= Sосн+ Sбок= πR (r + L); L-образующая

Сфера ВлоболочкаВ» S= 4πR?

Шар М= 4/3 πR3

Вместе с этим смотрят:

Евклид - жизнь и сочинения
Женщины-математики
Задания по численным методам
Задача оперативного планирования производства