Федеральное   агентство  по   образованию

Всероссийский  заочный  финансово-экономический  институт

К О Н Т Р О Л Ь Н А Я     Р А Б О Т А

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант № 6

Исполнитель:	Куракина Наталия Игоревна
Специальность:	Финансы и кредит
Группа:	Город, вечер
№ зачётной книжки	05ФФД13446
Курс:	3 (третий), 1-ое образование
Руководитель:	Бан Татьяна Михайловна

Архангельск

2008

Условие задачи.

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков  ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти  среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

·                 Гиперболической;

·                 Степенной;

·                 Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Х	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
Y	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

Решение задачи.

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии  решим систему нормальных уравнений:

n=10

x	y	x^2	xy
33	43	1089	1419
17	27	289	459
23	32	529	736
17	29	289	493
36	45	1296	1620
25	35	625	875
39	47	1521	1833
20	32	400	640
13	22	169	286
12	24	144	288
235	336	6351	8649

Найдём параметры уравнения линейной регрессии, используя надстройку «Мастер диаграмм» в Excel, тип диаграммы – точечная, выделяем столбцы (А1:В11), выбираем команду «Добавить линию тренда», выбираем 2 последние команды:

- показывать уравнение на диаграмме;

- поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

Общий вид уравнения регрессии имеет вид:

коэффициент регрессии.

Величина коэффициента регрессии () показывает, на сколько в среднем изменяется значение результата с изменением фактора на 1 единицу. Т.о в нашем случае, с увеличением объема капиталовложений (Х) на 1 млн.руб. объём выпуска продукции (У) возрастает в среднем на 0.909 млн.руб., т.е. дополнительный прирост выпуска продукции на 1 млн.руб. потребует увеличения капиталовложений  в среднем на 0.909 млн. руб.

X	Y
33	43
17	27
23	32
17	29
36	45
25	35
39	47
20	32
13	22
12	24
а0=12.241
а1=0.909

         

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков . Построить график остатков.

Вычислим остатки по формуле: 

x	y			m
33	43	42.24	0.76	-	0.5806
17	27	27.69	-0.69	0	0.4816
23	32	33.15	-1.15	1	1.3179
17	29	27.69	1.31	1	1.7056
36	45	44.97	0.03	0	0.0012
25	35	34.97	0.03	0	0.0012
39	47	47.69	-0.69	1	0.4789
20	32	30.42	1.58	1	2.4932
13	22	24.06	-2.06	1	4.2354
12	24	23.15	0.85	-	0.7242
235	336	336.03	-0.03	5	12.0199

Оценка дисперсии остатков:

По следующим данным строим график остатков:

Y	Е(t)
43	0.76
27	-0.69
32	-1.15
29	1.31
45	0.03
35	0.03
47	-0.69
32	1.58
22	-2.06
24	0.85

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

1. Случайный характер остатков (критерий поворотных точек, критерий пиков):

,

где n- количество наблюдений;

m – количество поворотных точек (пиков).

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

     не является поворотной точкой

  является поворотной точкой

    является поворотной точкой

    не является поворотной точкой        

    не является поворотной точкой

    является поворотной точкой

  является поворотной точкой

    является поворотной точкой.

m=5

m=5>2, следовательно неравенство выполняется, свойство выполняется.

2. Независимость значений остатков (отсутствие автокорреляции). Критерий Дарбина-Уотсона.

 

x	y
33	43	42.24	-0.76	0.5806	-
17	27	27.69	0.69	0.4816	2.1199
23	32	33.15	1.15	1.3179	0.2061
17	29	27.69	-1.31	1.7056	6.0221
36	45	44.97	-0.03	0.0012	1.6154
25	35	34.97	-0.03	0.0012	0.0000
39	47	47.69	0.69	0.4789	0.5271
20	32	30.42	-1.58	2.4932	5.1574
13	22	24.06	2.06	4.2354	13.2278
12	24	23.15	-0.85	0.7242	8.4623
235	336	336.03	0.03	12.0199	37.3382

 сравниваем с двумя табличными:

 

, находим

Сравниваем  с табличными;

 

, следовательно, свойство выполняется, остатки независимы.

3. Подчинение остатков нормальному закону (R/S критерий).

Расчётный критерий сравниваем с двумя табличными, если расчётный критерий попадает внутрь табличного интервала, то свойство выполняется.

      (2,67;3,57)

2,67 < 3,149 < 3,57, следовательно, свойство выполняется, остатки подчинены нормальному закону.

4. Проверка равенства М(Е)=0, средняя величина остатков равна 0 (критерий Стьюдента).

Если  < , то свойство выполняется.

2,2281

, следовательно, свойство выполняется.

5. Гомоскедастичность остатков, то есть дисперсия остатков () одинаково для каждого значения (остатки имеют постоянную дисперсию).

Если дисперсия остатков неодинакова, то имеет место гетероскедастичность.

Если предпосылки не выполняются, то модель нужно уточнять. Применяем тест Голдфельд-Квандта:

1)    упорядочить (ранжировать) наблюдения по мере возрастания фактора «Х».

2) исключить d-средних наблюдений.

     , где n – количество наблюдений.

2)    разделить совокупность на две группы: с малыми и большими значениями «Х» и для каждой из частей найти уравнение регрессии.

3)    найти остаточную сумму квадратов отклонений () для каждого уравнения регрессии.

4)    применяют критерий Фишера:

 

Если , то гетероскедастичность имеет место, то есть пятая предпосылка не выполняется.

X	Y
33	43
17	27
23	32
17	29
36	45
25	35
39	47
20	32
13	22
12	24

                      

Упорядочим наблюдениям по мере возрастания переменной Х:

X	Y
12	24
13	22
17	27
17	29
20	32
23	32
25	35
33	43
36	45
39	47

 

 

X5=20; Y5=32 и Х6=23; Y6=32 исключаем.

; n=10

x	y
12	24	144	22.65	1.35	1.8225
13	22	169	23.686	-1.686	2.8426
17	27	289	27.83	-0.83	0.6889
17	29	289	27.83	1.17	1.3689
59	102	891	-	0.004	6.7229

n=4

x	y
25	35	625	35,332	-0,332	0,1102
33	43	1089	42,284	0,716	0,5127
36	45	1296	44,891	0,109	0,0119
39	47	1521	47,498	-0,498	0,2480
133	170	4531	-	-0,005	0,8828

n=4

, так как

, значит, пятая предпосылка  выполняется,  следовательно, модель нужно адекватна.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

;

x	y
33	43	1089	42.24	0.76	0.5806	90,25
17	27	289	27.69	-0.69	0.4816	42,25
23	32	529	33.15	-1.15	1.3179	0,25
17	29	289	27.69	1.31	1.7056	42,25
36	45	1296	44.97	0.03	0.0012	156,25
25	35	625	34.97	0.03	0.0012	2,25
39	47	1521	47.69	-0.69	0.4789	240,25
20	32	400	30.42	1.58	2.4932	12,25
13	22	169	24.06	-2.06	4.2354	110,25
12	24	144	23.15	0.85	0.7242	132,25
235	336	6351	336.03	-0.03	12.0199	828,5

        

, следовательно, параметр  значим.

                   

, следовательно, коэффициент регрессии значим.

Интервальная оценка:

 

а0: 12,241 2,31*0,876

а0: 12,241 2,02

Нижняя граница: 12,241-2,02=10,221

Верхняя граница: 12,241+2,02=14,261

а0: (10,22114,261), следовательно, параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

а1: 0,909 2,31*0,0426

а1: 0,9090,098

Нижняя граница: 0,909-0,098=0,811

Верхняя граница: 0,909+0,098=1,007

а1: (0,8111,007), следовательно, коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти  среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Для  нахождения коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции:

Проверяем значимость по критерию Стьюдента:

, следовательно, значим.

=0,991, то есть связь между переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше 0).

Находим коэффициент детерминации:

, то есть 98,2% - изменение объёма выпуска продукции (зависимой переменной «y») происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора «х», включённого в модель).

Значимость уравнения регрессии по критерию Фишера:

, следовательно, уравнение регрессии значимо, модель адекватна.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

x	y
33	43	42.24	0.76	0,0177
17	27	27.69	-0.69	0,0257
23	32	33.15	-1.15	0,0359
17	29	27.69	1.31	0,0450
36	45	44.97	0.03	0,0008
25	35	34.97	0.03	0,0010
39	47	47.69	-0.69	0,0147
20	32	30.42	1.58	0,0493
13	22	24.06	-2.06	0,0935
12	24	23.15	0.85	0,0355
235	336	336.03	-0.03	0,3191

          

Так как , значит модель достаточно точная.

F-критерий намного больше табличного значения, коэффициент детерминации  очень близок к 1, а относительная ошибка аппроксимации составляет 3,19%.  На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

- прогноз факторного признака (объема капиталовложений).

 - точечный прогноз.

(31,2; 40,6) – точка должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:

     

40,61,861,33

40,62,47

Верхняя граница:  40,6-2,47=38,13

Нижняя граница: 40,6+2,47=43,07

То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 31,2, точечный прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 40,6. Доверительный интервал: 38,1340,07.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

·                 Гиперболической;

·                 Степенной;

·                 Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Уравнение степенной модели парной регрессии:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры (см. приложение).

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Построим график:

Определим коэффициент корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 98,2% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,4%.

Коэффициент эластичности для степенной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,62%.

Уравнение показательной модели парной регрессии:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры.

Перейдём к исходным переменным x и y.

 

Построим график:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 96,8% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,8%.

Коэффициент эластичности для показательной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,63%.

Уравнение гиперболической модели парной регрессии:

Произведём линеаризацию модели путём замены .

В результате получим линейное уравнение:

Рассчитаем его параметры.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

Построим график:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 89,5% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,23%.

Коэффициент эластичности для гиперболической модели регрессии:

%, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,53%.

Сравним модели по коэффициенту детерминации, коэффициенту эластичности и средней относительной ошибке аппроксимации:

Модель парной регрессии	Критерий
Степенная	0,982	3,4%	0,62%
Показательная	0,968	3,8%	0,63%
Гиперболическая	0,895	7,2%	0,53%

Самое хорошее качество имеет степенная модель. Коэффициент детерминации наиболее близок к 1 (вариация объёма капиталовложений на 98,2% объясняет вариацию  объёма выпуска продукции), наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации S=3,4% и среднее значение коэффициента эластичности .