Контрольная работа №1

по теме «Парная линейная регрессия»

Вариант № 1

Данные, характеризующие прибыль торговой компании «Все для себя» за первые 10 месяцев 2004 года (в тыс. руб.), даны в следующей таблице:

январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь
382+N	402+N	432+N	396+N	454+N	419+N	460+N	447+N	464+N	498+N

N=9 -последняя цифра номера зачетной книжки.

В контрольной работе с использованием табличного процессора Ехсеl необходимо выполнить следующие вычисления и построения:

1. Построить диаграмму рассеяния.

2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ). Вычисление коэффициентов b₀, b₁ выполнить методом наименьших квадратов.

4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислить значения статистики F и коэффициента детерминации R². Проверить гипотезу о значимости построенного уравнения регрессии.

6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.

7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

8. Проверить гипотезы о значимости вычисленных коэффициентов b₀, b₁ .

9. Построить доверительные интервалы для коэффициентов b₀, b₁.

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания М()( по оси Х откладывать месяцы январь - декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.

12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания М() и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

Решение.

1. При N=9 данные, характеризующие прибыль торговой компании «Все для себя» за первые 10 месяцев, задаются следующей таблицей:

№ месяца	Месяц ( x)	Прибыль (y)
1	январь	391
2	февраль	411
3	март	441
4	апрель	405
5	май	463
6	июнь	428
7	июль	469
8	август	456
9	сентябрь	473
10	октябрь	507

Используя исходные данные, строим диаграмму рассеяния:

2. На основе анализа диаграммы рассеяния убеждаемся в наличии тенденции увеличения прибыли фирмы и выдвигаем гипотезу о линейном тренде.

3. Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией . Решение задачи нахождения коэффициентов b₀, b₁ основывается на применении метода наименьших квадратов и сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными b₀, b₁:

b₀ n + b₁ Σx_i = Σy_i,

b₀Σx_i + b₁ Σx_i² = Σx_iy_i.

Составляем вспомогательную таблицу:

№	х	y	x²	ху	y²
1	1	391	1	391	152881
2	2	411	4	822	168921
3	3	441	9	1323	194481
4	4	405	16	1620	164025
5	5	463	25	2315	214369
6	6	428	36	2568	183184
7	7	469	49	3283	219961
8	8	456	64	3648	207936
9	9	473	81	4257	223729
10	10	507	100	5070	257049
сумма	55	4444	385	25297	1986536

Для нашей задачи система имеет вид:

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

Σy_i×Σx_i² – Σx_iy_i×Σx_i nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i

b₀ = —————————, b₁ = ——————— .

nΣx_i² – (Σx_i)² nΣx_i² – (Σx_i)²

Получаем:, .

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид: y =387,4 + 10,364x.

4. Нанесем график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислим значения статистики F и коэффициента детерминации R². Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле R² = r_xy² = 0,873² = 0,762. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Рассчитаем значение статистики F через коэффициент детерминации R² по формуле:

Получаем: . Зададим уровень значимости α =0,05, по таблице находим квантиль распределения Фишера F_0,01;1;8 = 5,32, где 1 – число степеней свободы.

F_факт. > F_0,01;1;8, т.к. 25,67 > 5,32.

Следовательно, делаем вывод о значимости уравнения регрессии при 95% - м уровне значимости.

6. Вычислим выборочный коэффициент корреляции и проверим гипотезу о ненулевом его значении.

Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле:

nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i

r_xy =—————¾ ¾¾——¾— ,

√nΣx_i² – (Σx_i)² √nΣу_i² – (Σу_i)²

Получаем:

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: если , то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-_α_/2,_n_-2– квантиль распределения Стьюдента, α - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение α задается. Примем α = 0,05, тогда t_1-_α_/2,_n_-2= t_0,975,8= 2,37. Получаем:

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у.

С использованием табличного процессора Ехсеl проведем регрессионную статистику:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,873
R-квадрат	0,762
Нормированный R-квадрат	0,733
Стандартная ошибка	18,579
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	8860,909	8860,909	25,670	0,001
Остаток	8	2761,491	345,186
Итого	9	11622,400

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-стати- стика	P-Значение	Нижние95%	Верхние 95%
Y-пересечение	387,400	12,692	30,523	0,000	358,132	416,668
Переменная X 1	10,364	2,046	5,067	0,001	5,647	15,081

Вычисленные значения коэффициентов b₀, b₁, значения статистики F, коэффициента детерминации R²выборочного коэффициента корреляции r_xy совпадают с выделенными в таблице.

7. Оценка дисперсии случайной составляющей эконометрической модели вычисляется по формуле .

Используя результаты регрессионной статистики, получаем:

8. Проверим значимость вычисленных коэффициентов b₀, b₁по t-критерию Стьюдента. Для этого проверяем выполнение неравенств: и , где , , , .

Используем результаты регрессионной статистики:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	387,400	12,692	30,523	0,000	358,132	416,668
Переменная X 1	10,364	2,046	5,067	0,001	5,647	15,081

Получаем: ; Примем α = 0,05, тогда t_1-_α_/2,_n_-2= t_0,975,8= 2,37.

Так как и , делаем вывод о значимости коэффициентов линейного уравнения регрессии.

9. Доверительные интервалы для коэффициентов b₀, b₁ получаем с помощью результатов регрессионной статистики.

Доверительный интервал для коэффициента b₀уравнения регрессии:

Доверительный интервал для коэффициента b₁ уравнения регрессии:

10. Построим доверительный интервал для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели по формуле:

Примем α = 0,05, тогда по таблице для 10-элементной выборки q= 0,65. Получаем:

11. Построим доверительную область для условного математического ожидания М().

Доверительные интервалы для уравнения линейной регрессии : находятся по формуле:

где соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) – число степеней свободы;

Рассмотрим уравнение: y =387,4 + 10,364x. Пусть тогда . Зная и , заполним таблицу:


1	397,7636	20,25	3,961	390,396	405,131
2	408,1273	12,25	4,458	399,835	416,419
3	418,4909	6,25	4,905	409,368	427,614
4	428,8545	2,25	5,314	418,970	438,739
5	439,2182	0,25	5,694	428,627	449,810
6	449,5818	0,25	6,051	438,328	460,836
7	459,9455	2,25	6,387	448,065	471,825
8	470,3091	6,25	6,707	457,835	482,783
9	480,6727	12,25	7,012	467,631	493,714
10	491,0364	20,25	7,304	477,451	504,622
сумма	82,5
11	501,4	30,25	7,585	487,292	515,508
12	511,7636	42,25	7,856	497,152	526,376

График уравнения регрессии, доверительная полоса, диаграмма рассеяния:

12. С помощью линейной парной регрессии сделаем прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц:

501,4, 511,764.

Нанесем эти значения на диаграмму рассеяния.

Эти значения сопоставимы с границами доверительной области для условного математического ожидания М().

Точность прогнозирования: с вероятностью 0,95 прибыль в ноябре находится в интервале (487,292; 515,508); прибыль в декабре находится в интервале (497,152; 526,376).