Аксиоматика теории множеств
Страница 4
1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj
xi, или xi
Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что
xi
xj (
W1
xi
xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что
xi
xj (
W2
xj
xi),
и тогда, в силу
X
Z
u
v (
Z
X),
существует класс W3 такой, что
xi
xj (
W3
xj
xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что
xi
xj (
W
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
X
Z
v1…
vk
u
w (
Z
X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что
x1…
xi-1
xi
xj (
Z1
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Далее, на основании
X
Z
v1…
vm
x1…
xn (
Z
X)
там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что
x1 …
xi
xi+1 …
xj (
Z2
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя
X
Z
v1…
vm
x1…
xn (
Z
X)
(1)
там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что
x1…
xn (
Z
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и
X
Z
x
v1…
vm (
Z
x
X).
2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ содержит s логических связок и кванторов.
(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1…
xn (
W
ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).