Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья
| №п/п |
y |
x1
|
x2
|
Задание |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
|
22.5
26
18.5
13.2
25.8
17
18
21
14.5
23
19.5
14.2
13.3
16.1
13.516
|
29
35
28
30
51
38
30
32
27
39
29.5
29
30
30.8
28
31
|
15
10
10
25
10
12
15
20
10
5
15
12
5
10
25
10
|
y – цена квартиры (тыс.$);
x1
– жилая площадь(кв. м);
x2
– время пути до метро (мин).
По имеющимся статистическим данным
отдельно для пар (у,х1
) и (у,х2
) найти:
а) уравнение линейной регрессии;
б) коэффициент корреляции;
в) среднюю величину у при х1
=35 (х2
=12);
г) 95% доверительные интервалы для
индивидуального и среднего значения у;
д) с надежностью 0.95 интервальные оценки коэффициента регрессии b1
и дисперсии s2
;
е) коэффициент детерминации.
Оценить на уровне 0.05 значимость
уравнения регрессии.
Сделать анализ полученных результатов.
|
Табличные значения стандартных функций распределения:
t0.05,14
= 2.145 F0.05,1,14
= 4.6
c2
0.025,14
=26.1 c2
0.975,14
=5.63
1. Парная регрессия yна x1
.
а) Найти уравнение линейной регрессии для x1
.
| № п/п
|
yi
|
xi
|
y2
|
x2
|
x
*
y
|
xi
–
|
(xi
–
)2
|
| 1 |
22,5 |
29 |
506,25 |
841 |
652,5 |
-3,3 |
10,89 |
| 2 |
26 |
35 |
676 |
1225 |
910 |
2,7 |
7,29 |
| 3 |
18,5 |
28 |
342,25 |
784 |
518 |
-4,3 |
18,49 |
| 4 |
13,2 |
30 |
174,24 |
900 |
396 |
-2,3 |
5,29 |
| 5 |
25,8 |
51 |
665,64 |
2601 |
1315,8 |
18,7 |
349,69 |
| 6 |
17 |
38 |
289 |
1444 |
646 |
5,7 |
32,49 |
| 7 |
18 |
30 |
324 |
900 |
540 |
2,3 |
5,29 |
| 8 |
21 |
32 |
441 |
1024 |
672 |
-0,3 |
0,09 |
| 9 |
14,5 |
27 |
210,25 |
729 |
391,5 |
-5,3 |
28,09 |
| 10 |
23 |
39 |
529 |
1521 |
897 |
6,7 |
44,89 |
| 11 |
19,5 |
29,5 |
380,25 |
870,25 |
575,25 |
-2,8 |
7,84 |
| 12 |
14,2 |
29 |
201,64 |
841 |
411,8 |
-3,3 |
10,89 |
| 13 |
13,3 |
30 |
176,89 |
900 |
399 |
-2,3 |
5,29 |
| 14 |
16,1 |
30,8 |
259,21 |
948,64 |
495,88 |
-1,5 |
2,25 |
| 15 |
13,5 |
28 |
182,25 |
784 |
378 |
-4,3 |
18,49 |
| 16 |
16 |
31 |
256 |
961 |
496 |
-1,3 |
1,69 |
| Сумма |
292,1 |
517,3 |
5613,87 |
17273,89 |
9694,73 |
548,95 |
| Средняя |
18,2 |
32,3 |
350,9 |
1079,6 |
605,9 |
34,3 |
Таким образом, выборочные средние значения = 32,3;  = 18,2;  = 605,9;
выборочная дисперсия  = 34,3;
выборочная ковариация cov(x,y) =  = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;
Коэффициенты регрессии b1
= =  = 0,53
 = 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08
При увеличении жилой площади на 1 кв.м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс.$.
Уравнение регрессии  = 1,08 + 0,53 * x.
б) рассчитать коэффициент корреляции
Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.
в) определить среднюю величину yпри x1
=35.
Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв.м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.
| № п/п
|
yi
|
x
i
|
|
|
|
|
|
| 1
|
22,5 |
29 |
16.45 |
6.05 |
36.60 |
4.3 |
18.49 |
| 2
|
26 |
35 |
19.63 |
6.37 |
40.58 |
7.8 |
60.84 |
| 3
|
18,5 |
28 |
15.92 |
2.58 |
6.66 |
0.3 |
0.09 |
| 4
|
13,2 |
30 |
16.98 |
-3.78 |
14.29 |
-5.0 |
25.00 |
| 5
|
25,8 |
51 |
28.11 |
-2.31 |
5.34 |
7.6 |
57.76 |
| 6
|
17 |
38 |
21.22 |
-4.22 |
17.81 |
-1.2 |
1.44 |
| 7
|
18 |
30 |
16.98 |
1.02 |
1.04 |
-0.2 |
0.04 |
| 8
|
21 |
32 |
18.04 |
2.96 |
8.76 |
2.8 |
7.84 |
| 9
|
14,5 |
27 |
15.39 |
-0.89 |
0.79 |
-3.7 |
13.69 |
| 10
|
23 |
39 |
21.75 |
1.25 |
1.56 |
4.8 |
23.04 |
| 11
|
19,5 |
29,5 |
16.72 |
2.78 |
7.73 |
1.3 |
1.69 |
| 12
|
14,2 |
29 |
16.45 |
-2.25 |
5.06 |
-4.0 |
16.00 |
| 13
|
13,3 |
30 |
16.98 |
-3.68 |
13.54 |
-4.9 |
24.01 |
| 14
|
16,1 |
30,8 |
17.40 |
-1.30 |
1.69 |
-2.1 |
4.41 |
| 15
|
13,5 |
28 |
15.92 |
-2.42 |
5.86 |
-4.7 |
22.09 |
| 16
|
16 |
31 |
17.51 |
-1.51 |
2.28 |
-2.2 |
4.84 |
| Сумма
|
292,1 |
517,3 |
169.59 |
281.27 |
| Средняя
|
18,2 |
32,3 |
17.58 |
г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.
С учетом значений из обеих таблиц:
Остаточная дисперсия 
Дисперсия среднего значения  
  = 0.920
Стандартное отклонение 
Дисперсия индивидуального значения y0
Стандартное отклонение y0
Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.
Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8
= 2,31.
Доверительный интервал для среднего значения
19.63 – 2.145×0.96 £y£ 19.63 + 2.145×0.96
17.57£y£ 21.69
Доверительный интервал для индивидуального значения 
19.63 – 2.145×3.61 £y0
£ 19.63 + 2.145×3.61
11.89 £y0
£ 27.37
С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв.м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.
д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1
и дисперсии возмущений s2
.
Дисперсия коэффициента регрессии  = = 0.022
Стандартное отклонение 
Доверительный интервал для коэффициента регрессии b1
0.53–2.145×0.148 £b1
£ 0.53+ 2.145×0.148
0.21 £b1
£ 0.85
С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв.м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.
Табличные значения распределения c2
Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют
 ; 
Доверительный интервал дисперсии возмущений
7,42 £s2
£ 34,42
Интервал для стандартного отклонения 2,72 £s£ 5,87.
С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.
Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.
Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27
Остаточная сумма квадратов  = 169,59
Сумма квадратов, объясненная регрессией  = 281,27–169,59 = 111,68
Величина F-критерия
 = 9,23,
где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.
Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14
=4,6.
Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии yпо x1
следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.
Определим коэффициент детерминации.
 0,40
Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.
2. Парная регрессия yна x2
.
а) Найти уравнение линейной регрессии для x2
.
| № п/п
|
yi
|
xi
|
y2
|
x2
|
x * y
|
xi
–
|
(xi
–
)2
|
| 1 |
22,5 |
15 |
506,25 |
225 |
337,5 |
1,9 |
3,61 |
| 2 |
26 |
10 |
676 |
100 |
260 |
-3,1 |
9,61 |
| 3 |
18,5 |
10 |
342,25 |
100 |
185 |
-3,1 |
9,61 |
| 4 |
13,2 |
25 |
174,24 |
625 |
330 |
11,9 |
141,61 |
| 5 |
25,8 |
10 |
665,64 |
100 |
258 |
-3,1 |
9,61 |
| 6 |
17 |
12 |
289 |
144 |
204 |
-1,1 |
1,21 |
| 7 |
18 |
15 |
324 |
225 |
270 |
1,9 |
3,61 |
| 8 |
21 |
20 |
441 |
400 |
420 |
6,9 |
47,61 |
| 9 |
14,5 |
10 |
210,25 |
100 |
145 |
1,9 |
3,61 |
| 10 |
23 |
5 |
529 |
25 |
115 |
-8,1 |
65,61 |
| 11 |
19,5 |
15 |
380,25 |
225 |
292,5 |
1,9 |
3,61 |
| 12 |
14,2 |
12 |
201,64 |
144 |
170,4 |
-1,1 |
1,21 |
| 13 |
13,3 |
5 |
176,89 |
25 |
66,5 |
-8,1 |
65,61 |
| 14 |
16,1 |
10 |
259,21 |
100 |
161 |
-3,1 |
9,61 |
| 15 |
13,5 |
25 |
182,25 |
625 |
337,5 |
11,9 |
141,61 |
| 16 |
16 |
10 |
256 |
100 |
160 |
-3,1 |
9,61 |
| Сумма |
292,1 |
209 |
5613,87 |
3263 |
3712,4 |
526,96 |
| Средняя |
18,2 |
13,1 |
350,9 |
203,94 |
232,025 |
32,9 |
Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;
выборочная дисперсия  = 32,9;
выборочная ковариация cov(x,y) = = 232,025-13,1*18,2 = -6,4;
Коэффициенты регрессии b1
= =  = -0,19
= 18,2 – (-0,19)*13,1 = 20,7
При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс.$.
Уравнение регрессии = 20,7 – 0,19 * x.
б) рассчитать коэффициент корреляции
Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.
в) определить среднюю величину yпри x2
=12.
Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.
Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице
| № п/п
|
yi
|
x
i
|
|
|
|
|
|
| 1
|
22,5 |
15 |
17,85 |
4,65 |
21,62 |
4.3 |
18.49 |
| 2
|
26 |
10 |
18,80 |
7,2 |
51,84 |
7.8 |
60.84 |
| 3
|
18,5 |
10 |
18,80 |
-0,3 |
0,09 |
0.3 |
0.09 |
| 4
|
13,2 |
25 |
15,95 |
-2,75 |
7,56 |
-5.0 |
25.00 |
| 5
|
25,8 |
10 |
18,80 |
7,0 |
49,0 |
7.6 |
57.76 |
| 6
|
17 |
12 |
18,42 |
-1,42 |
2,02 |
-1.2 |
1.44 |
| 7
|
18 |
15 |
17,85 |
0,15 |
0,02 |
-0.2 |
0.04 |
| 8
|
21 |
20 |
16,90 |
4,1 |
16,81 |
2.8 |
7.84 |
| 9
|
14,5 |
10 |
18,80 |
-4,3 |
18,49 |
-3.7 |
13.69 |
| 10
|
23 |
5 |
19,75 |
3,25 |
10,56 |
4.8 |
23.04 |
| 11
|
19,5 |
15 |
17,85 |
1,65 |
2,72 |
1.3 |
1.69 |
| 12
|
14,2 |
12 |
18,42 |
-4,22 |
17,81 |
-4.0 |
16.00 |
| 13
|
13,3 |
5 |
19,75 |
-6,45 |
41,60 |
-4.9 |
24.01 |
| 14
|
16,1 |
10 |
18,80 |
-2,7 |
7,29 |
-2.1 |
4.41 |
| 15
|
13,5 |
25 |
15,95 |
-2,45 |
6,003 |
-4.7 |
22.09 |
| 16
|
16 |
10 |
18,80 |
-2,8 |
7,84 |
-2.2 |
4.84 |
| Сумма
|
292,1 |
209 |
261,27 |
281.27 |
| Средняя
|
18,2 |
13,1 |
17.58 |
г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.
С учетом значений из обеих таблиц:
Остаточная дисперсия 
Дисперсия среднего значения 
 = 1,21
Стандартное отклонение 
Дисперсия индивидуального значения y0
Стандартное отклонение y0
Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.
Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8
= 2,31.
Доверительный интервал для среднего значения
18,42 – 2,145×1,1 £y£ 18,42 + 2,145×1,1
16,06£y£ 20,78
Доверительный интервал для индивидуального значения
18,42 – 2,145×4,46 £y0
£ 18,42 + 2,145×4,46
8,85 £y0
£ 27,99
С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.
д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1
и дисперсии возмущений s2
.
Дисперсия коэффициента регрессии = = 0.035
Стандартное отклонение 
Доверительный интервал для коэффициента регрессии b1
-0,19–2,145×0,187 £b1
£ -0,19 + 2,145×0,187
0,59£b1
£ 0,21
С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.
Табличные значения распределения c2
Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют
;
Доверительный интервал дисперсии возмущений
11,44 £s2
£ 53,03
Интервал для стандартного отклонения 3,38 £s£ 7,28.
С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.
Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.
Общая сумма квадратов отклонений y= 281,27
Остаточная сумма квадратов = 261,27
Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–261,27 = 20
Величина F-критерия
 = 1,07,
где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.
Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14
=4,6.
Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии yпо x1
следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.
Определим коэффициент детерминации.
квартира стоимость регрессия вариация
 0,07
Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором x –временем пути до метро.
|