Доклад: Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел

IX математический симпозиум.

Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.

г. Волжский.

05-11 октября 2008 года.

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Простые числа? – Это просто!?

Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.

Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.

Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле:

(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.

Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.

Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.

Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные

числа, а в – разность этой прогрессии.

Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).

Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.

Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.

В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2.

Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.

В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.

В формулах индексы и обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же и дополнительными индексами не отягощаю. Без и описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражениипод суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают.

Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.

Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.

Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.

Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.

Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все.

Обобщающий вывод:

ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ.

3х3

5	+3	8	+3	11	+3	14	+3	17	+3	20	+3	23	+3	26	+3	29	…
+3	+5	+7	+9	+11	+13	+15	+17	+19
8	+5	13	18	23	28	33	38	43	48	…
+3 + 6 +6
11	+7	18	25	32	39	46	53	60	67	…
+3
14	+9	23	32	41	50	59	68	77	86	…
+3 +6 +7
n ≠ n ≠ 17	+11	28	39	50	61	72	83	94	105	…
+3
20	+13	33	46	59	72	85	98	111	124	…
+3
23	+15	38	53	68	83	98	113	128	143	…
+3
26	+17	43	60	77	94	111	128	145	162	…
+3
29	+19	48	67	86	105	124	143	162	181	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…

2х2

1, 2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29, 30 , 31, 32 ,

33 , 34 , 35 , 36 , 37, 38 , 39 , 40 , 41, 42 , 43, 44 ,45 , 46 , 47, 48 , 49 , 50 , 51 , 52 , 53, 54 , 55 , 56 . 57 , 58 , 59, 60 , 61 …

ani = n

4	+2	6	+2	8	+2	10	+2	12	+2	14	+2	16	+2	18	…
+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
6	+3	9	+3	12	+3	15	+3	18	+3	21	+3	24	+3	27	…
+2 + 6 +6
8	+4	12	16	20	24	28	32	36	…
+2
n ≠ 10	+5	15	20	25	30	35	40	45	…
+2 +6 n ≠ +7
12	+6	18	24	30	36	42	48	54	…
+2
14	+7	21	28	35	42	49	56	63	…
+2
16	+8	24	32	40	48	56	64	72	…
+2
18	+9	27	36	45	54	63	72	81	…
…	…	…	…	…	…	…	…

5х5 7х7 5х11 5х17 7х13 5х23 11х11 7х19 5х29

1, 7, 13, 19, 25 , 31, 37, 43, 49 , 55 , 61, 67, 73, 79, 85 , 91 , 97, 103, 109, 115 , 121 , 127, 133 , 139, 145 ,

5х7 5х13 7х11 5х19 7х17 5х25

5, 11, 17, 23, 29, 35 , 41, 47, 53, 59, 65 , 71 , 77 , 83, 89, 95 , 101, 107, 113, 119 , 125 , 131, 137, 143. 149 …

Закономерность распределения простых чисел (дополнение).

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Там где даны в качестве примера разности арифметических прогрессий и указан их ряд 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60. На самом деле пропусков в ряду быть не должно. Ряд разностей арифметических прогрессий имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5, 6…. ® ¥.

Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью в = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.

И ещё. Формулы членов матриц составных чисел (СЧ), которые описываются в системах уравнений двойными суммами. Для этого требуется всего лишь в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и - столбцы и строки матриц.

Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30I - 17) (30j - 23).

Аналогично для таблицы 7 - (10I - 3) (10 j - 7).

Для таблицы 8, ряда нечётных чисел - (2I + 1) (2 j + 1).

Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - (I + 1) ( j + 1).

Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество.

Всё же для наглядности распишу систему уравнений таблицы 3 предыдущей работы.

и - столбцы и строки матриц, индексами не снабжаю.

И уж больно симпатичная система из 2-х уравнений с разностью арифметических прогрессий d=6.

Напишу только формулы составных чисел

1 – для верхнего ряда (6I - 1) (6 j - 1), (6k + 1) (6e +1).

2 – для нижнего ряда (6I + 1) (6 j - 1).

А написал с единственной целью сравнить формулы разных систем простых чисел.

В системе c в = 30 число 91 – это (30 - 17) (30 - 23), при = 1, = 1.

В системе c в = 10 это же число – (10 - 3) (10 - 7), при = 2, = 1.

В системе c в = 6 ……………… – (6+ 1) (6+ 1), при = 1, = 2.

В системе c в = 4 ……………… – (4 - 1) (4+ 1), при = 2, = 3.

В системе c в = 2 ……………… – (2+ 1) (2+ 1), при = 3, = 6.

В системе c в = 1 ……………… – (+ 1) (+1), при = 6, = 12.

	n2 ≠