§2. Следствие из аксиом векторного пространства

          Из аксиом I-X можно вывести целый ряд предложений.

          Теорема 2.1. Существует единственный нулевой вектор.

Доказательство:

          Предложим, что существует два различных вектора  и  таких, что  и  для любого вектора .

Положим . Тогда

 и                                   (1)

Положим теперь . Аналогично получим:

 и                                   (2)

Так как  (по аксиоме II), то из (1) и (2) следует, что .

          Таким образом, векторное пространство содержит единственный вектор , удовлетворяющий равенству .

          Теорема 2.2.  Для любого вектора  существует единственный противоположный вектор .

Или:

 и

Доказательство:

          Допустим, что  и  и , т.е. существует , имеющий два различных противоположных вектора  и .

 и                                                                              (1)

                                                                                (2)

Тогда

 и                                          (3)

Левые части равенств (3) равны между собой. Действительно:

             (4)

Из равенства (3) и (4) следует, что .

          Теорема 2.3. Для любых векторов  и  существует единственный вектор , такой, что .

Доказательство:

          I. Существование. Убедимся, что в качестве вектора  можно будет выбрать вектор . В самом деле,

Таким образом, для векторов  и  существует вектор , удовлетворяющий равенству:

.

          II. Единственность (от противного).  Пусть

 и                                                  (1)

Тогда:

          Отсюда . Получим противоречие с допущением. Таким образом, единственность вектора  доказана.

          Определение 2.1. Вектор, удовлетворяющий равенству , называется разностью векторов  и , и обозначается через - .

          Таким образом

Теорема 2.3., как видно, вводит на множестве v новую операцию "–":

называемую вычитанием, которая является обратной по отношению к операции сложения.

          Следствие 1.

          Теорема 2.4.

Доказательство:

, т.к.  - вектор, противоположный вектору . Тогда

 Ч.т.д.

          Теорема 2.5.

Доказательство:

Имеем:

;

Отсюда следует, что .

Ч.т.д.

          Теорема 2.6. .

Доказательство:

Имеем:

 

Отсюда следует, что .

          Теорема 2.7.  

Доказательство:

Имеем:

        (по Теореме 2.6.)

Отсюда следует, что .

          Следствие 2. .

          Теорема 2.8.  или .

Доказательство:

Возможны два случая:

          I.  и

          II. .

I. Если , то дизъюнкция  или  истинна и теорема доказана.

II. Пусть . Тогда существует число , отсюда имеем:

 (по условию Т. 2.5.) ,

(по Т. 2.5.) .

          Таким образом, в случае II имеем, что .

Итак, если , то  или .

          Теорема 2.9. .

Доказательство:

          Для того, чтобы установить, что вектор  является противоположным для вектора , необходимо и достаточно проверить, выполняется ли следующее равенство:

, или все равно, что .

Имеем:

          Таким образом  или . И, следовательно, .

          Рассмотренные свойства операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам арифметических операций над числом. Так, например, сумма конечного числа векторов, как и сумма в любой коммуникативной группе, не зависит ни от порядка слагаемых в этой сумме, ни от способа расстановки скобок:

 и т.д.

          Однако между векторной и числовой алгеброй существуют серьезные отличия. Одно из наиболее существенных отличий состоит в том, что множество векторов не является упорядоченным, т.е. для векторов нельзя ввести отношение «меньше» и «больше». Например для двух противоположных чисел  и  мы знаем, что  и, что одно из этих двух чисел больше 0, а другое – меньше 0. Для векторов же, удовлетворяющих равенству , постановка вопроса о том, какой из векторов  или  больше нулевого, а какой меньше нулевого, бессмысленна.