ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово – экономический институт.

Серпуховское представительство

                                                      Факультет: финансово – кредитный

                                                                               Кафедра: Высшей математики

Контрольная работа № 1

Дисциплина: Математический анализ и линейная алгебра

Тема:  Вариант №1

                                                                        

                                                                      Исполнитель:         Н.В. Кузьмина

                                                                                  Специальность:     финансы и кредит.

                                                                                  Группа:                    № 153                                                 

                                                                                  № зачетной книжки: № 05 ФФД 70071

                                                                                  Руководитель:        Доц. к.ф.-м.н.

                                                                                                                   Борисова В.И.

СЕРПУХОВ 2006 г.

1.  Методом  Гаусса  решить систему уравнений:

                             Ответ:

2. Найти предел

Пусть 

      и   непрерывны при , тогда по правилу Лопиталя (применяя его несколько раз), получим:

                             Ответ:

3. Найти производную функции:

                             Ответ:

4. Среди равнобедренных треугольников с боковой стороной 5 см. Найти длину основания треугольника с наибольшей площадью.

Пусть ABC- равнобедренный треугольник.

Расположим оси координатной плоскости

X0Y  так, чтобы ось 0X проходила через основание AC, а ось 0Y- через высоту, опущенную на основание. Пусть координаты точек :  C(), B(), тогда A(). По условию BC=5см., то есть , значит

.

Площадь .

Пусть . Функция достигает максимума, если

 при

Из условия  , значит  при   (см)

                              Ответ: см.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1;2) параллельно касательной к графику функции  , проведённой в точке с абсциссой , сделать чертеж.

Производная функции  равна:

 а уравнение касательной в точке , как известно,

, то есть

  или

Так как искомая прямая параллельна этой касательной, ее уравнение будет иметь вид:

.

Константу b найдем, подставляя координаты точки (1;2), через которую проходит искомая прямая:

, отсюда , а уравнение  прямой  .

                              Ответ:

6. Исследовать функцию и построить график.

   

1.     Область определения функции:

 

2.     Функция непрерывна на всей области определения.

3.     При

      

       Пусть ; 

       По правилу Лопиталя

       .

        То есть, при    

4.     Функция не является ни четной, ни нечетной

5.     Найдем точки пересечения графиком оси 0X:

y=0:    x>0  lnx=1; x=e;

Точка пересечения оси 0X имеет координаты .

6.     При   y<0; при   y>0.

7.    

Производная обращается в нуль при x=1; в интервале  она отрицательна, в интервале  она положительна.

Значит, при  функция убывает, при  возрастает, в точке x=1 имеет минимум 

        8.  

Вторая производная не имеет нулей и при  положительна, значит, график функции вогнутый.

9.   При     Так как при   , то .

      Найдем наклонную асимптоту:

       , то есть график не имеет наклонной асимптоты.

                       Список используемой литературы

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.