Глава 1
§1.
Аксиоматика векторного пространства
Характеризация
векторного пространства, как математической структуры осуществляются рядом
аксиом.
Основные
понятия теории: "вектор", "сумма двух векторов",
"произведение вектора на действительное число".
Косвенным определением
основных понятий теории векторного пространства являются следующие аксиомы:
I. Для любых векторов 
и 
существует единственный третий вектор 
, называемый их суммой
Таким образом
аксиома I постулирует:
а) единственность этой
суммы.
б) существование суммы
двух векторов и ;
Данная аксиома вводит на
множестве векторов V операцию
f1: V x V ® V.
которая называется сложением двух векторов.
II. Сложение векторов коммутативно,
т.е.
.
III. Сложение векторов ассоциативно,
т.е.
IV. Существует вектор 
такой, что 
для любого вектора, т.е.
Определение
1.1. Вектор , удовлетворяющий аксиоме IV, называется нулевым вектором и
обозначается 
V. Для каждого вектора существует такой
вектор 
, что +=
Определение
1.2. Вектор 
, удовлетворяющий аксиоме V, называется
противоположным вектору .
VI. Для
любого вектора и действительно числа 
, существует единственный вектор , называемый произведением вектора на число и обозначаемый т.о.: 
, т.е.
, 
, 
Данная аксиома вводит операция нового
типа (внешнюю операцию):
Эта операция носит название «умножение вектора на число».
VII. Для любого вектора умножение вектора на 1 не изменяет
вектора , т.е.
, 
VIII. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.
, , 
IX. Умножение вектора на число
дистрибутивно сложения чисел, т.е.
, 
, 
X. Умножение вектора на число
дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е.
, 
, 
Этим заканчивается
аксиоматика векторного пространства, которое можно теперь определить т.о.:
множество V с
введенными двумя операциями
,
подчиняющееся аксиомам I-X, называется векторным
пространством над полем действительных чисел R.