§6. Аксиоматика точечно-векторного евклидова пространства

 

§6.1.  Метрические соотношения в треугольнике

 

Теорема 18.5. (теорема косинусов для треугольника).

Во всяком треугольнике

,

 

,

 

.

 

Доказательство:

Рассмотрим векторное равенство . Возьмем скалярный квадрат:

,

,

.

          Пусть  - единичный вектор, отложенный от точка А на луче [АВ), - единичный вектор, отложенный от точки А на луче [АС). Тогда

.

Отсюда

,

.

          Аналогично устанавливаются остальные две формулы теоремы косинусов для треугольника.

          Следствие. В треугольнике две стороны конгруэнтны тогда и только тогда, когда лежащие против них углы конгруэнтны.

Доказательство:

          I. Пусть . Докажем, что .

Имеем

.

          II. Пусть . Докажем, что . Выполним следующие преобразования

– ,

,

,

,

.

          Докажем, что ; то ;

, но для треугольника .

          Таким образом,

.

          Теорема 18.6.

,                                (1)

                                  (2)

                                 (3)

Доказательство:

Докажем равенство (1). Рассмотрим равенство: . Умножим его скалярно на :

, или так как , то

, или

 , это и есть равенство (1).

          Аналогично устанавливается остальные соотношения.

          Следствие 2. Если один из углов в треугольнике тупой, то два других острые.

Доказательство:

          Пусть  – прямой, то есть .

Имеем:

,

.

Тогда:

 – острый,

 – острый.

          Следствие 3.  В треугольнике более одного тупого угла быть не может.

Доказательство:

          Пусть  – тупой угол, то есть .

          Тогда  – острый.

Аналогично устанавливается, что   – острый.

          Определение 18.6. Треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол.

          Теорема 18.7. (теорема Пифагора). Если в   – прямой, то .

Доказательство:

Имеем: .

Так как  – прямой, то .

Тогда  .

          Теорема 18.8. (обратная теорема 18.7). Если в  , то этот треугольник прямоугольный.

          Доказательство получается в результате проведения предыдущих рассуждений в обратном порядке.

          Следствие 4. В прямоугольном треугольнике каждый катет меньше гипотенузы.

Доказательство:

          Пусть , тогда имеем:

,

.

Так как углы С и В острые, то  и .

Отсюда  и .