Курсовая работа: Топологические пространства

§1. Топологические пространства

(предварительные сведения)

1.1. Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным , если у всякого множества О , открытого в пространстве Y , полный прообраз f ^–1 (О ) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f : X → Y справедливо следующее равенство:

(1).

Теорема 1.1. Отображение f : X → Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F , замкнутого в Y , полный прообраз f ^{– 1} (F ) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X → Y является непрерывным, т.е. для любого множества О , открытого в Y , прообраз f ^–1 (O ) открыт в Х , и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y , и множество открыто в Х , в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f ^–1 (F ) замкнуто в Х .

Достаточность. Пусть для любого множества F , замкнутого в Y , полный прообраз f ^{– 1} (F ) замкнут в Х . Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y . Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х . Таким образом, для любого множества О , открытого в Y , полный прообраз открыт в Х и отображение f : X → Y непрерывное по определению. €

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным , если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О ₁ О ₂ .

Определение 5. Пространство Х называется связным , если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О ₁ и О ₂ , не имеющих общих точек, то О ₁ = CO ₂ и O ₂ = CO ₁ . Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным , если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным , если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

(1) существуют непустые открытые множества О ₁ и О ₂ , для которых О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = Х ;

(2) существуют непустые замкнутые множества F ₁ и F ₂ , для которых F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х ;

(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

(4) существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О ₁ и О ₂ непустые открытые множества, для которых О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = Х . Рассмотрим множества F ₁ = СО ₁ и F ₂ = СО ₂ . Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F ₁ и F ₂ непустые замкнутые множества, для которых F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х . Рассмотрим множество G = F ₁ Ì Х . Множество F ₁ замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F ₂ (F ₁ = CF ₂ ). Поэтому множество G = F ₁ является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х .

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х . Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х .

Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой

φ (х ) =

Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q , открытым в Х .

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ (Х ) = М . Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = φ ^–1 (М ) = φ ^–1 (А В ) = φ ^–1 (А ) φ ^–1 (В ),

причём φ ^–1 (А ) и φ ^–1 (В ) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О ₁ = φ ^–1 (А ) и О ₂ = φ ^–1 (В ) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О ₁ О ₂ . €

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F ₁ и F ₂ и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F ₁ F ₂ . Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F ₁ , либо в F ₂ .

Доказательство. Пусть F ₁ и F ₂ дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F ₁ F ₂ . Тогда

М = (М ∩ F ₁ ) (M ∩ F ₂ ).

Так как множества F ₁ и F ₂ замкнутые в Х , то множества М ∩ F ₁ и M ∩ F ₂ замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F ₂ , пустое. Тогда

М = М ∩ F ₁ Í F ₁ . €

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О ₁ и О ₂ топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X ) = Y . Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O ₁ O ₂ .

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X ) = Y , прообразы G ₁ = f ^–1 (O ₁ ) и G ₂ = f ^–1 (O ₂ ) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х , что противоречит его связности. €

1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным , если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным , если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х . В силу компактности пространства Х , из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А . Пусть, например,

.

Очевидно, что множества образуют искомое конечное подпокрытие множества А . €

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым , если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х ) компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

§2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки y ÎY прообраз f ^–1 (U ) называется трубкой (над U ), а прообраз f ^–1 (y ) называется слоем (над точкой y ).

Определение 11. . Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой y ÎY , если существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y .

Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy , т.к., если U = U ₁ U ₂ , где U ₁ , U ₂ – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то

f ^–1 (U ) = f ^–1 (U ₁ ) f ^–1 (U ₂ ), f ^–1 (U ₁ ) ∩ f ^–1 (U ₂ ) = Æ,

т.е. f ^–1 (U ) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой y ÎY , если оно не является несвязным над точкой y , т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным , если оно связно над каждой точкой y Î Y .

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y . Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;

(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что каждая трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;

(3) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что каждая трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;

(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что для каждой трубки f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1 (U ) ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y Î Y , т.е. существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y . Таким образом, трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.

f ^–1 (U ) = О ₁ О ₂ , О ₁ ∩ О ₂ = Æ.

Из (2) следует (3). Пусть трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.

Из (3) следует (4). Пусть трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f ^–1 (U ) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.

Из (4) следует (5). Пусть в трубке f ^–1 (U ) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f ^–1 (U ) существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1 (U ) ® {1, 2}.

Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что для трубки f ^–1 (U ) над некоторой окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1 (U ) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1 (U ) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Î Y . €

Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным , если каждый слой f ^–1 (y ), где y Î Y , этого отображения является связным множеством.

Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z , при котором f = g φ . Тогда, если отображение f связно над точкой y Î Y (слой f ^–1 (y ) связен), то и отображение g связно над точкой y Î Y (слой g ^–1 (y ) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).

Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y Î Y , тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y , трубка над которой f ^–1 (U ) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f ^–1 (U ) (связного слоя f ^–1 (y )) связен, т.е. множество φ (f ^–1 (U )) (множество φ ( f ^–1 (y ))) – связное.

Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y , т.е. существует такая связная окресность Oy точки y , что трубка g ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y . (Предположим, что слой g ^–1 (y ) несвязен над точкой y Î Y ).

По условию, f = g φ , следовательно,

f ^–1 (U ) = (g φ ) ^–1 (U ) = φ ^–1 (g ^–1 (U )).

Отсюда,

φ (f ^–1 (U )) = φ (φ ^–1 (g ^–1 (U ))) =g ^–1 (U )

(для слоя φ ( f ^–1 (y )) = g ^–1 (y )). Получили противоречие, т.к. множество φ ( f ^–1 (U )) связное (слой φ ( f ^–1 (y )) связен), а множество g ^–1 (U ) (слой g ^–1 (y )) – нет.

Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f ^–1 (y ) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y . Если отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f ^–1 (y ) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g ^–1 (y ) связен). В силу произвольности выбора точки y , заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно связно). €

2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности

Определение 15. Отображение f : X → Y называется замкнутым , если для каждого замкнутого множества F Í Х образ f (F ) является замкнутым множеством в Y .

Определение 16. Отображение f : X → Y называется замкнутым над точкой y ÎY , если для всякой окрестности О слоя f ^{– 1} (y ) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y , трубка над которой f ^{– 1} (Oy ) содержится в данной окрестности О слоя f ^{– 1} (y ):

f ^{– 1} (y ) Í f ^{– 1} (Oy ) Í О.

Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X → Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой y ÎY .

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X → Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность О множества f ^{– 1} (y ). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f ^–1 (y ) = Æ. Поэтому множество f (F ) замкнуто в Y и точка y Ï f (F ). Значит окрестность Oy = Y \ f (F ) точки y обладает таким свойством f ^{– 1} (Oy ) ∩ F = Æ, следовательно, f ^{– 1} (Oy ) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой y ÎY в силу того, что точка y взята произвольно.

Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой y ÎY . Предположим, что образ f (F ) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y . Пусть точка y Î [f ( F ) ] \ f (F ), т.е. принадлежит границе множества f (F ). Множество X \ F является окрестностью множества f ^{– 1} (y ). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y , что f ^{– 1} (Oy ) Ì X \ F . Но тогда Oy ∩ f (F ) = Æ и поэтому точка y Ï [f (F )].

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F , замкнутое в Х . Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F ) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F ) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым. 

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X . В силу предложения 2.1, образ f (F ) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f ^–1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ

Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f | _Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g ^–1 (y ). Тогда в Х найдётся открытое множество U ¢ такое, что U = U ¢ Z . Множество O = U ¢ (X \ Z ) будет окрестностью слоя f ^–1 (y ) . Отображение f замкнутое над точкой y Î Y , поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y , что f ^–1 (Oy ) Ì O . Тогда g ^–1 (Oy ) Ì Z O = Z U ¢ = U .

В силу произвольности выбора точки y Î Y , можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y , то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y . 

Предложение 2.3. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î T Í Y , где T – произвольное множество в Y . Тогда под-отображение g = f | : f ^–1 (T ) ® T замкнуто над точкой y . В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î T ), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y Î T ).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность О слоя g ^{– 1} (y ) = f ^{– 1} (y ), такую что

O = O ' f ^–1 (T ),

где О ¢ – открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y , найдётся такая окрестность O ' y в Y точки y , что f ^{– 1} (O ' y ) Ì О' . Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y , что Oy = Oy ' T , и f ^{– 1} (Oy ) = g ^{– 1} (Oy ) Ì O ' f ^–1 (T ) = О . Следовательно, отображение g будет замкнуто над y Î Y .

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y , то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y . 

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→ Y замкнуто над точкой y Î Y и слой f ^–1 (y ) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y .

Доказательство. Поскольку слой f ^–1 (y ) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f ^–1 (y ) множества О ₁ и О ₂ , что О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = f ^–1 (y ). Тогда в Х существуют открытые множества Q ₁ и Q ₂ такие, что

O ₁ = Q ₁ f ^–1 (y ), O ₂ = Q ₂ f ^–1 (y ).

Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х . Их пересечение есть замкнутое множество, и F f ^–1 (y ) = Æ (т.к. О ₁ и О ₂ замкнутые в f ^–1 (y ), как дополнения до открытых). Множество О = (Q ₁ Q ₂ ) \ F открыто в Х , причём f ^–1 (y ) Ì О . Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f ) найдётся такая окрестность Oy точки y , что f ^–1 (Oy ) Ì О . Пусть G ₁ = f ^–1 (Oy ) Q ₁ и G ₂ = f ^–1 (Oy ) Q ₂ – открытые в f ^–1 (Oy ) множества. Так как

Ì Х \ f ^–1 (Oy ),

то G ₁ ∩ G ₂ = Æ. Тогда f ^–1 (Oy ) = G ₁ G ₂ . Следовательно, трубка f ^–1 (Oy ) несвязна.

Пусть U Í Oy – произвольная окрестность точки y . Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в f ^–1 (U ), и непустые, т.к. О ₁ Ì и О ₂ Ì . Следовательно, для любой окрестности U Í Oy трубка f ^–1 (U ) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y , отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y. 

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→ Y замкнуто над точкой y Î Y и связно над точкой y. Тогда слой f ^–1 (y ) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y . Тогда существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y . Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U , для которой выполняются следующие условия:

f ^–1 (U ) = О ₁ О ₂ , О ₁ ∩ О ₂ = Æ,

где О ₁ и О ₂ – непустые открытые в f ^–1 (U ) множества.

Слой f ^–1 (y ) связен и f ^–1 (y ) Ì f ^–1 (U ), отсюда, f ^–1 (y ) содержится либо в О ₁ , либо в О ₂ (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х ₁ ÎО ₁ . Образ этой точки f (x ₁ ) = y ₁ Ì U . По условию, слой f ^–1 (y ₁ ) связен и f ^–1 (y ₁ ) Ì О ₁ О ₂ = f ^–1 (U ). Поскольку О ₁ ∩ О ₂ = Æ и х ₁ ÎО ₁ , следовательно (по теореме 1.4), f ^–1 (y ₁ ) Ì О ₁ . (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О ₁ , то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х ₁ произвольная, то О ₁ = f ^–1 ( f (O ₁ )). Аналогично доказывается, что О ₂ = f ^–1 (f (O ₂ )).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f ^–1 (Oy ) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O ₁ ) = g (O ₁ ) и f (O ₂ ) = g (O ₂ ) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O ₁ ) f (O ₂ ), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U . 

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→ Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f | _Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f ^–1 (T ) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.

2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→ Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х .

Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.

Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R , для которого f (х ) = 0 при любом х Î [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f ^–1 (y ) над точкой y = 0 связен. Но f ^–1 (0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.

Если отображение f : [-1;1] [2;3] ® R задано условием f (х ) = 0 для любого х Î [-1;1] [2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f ^–1 (0) = [-1;1] [2;3].

В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х . Более того, имеет место

Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→ Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х→Y непрерывное отображение, f (X ) = Y и Х связно, то Y связно.

Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим, что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О ₁ и О ₂ , что О ₁ О ₂ = Х . Допустим, что найдётся точка y Î . Тогда в любой окрестности слоя f ^–1 (y ) содержаться как точки множества О ₁ , так и точки множества О ₂ . С другой стороны, f ^–1 (y ) Ì f ^–1 (U ), где трубка f ^–1 (U ) является связным множеством (в силу связности отображения f над точкой y ) и должна содержаться либо в О ₁ , либо в О ₂ (по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,

= Æ,

т.е. и – непустые дизъюнктные замкнутые множества. Но f (О ₁ ) f (О ₂ ) = Y , значит,

= f (О ₁ ) и = f (О ₂ ),

т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.

Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать. €

Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.

f ^–1 (U ) =

распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f ^–1 (U ) – несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.

Можно привести ещё пример такого рода. Пусть Oxy – прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω с центром в начале координат и радиусами r = a , R = b (рис. 2). Пусть pr_X : ω → [– b ; b ] – проекция этого кольца на ось Ox , где pr_X (x ; y ) = х Î [– b ; b ] для любой точки (x ; y ) Î ω . Возьмём произвольную точку х Î (– a ; a ) Ì [– b ; b ]. Для любой окрестности U Ì (– a ; a ) точки х трубка является несвязной, т.к. состоит из двух частей A и B (рис. 2). Таким образом, проекция pr_X – является несвязным отображением.

Пусть, например, отображение f : R \ {0} ® R \ {0} задано формулой f (х ) = для любого х Î R \ {0} (рис. 3). Возьмём произвольную точку y Î R \ {0}. Для любой окрестности Oy Ì R \ {0} точки y найдётся связная окрестность U Í (0; + ¥) (или U Í (– ¥; 0)), трубка f ^–1 (U ) над которой связна (т.к. f ^–1 (U ) содержит часть ветви гиперболы или всю ветвь, которая связна и даже линейно связна).

Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1] [2; 3]. Рассмотрим проекцию : X ´ Y ® Y (рис. 4), где pr_Y (x ; y ) = y Î Y для любой точки (x ; y ) Î X ´ Y . Множества X ´ Y и Y являются несвязными, но проекция – связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).

Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.

Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a ; b ] → R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, х ¢ Î [a ; b ], где х £ х ¢, выполняется только одно из двух свойств: f (x ) £ f (x ¢ ) либо f (x ) ³ f (x ¢ ).

Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.

Предположим, что f – не монотонна. Тогда найдутся такие точки х ₁ , х ₂ , х ₃ Î [a ; b ] и х ₁ < х ₂ < х ₃ , для которых выполняется система неревенств:

Положим f (x ₁ ) = y ₁ , f (x ₂ ) = y ₂ , f (x ₃ ) = y ₃ и y ₃ ³ y ₁ (или y ₁ ³ y ₃ ). Тогда слой f ^–1 (y ₃ ) является связным замкнутым подмножеством прямой y = y ₃ (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка х ¢ Î [x ₁ ; x ₂ ) и f (x ¢ ) = y ₃ . В силу связности слоя f ^–1 (y ₃ ), отрезок [А ; В ] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f ^–1 (y ₃ ). Но точка (x ₂ ; y ₂ ), где x ¢ < x ₂ < x ₃ , не принадлежит прямой y = y ₃ , поэтому слой f ^–1 (y ₃ ) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f ^–1 (y ₃ ) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f – монотонна.

Достаточность. Предположим, что функция f не является связной. Следовательно, f не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y ¢ Î R , что слой f ^–1 (y ¢) – несвязен, т.е. f ^–1 (y ¢) = О ₁ О ₂ , где О ₁ и О ₂ – непустые дизъюнктные замкнутые в f ^–1 (y ¢) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x ₁ Î О ₁ , x ₂ Î О ₂ и точка х , где x ₁ < x < x ₂ и x Ï О ₁ , x Ï О ₂ , что

.

Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной. ÿ

Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.

Этот факт обобщается на случай интервала (a ; b ). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.

2.4. Произведения пространств и проекции

Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями t_Х и t _Y соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X ´ Y с топологией t_{Х ´ Y} , образованной семейством всех множеств вида

U ´ V = ,

и их всевозможных объединений, где U Î t_Х , V Î t _Y и : X ´ Y ® Х , : X ´ Y ® Y – это проекции, причём (x ; y ) = x и (x ; y ) = y. Множества вида U ´ V = называются элементарными (или базисными) открытыми множествами.

Определение 18. Отображение f : X → Y называется открытым , если для каждого открытого множества О Í Х образ f (О ) является открытым множеством в Y .

Лемма 2.2. Проекции : X ´ Y ®Х и : X ´ Y ® Y являются непрерывными открытыми отображениями.

Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G . Прообраз этого множества = G ´ Y по определению топологии произведения открыт в X ´ Y . Тогда проекции и будут непрерывными отображениями.

Пусть точка z Î X ´ Y ; Oz – её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность

Лемма 2.3. Пусть пространство Х является компактным. Тогда проекция : X ´ Y ® Y является замкнутым отображением.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим слой = {(x ; y ): x Î X } = X ´ {y}. Он гомеоморфен множеству Х , поэтому является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестность слоя . Рассмотрим произвольную точку z = (x ; y ) слоя Ì X ´ Y и её элементарную окрестность

G ,

где Ox – окрестность точки x в X , Oy – окрестность точки y в Y . Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество . Пусть – это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное открытое подпокрытие , причём Ì О , которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть

U = ,

где О _{i j} = (G_{i j} ). Тогда

Í Ì О ,

т.е. проекция является замкнутым над точкой у , и, следовательно, замкнутым отображением. €

Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда проекция : X ´ Y ® Y является связным отображением.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х . Рассмотрим слой = = Y ´ {x }. Он гомеоморфен связному пространству Y , поэтому слой также связен. Предположим, что отображение несвязное над точкой х , т.е. существует такая окресность Ох точки х , что трубка является несвязной для всякой окрестности U Í Ox точки x . Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U . Для неё найдутся непустые открытые в множества О ₁ и О ₂ , что О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = . Слой связен и , отсюда, по теореме 2.3, содержится либо в О ₁ , либо в О ₂ .

Рассмотрим произвольную точку w ₁ Î О ₁ . Образ этой точки = х ₁ Ì U . Слой Ì О ₁ О ₂ = , и точка w ₁ принадлежит множеству О ₁ и слою , поэтому Ì О ₁ (т.к. О ₁ ∩ О ₂ = Æ). Поскольку w ₁ – произвольная точка множества О ₁ , то . Аналогично, .

Множества О ₁ и О ₂ дизъюнктные открытые в и – открытое отображение. Следовательно, (O ₁ ) и (O ₂ ) – непустые дизъюнктные открытые в U множества и (O ₁ ) (O ₂ ) = U . Отсюда окрестность U несвязная, что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, отображение связное над точкой х и точка х произвольная, поэтому проекция является связным отображением. €

Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X ´ Y является связным множеством.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X ´ Y несвязное, т.е. X ´ Y = О ₁ О ₂ , где О ₁ и О ₂ – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y множества.

Возьмём произвольную точку z Î О ₁ . Образ этой точки (z ) = x . Слой Ì О ₁ О ₂ связен, и точка х Î О ₁ , следовательно, Ì О ₁ (так как О ₁ О ₂ = Æ). В силу того, что точка z – произвольная, получим . Аналогично, . Множества О ₁ и О ₂ – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y , и отображение – открытое, следовательно, множества и – непустые дизъюнктные открытые в Y и = Y . Это противоречит связности Y .

Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция : X ´ Y ® Y является связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y связное. Тогда, по теореме 2.4, X ´ Y – связное множество. 

Определение 19. Отображение f : X ® Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F , если существует такое топологическое вложение i : X ® Y ´ F пространства Х в топологическое произведение Y ´ F , что (множество i (X ) соответственно замкнуто, открыто в Y ´ F и)

f = pr_Y i ,

где pr_Y : Y ´ F ® Y – проекция на сомножитель Y .

Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F . Тогда отображение f связное.

Доказательство. Отождествим Х с i (X ). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции pr_Y : Y ´ F ® Y . Пусть y Î Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Í Oy точки у трубка f ^–1 (U ) несвязна. Положим f ^–1 (U ) = О ₁ О ₂ , где О ₁ , О ₂ – непустые дизъюнктные открытые в f ^–1 (U ) множества и U Í Oy – некоторая фиксированная связная окрестность точки y .

Пусть х Î f ^–1 (y ). Тогда х Î О ₁ или х Î О ₂ . Допустим х Î О ₁ . Найдётся такое открытое в Y ´ F множество G ₁ , что О ₁ = G ₁ X . По определению топологии, в Y ´ F найдутся окрестность V_x Í U точки y и открытое в F множество W такие, что

х Î = V_x ´ W Í G ₁ .

Так как множество f ^–1 (y ) – связное по условию, то х Î f ^–1 (y ) Í О ₁ .

Пусть х ¢ – произвольная точка из (V_x ´ W ) Х . Тогда х ¢ Î О ₁ и

f ^–1 (f (x ¢ )) Í О ₁ .

Следовательно, О ₁ содержит всякий слой f ^–1 (y ¢ ), где y ¢ Î V_x (в силу послойной связности f ).

Таким образом, для каждой точки х Î О ₁ найдётся окрестность V_x Í U точки f (x ), что х Î f ^–1 (V_x ) Í О ₁ . Поэтому

.

Следовательно, множество является окрестностью точки y и O ₁ = f ^–1 (V ₁ ). Аналогично устанавливается, что O ₂ = f ^–1 (V ₂ ), где V ₂ непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V ₁ V ₂ , что противоречит связности U . Значит, отображение f связное над точкой y . €

Пример. Если отображение f : X ® Y связное над точкой y , то слой f ^–1 (y ) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = pr_Y : X ´ Y ® Y – проекция на Y , где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y = Î Y и слой f ^–1 (y ) над точкой y . Пусть точка z = (x ; y ) Î X ´ Y , где х = , y = . Тогда слой f ^–1 (y ) \ {z } – несвязное множество. Отображение f = pr_Y при этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f ^–1 (U ) – линейно связна, следовательно, трубка f ^–1 (U ) – связна.

2.5. Послойное произведение отображений

Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ´ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y , где

и

.

Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:

для любой точки y Î Y .

Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:

Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ´ g также является послойно связным отображением.

Лемма 2.4. Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x Î X : f (x ) = g (x )} является замкнутым в Х.

Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x Î X найдётся такая окрестность Ох точки х , что Ох Ì Х \ Т .

Возьмём произвольную точку x Î X \ Т . Тогда f (x ) = y ₁ Î Y , g (x ) = y ₂ Î Y . Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности О y ₁ точки y ₁ и О y ₂ точки y ₂ такие, что

О y ₁ О y ₂ = Æ. {*}

Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f ^–1 (Oy ₁ ), g ^–1 (Oy ₂ ) – открытые в Y и x Î f ^–1 (Oy ₁ ), x Î g ^–1 (Oy ₂ ). Рассмотрим окрестность Ох = f ^–1 (Oy ₁ ) g ^–1 (Oy ₂ ) точки х . Предположим, что Ох Т ≠ Æ, т.е. существует такая точка х ₁ Î Ох , что f (x ₁ ) = g (x ₁ ) = y . Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy ₁ , так и окрестности Oy ₂ , что противоречит условию {*}. ÿ

Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ´ Y является компактным множеством.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х , и пусть Ω = – открытое покрытие пространства X ´ Y . Рассмотрим слой

= Y ´ {x }.

Он гомеоморфен связному пространству Y , поэтому – компактное множество. Тогда из открытого покрытия

Ω (х ) = Í Ω ,

(где U _a (x ) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x ) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω (х ) = . Объединение

U (x ) = (x ) (**)

есть открытое множество, содержащее слой , и pr_X – замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х , что Í U (x ). Семейство {О x : x Î X } образует открытое покрытие пространства X . В силу компактности X , найдется конечное подпокрытие {Ox_i : i = 1,.., k }. Тогда семейство ω = образует конечное подпокрытие пространства X ´ Y . ÿ

Теорема 2.10. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ´ g также является связным отображением компактного пространства Т.

Доказательство. По определению послойного произведения, (, – непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х ´ Z , которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h (T ) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.

Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ´ g является связным. €

Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х . Для её доказательства понадобится

Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ´ Y является хаусдорфовым множеством.

Доказательство. Пусть z ₁ и z ₂ – произвольные фиксированные точки пространства X ´ Y . Рассмотрим точки x ₁ = pr_X (z ₁ ), x ₂ = pr_X (z ₂ ) и y ₁ = pr_Y (z ₁ ), y ₂ = pr_Y (z ₂ ) пространств X и Y соответственно. Точки z ₁ и z ₂ различны, следовательно, x ₁ ¹ x ₂ или y ₁ ¹ y ₂ . Пусть y ₁ ¹ y ₂ . Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy ₁ и Oy ₂ точек y ₁ и y ₂ соответственно, что Oy ₁ Oy ₂ = Æ. Проекция pr_Y является непрерывным отображением, поэтому множества и – открытые в X ´ Y и непересекающиеся. Причём, z ₁ Î и z ₂ Î . Следовательно, пространство X ´ Y – хаусдорфово по определению. 

Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.

Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f ´ i : T ® Y отображений f : X ® Y и i : Y ® Y , где i – тождественное отображение и множество Т = {(x ; y ): f pr_X = i pr_Y = pr_Y }. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X ´ Y . Пусть (x ₁ ; y ₁ ) Î T – произвольная фиксированная точка. Тогда pr_Y (x ₁ ; y ₁ ) = y ₁ = f pr_X (x ₁ ; y ₁ ). Отсюда, для точек (x ₁ ; y ₁ ), (x ₂ ; y ₂ ) Î Т выполняется неравенство pr_X (x ₁ ; y ₁ ) ¹ pr_X (x ₂ ; y ₂ ) при х ₁ ¹ х ₂ . Следовательно, непрерывное отображение pr_X : Т ® Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X ´ f (X ) Í X ´ Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = pr_X : T ® X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т Х , и f = pr_Y . Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g ^–1 : X ® T . Таким образом, множество d (Х ) = Т замкнуто в X ´ Y , и f = pr_Y d . Отождествим множества Т и Х с помощью d. . Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению. 

Литература.

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.

2. Александров П.С. Геометрия.

3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.

4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.

5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.