Министерство образования и науки Украины
Донбасская государственная машиностроительная академия
Кафедра электротехники и электрооборудования
Расчетно-графическая работа
Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях
Выполнил:
Проверил:
Краматорск
Задание
В заданных вариантах необходимо: для каждой цепи рассчитать токи и напряжения во время переходного процесса вызванного коммутацией - определить их аналитические выражения и построить временные графики i (t), u (t). Задачи решить классическим и операторным методами.
Задача №1
U0
=1000 В
R1
=120 Ом
R2
=50 Ом
R3
=10 Ом
L=0.4 Гн
Рис. 1.
Решение задачи классическим методом
Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационного режима.
Составленную систему уравнений называют математической моделью динамического режима работы цепи.
Токи и напряжения до коммутации:
Принужденные составляющие токов и напряжения
Определим полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации. На основании первого закона коммутации:
Свободные составляющие токов и напряжений в первый момент после коммутации.
Составляем характеристическое уравнение и определяем показатель затухания:
Постоянная времени переходного процесса
7. Выражения для свободных токов и напряжений:
8. Определяем постоянные интегрирования:
9. Свободные токи и напряжения:
10. Полные токи и напряжения во время переходного процесса
11. Построим графики токов и напряжений во время переходного процесса:
График тока i1
График тока i2
График тока i3
График напряжения на индуктивности ul
Решение задачи операторным методом
Рис.2.
Представим схему замещения цепи в операторной форме (рис.2)
для после коммутационного режима.
Для расчета токов и напряжения U1
в операторной форме используем метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в операторной форме:
Так как напряжение на индуктивности до коммутации было равно нулю, внутренняя ЭДС
 также равна нулю, в дальнейших расчетах ее не учитываем.
Из второго уравнения:
Из третьего уравнения:
Значения I2
(р) и I3
(р) подставим в первое уравнение:
Выражение для тока первой ветви в операторной форме:
 
Выражение для I1
(р)
получено в виде дроби, числитель и знаменатель которой полиномы.
N (
p)
=150000 + 400р
– полином числителя, где
М (р) =
23000р
+ 68p2
- полином знаменателя
Определяем корни полинома знаменателя:
23000p
+ 68p2
= p
(23000 + 68p
)
p1
=0; p2
=
Для перевода тока I2
(р)
из области изображений в область временных функций применяем формулу
где N (р1
)
и N (р2
) -
соответственно значения полиномов числителя при корнях р1
и р2
М' (р1
)
и М' (р2
) -
значения производной от полинома знаменателя соответственно при корнях р1
и р2.
Полиномы числителя при корнях р1
и р2
:
N (р1
)
= 150000; N (р2
)
= 14706
Производная от полинома знаменателя:
М (р) =
23000 + 136p
Производная от полинома знаменателя при корнях р1
и р2.
м' (р1
) = 23000; М' (р2
) = - 23000;
Ток i1
во время переходного процесса:
Остальные токи и напряжения определим используя законы Ома и Кирхгофа
При расчете операторным методом получены те же выражения для токов и напряжения как и при расчете классическим методом, что подтверждает правильность выполненного расчета переходного процесса.
Задача №2
U0
=160 B
R=80 Oм
L=0.8 Гн
С=20*10-6
Ф
Рис 3.
Необходимо найти закон изменения токов во всех ветвях и напряжений UL
и UC
в зависимости от времени и построить графики.
Решение задачи классическим методом
Математическая модель динамического режима работы цепи для послекоммутационного режима:
Решая данную систему дифференциальных уравнений, можно получить закон изменения токов и напряжений во времени в момент переходного процесса, не используя специальных методов. Доя упрощения решения системы воспользуемся классическим методом.
1. Токи и напряжения до коммутации.
2. Принужденные значения токов и напряжений
3. Полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:
3. Свободные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:
Определим производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации, для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа.
Производные от тока на индуктивности и напряжения на емкости:
Отсюда
Все полученные результаты занесем в таблицу:
| i1
|
i2
|
i3
|
UL
|
uс
|
| t= 0 +
|
1
|
0
|
1
|
80
|
0
|
| t=∞ |
1
|
1
|
0
|
0
|
80
|
| Iс
в
(0+) |
0
|
-1
|
1
|
| Uс
в
(0+) |
80
|
-80
|
| I’с
в
(0+) |
100
|
625
|
| U’с
в
(0+) |
-58000
|
50000
|
Составим характеристическое уравнение (для послекоммутационного режима) и определим его корни:
Подставим численные значения параметров цепи:
Решив квадратное уравнение получаем:
р1
= - 282.461
р2
= -
442.539
7. Определим постоянные интегрирования А1
и А2
, и запишем выражения для токов и напряжений а) Для тока i1св
:
|