Аксиоматика теории множеств
Страница 3
(пересечение).
А к с и о м а В3. X
Z
u (u
Z
u
X) (дополнение).
А к с и о м а В4. X
Z
u (u
Z
v (
X)) (область
определения).
А к с и о м а В5. X
Z
u
v (
Z
u
X).
А к с и о м а В6. X
Z
u
v
w (
Z
X).
А к с и о м а В7. X
Z
u
v
w (
Z
X).
С помощью аксиом В2—В4 можно доказать
X
Y
1Z
u (u
Z
u
X & u
Y),
X
1Z
u (u
Z
u
x),
X
1Z
u (u
Z
v (
X)).
Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.
Определения
u (u
X ∩ Y
u
X & u
Y) (пересечение классов Х и Y).
u (u
u
X) (дополнение к классу X).
u (u
D (X)
v (
X)) (область определения класса X).
(объединение классов Х и Y).
V = (универсальный класс).
X − Y = X ∩
Общая теорема о существовании классов.
Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
Z
x1 …
xn (
Z
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая такая подформула может быть заменена на
x (x = Yi & x
W), что в свою очередь эквивалентно формуле
x (
z (z
x
z
Yi) & x
W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подформулы вида X
X, которые могут быть заменены на
u (u = X & u
X), последнее же эквивалентно
u (
z (z
u
z
X) & u
X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (записанную с ограниченными переменными для множеств).