СПЕЦИАЛЬНОСТЬ
:
Группа:
Дисциплина:
Исследование операций
___________________________________________________________________________________
ФИО студента:________________________________________
Набор задач №34.
1.
Построить математическую модель следующей задачи оптимального планирования объемов производства.
Компания производит погрузчики и тележки. От одного погрузчика компания получает доход в размере $80 и от одной тележки в размере $40 . Имеется три обрабатывающих центра, на которых выполняются операции металлообработки, сварки и сборки, необходимые для производства любого из продуктов. Для интервала планирования, равного месяцу, задана предельная производственная мощность каждого обрабатывающего центра в часах, а также количество часов, необходимое на этом центре для производства одного погрузчика и одной тележки. Эта информация задана в таблице.
Погрузчик Тележка
(часы/ед.) (часы/ед.)
|
Общ. мощ.
(часы)
|
Мет. обраб.
Сварка
Сборка
|
6 4
2 3
9 3
|
2400
1500
2700
|
Требуется составить допустимый план работ на месяц с максимальным доходом.
Решение.
Пусть  — количество производимых погрузчиков;
 — количество производимых тележек.
Тогда целевая функция, обозначающая общую сумму дохода по всем видам производимой продукции ( погрузчики и тележки ), равна
Задача состоит в нахождении допустимых значений переменных и , максимизирующих J
(x
). При этом, в силу условия задачи, должны выполняться следующие ограничения на переменные:
для каждого из обрабатывающих центров время, затраченное на производство и единиц погрузчиков и тележек соответственно, не должно превышать предельной производственной мощности :
1)  часов в месяц ( для центра металлообработки) ;
2)  часов в месяц ( для центра сварки) ;
3)  часов в месяц ( для центра сборки);
4)  (ограничение на неотрицательность переменных) .
Итак, получили следующую математическую модель данной задачи:
2.
Найти множество Парето следующей двухкритериальной задачи.
 ,  ,
при условии  . Значения функций заданы таблицей
| x
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
 |
-2 |
-4 |
-6 |
-4 |
-6 |
-8 |
-6 |
 |
12 |
12 |
12 |
10 |
10 |
10 |
6 |
Решение.
Решим вопрос нахождения множества Парето данной задачи геометрически. Для этого изобразим на графике множество, состоящее из точек
 =  
С помощью графика найдем все точки с максимальным значением координаты . В данном случае это одна точка, имеющая координаты (-2,12). Она войдет во множество оптимальных по Парето исходов. Далее исключим из рассмотрения все точки, координаты которых не превосходят, а координаты больше или равны координатам найденной точки (-2,12) ( это (-4,12) и (-6,12) ). Снова из оставшихся точек выберем все с наибольшим значением . Это точка с координатами (-4,10). Из оставшихся две точки (-6,10) и (-8,10) нам не подходят, поскольку их координаты  меньше первой координаты выбранной точки (-4,10), а координаты  равны второй координате этой точки. Значит, соответствующие им стратегии являются доминируемыми. Что же касается точки (-6, 6), то она войдет во множество оптимальных по Парето точек. Окончательно получили, что множество Парето данной задачи состоит из трех точек - (-2,12), (-4,10), (-6, 6). Они отвечают стратегиям под номерами 1, 4 и 7 соответственно. Таким образом,  .
3.
Геометрически решить задачу линейного программирования:
 ,
Решение.
Строим область допустимых решений, т.е. геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все ограничения данной ЗЛП. Каждое из неравенств системы ограничений нашей задачи геометрически в системе координат ( , ) определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми.
Первому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 6, 0 ).
Второму ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, -1 ) и ( 1, 0 ).
Третьему ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 1, 0 ) и проходящая параллельно оси .
Четвертому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 3, 0 ).
Пятому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 4 ) и ( -8, 0 ).
Шестому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 0, 1 ) и проходящая параллельно оси .
Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указаны на рисунке стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.
Полученная область допустимых решений выделена на рисунке серым цветом.
Вектор градиента v определяется координатами ( 0.5, 2 ). Он перпендикулярен линиям уровня и указывает направление возрастания целевой функции. На рисунке красным цветом изображены линии уровня , заданные уравнениями  и  , т. е. когда целевая функция принимает значение 0 и 10 соответственно.
3. По графику видно, что касание линии уровня ( ее уравнение ), перед выходом из области допустимых решений, произойдет в точке пересечения прямых  и . Нетрудно подсчитать, что эта точка имеет координаты  .
4. В этой точке значение целевой функции будет наибольшим, т.е.
 .
4. Перейти к задаче с ограничениями  :
Решение.
Для начала попытаемся выразить одни переменные системы через определенный набор других переменных. С этой целью будем рассматривать расширенную матрицу системы ограничений и путем элементарных преобразований этой матрицы, выделим в ней единичную подматрицу :
    
    
Воспользуемся последней расширенной матрицей и выразимпеременные ,
и
через оставшиеся переменные 
и
. Помня, что
, получаем новые ограничения :
Подставив эти значения вместо переменных ,
и
в исходную задачу, для целевой функции получим:
Итак, преобразовав полученные неравенства и целевую функцию, имеем задачу, эквивалентную исходной с ограничениями « = » , но уже с ограничениями « »:
  min,
 
5. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Решение.
Перед применением симплекс-метода необходимо преобразовать систему линейных ограничений и рассматриваемую нами функцию к каноническому виду.
Все свободные члены системы ограничений неотрицательны, значит, выполнено одно из необходимых условий применения симплекс-метода. Осталось все условия системы представить в виде уравнений. Для этого к левой части 1-го неравенства системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную
, к левой части 2-го неравенства прибавляем неотрицательную переменную
, а к левой части 3-го - неотрицательную переменную
, тем самым мы преобразуем неравенства в равенства:
Определимся с начальным опорным решением. Наличие единичного базиса в системе ограничений позволяет легко найти его.
Переменная
входит в уравнение 1 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом 0, т.е.
- базисная переменная. Аналогично переменные
и
являются базисными. Остальные переменные являются свободными. Приравняв свободные переменные к 0 в системе ограничений, получаем опорное решение:
 = ( 0 , 0 , 1 , 3 , 2 ).
Теперь непосредственно составим таблицу:
В качестве ведущего выступает 2-ой столбец, поскольку -3 - наименьший элемент в строкеJ
(x
). За ведущую строку принимаем строку 2, т. к. отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2-ой строки является наименьшим из неотрицательных. Разделим элементы 2-ой строки на 3, чтобы получить в качестве ведущего элемента 1:
Взяв за ведущий выделенный элемент, проведем соответствующие преобразования.
От элементов строки 1 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1.
От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -2.
От элементов строки J
(x
) отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3. В результате имеем:
За ведущий столбец выберем столбец 1 ( по тому же правилу) , а за ведущую строку - строку 1. Разделим элементы 1-ой строки на  :
Взяв за ведущий выделенный элемент, проведем соответствующие преобразования.
От элементов строки 2 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 
От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на  .
От элементов строки J
(x
) отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1. В результате имеем:
Мы получили строку J
(x
), состоящую только из неотрицательных элементов. Значит, оптимальное решение найдено,  = ( ,  , 0 , 0 ,  ).
J
(x
) =  - 
-  
Поскольку
и
по условию неотрицательны, наибольшее значение функции равно свободному члену, т. е.  .
6. Решить транспортную задачу.
Транспортная таблица имеет вид:
 |
 |
 |
 |
 |
Запасы  |
 |
20 |
13 |
8 |
11 |
70 |
 |
15 |
9 |
17 |
18 |
70 |
 |
21 |
19 |
15 |
13 |
110 |
Заявки  |
70 |
90 |
70 |
60 |
Решение.
Найдём общую сумму запасов:  = 70 + 70 + 110 = 250.
Найдём общую сумму заявок:  =70 + 90 + 70 + 60 = 290.
В нашем случае запасы поставщиков ( 250 единиц продукции ) меньше, чем потребность потребителей ( 290 единиц продукции ) на 40 единиц. Введем в рассмотрение фиктивного поставщика  с запасом продукции, равным 40. Стоимость доставки единицы продукции от данного поставщика ко всем потребителям примем равной нулю.
|
|
|
|
|
Запасы |
|
20 |
13 |
8 |
11 |
70 |
|
15 |
9 |
17 |
18 |
70 |
|
21 |
19 |
15 |
13 |
110 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
40 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
Решение транспортной задачи начнем с построения допустимого базисного плана, для этого воспользуемся методом северо-западного угла.
Рассмотрим ячейку  таблицы. Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции, заявки потребителя составляет 70. Разместим в ячейку значение , равное min { 70 , 70 } = 70, т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 1 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили потребность потребителя , но будем считать, что потребность данного потребителя составляют 0 единиц продукции (не будем одновременно вычеркивать строку и столбец).
Рассмотрим ячейку  .Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 0. Разместим в ячейку значение, равное min { 70 , 0 } = 0 ,т.е. мы полностью удовлетворили потребность потребителя . Поэтому исключаем 1ый столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку  .Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 90. Разместим в ячейку значение, равное min { 70 , 90 } = 70 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 2 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку  .Запасы поставщика составляют 110 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 90 – 70 = 20 . Разместим в ячейку значение, равное min { 110 , 20 } = 20 ,т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 2ой столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку  .Запасы поставщика составляют 110 – 20 = 90 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 70. Разместим в ячейку значение, равное min { 90 , 70 } = 70 , т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 3ий столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку  . Запасы поставщика составляют 90 – 70 = 20 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 60 . Разместим в ячейку значение, равное min { 20 , 60 } = 20 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Поэтому исключаем 3ью строку таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку  . Запасы поставщика составляют 40 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 60 – 20 = 40 . Разместим в ячейку значение, равное min { 40 , 40 } = 40 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Поэтому исключаем 4ую строку таблицы из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили запросы потребителя .
Мы нашли начальное опорное решение, т.е. израсходовали все запасы поставщиков и удовлетворили все заявки потребителей. Занесем полученные значения в таблицу:
|
|
|
|
|
Запасы |
|
20
70
|
13
|
8 |
11 |
70 |
|
15
0
|
9
70
|
17
|
18
|
70 |
|
21 |
19
20
|
15
70
|
13
20
|
110 |
|
0 |
0 |
0 |
0
40
|
40 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
Теперь, произведем его оценку. Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
 = 20 70 + 15 0 + 9 70 + 19 20 + 15 70 + 13 20 + 0 40 = 3720 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков  и потребителей  . Примем  = 0. Тогда :
 =  - = 19 - 0 = 19
 =  - = 15 - 0 = 15
 =  - = 13 - 0 = 13
 =  - = 0 - 13 = -13
 =  - = 9 - 19 = -10
 =  - = 15 – ( -10 ) = 25
 =  - = 20 - 25 = -5
|
|
|
|
|
Запасы |
Потенциалы |
|
20
70
|
13
|
8 |
11 |
70 |
-5 |
|
15
0
|
9
70
|
17
|
18
|
70 |
-10 |
|
21 |
19
20
|
15
70
|
13
20
|
110 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0
40
|
40 |
-13 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
| Потенциалы |
25 |
19 |
15 |
13 |
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
 =  - ( + ) = 13 - ( -5 + 19 ) = -1
 =  - ( + ) = 8 - ( -5 + 15 ) = -2
 =  - ( + ) = 11 - ( -5 + 13 ) = 3
 =  - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12
 =  - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15
 =  - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4
 =  - ( + ) = 0 - ( -13 + 25 ) = -12
 =  - ( + ) = 0 - ( -13 + 19 ) = -6
 =  - ( + ) = 0 - ( -13 + 15 ) = -2
Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.
Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке  , ее оценка = -2.
Ячейки ,  , , ,  ,  образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.
Среди ячеек цикла , , , номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 70. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 70. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 70. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.
|
|
|
|
|
Запасы |
|
20
|
13
|
8
70
|
11 |
70 |
|
15
70
|
9
|
17
|
18
|
70 |
|
21 |
19
90
|
15
|
13
20
|
110 |
|
0 |
0 |
0 |
0
40
|
40 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
= 870 + 15 70 + 19 90 + 13 20 + 0 40 = 3580 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем  = 0. Тогда :
= - = 19 - 0 = 19
= - = 15 - 0 = 15
= - = 13 - 0 = 13
= - = 0 - 13 = -13
= - = 8 - 15 = -7
= - = 9 - 19 = -10
= - = 15 – ( -10 ) = 25
|
|
|
|
|
Запасы |
Потенциалы |
|
20
|
13
|
8
70
|
11 |
70 |
-7 |
|
15
70
|
9
|
17
|
18
|
70 |
-10 |
|
21 |
19
90
|
15
|
13
20
|
110 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0
40
|
40 |
-13 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
| Потенциалы |
25 |
19 |
15 |
13 |
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
 = - ( + ) = 20 - ( -7 + 25 ) = 2
= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1
= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5
= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12
= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15
= - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4
= - ( + ) = 0 - ( -13 + 25 ) = -12
= - ( + ) = 0 - ( -13 + 19 ) = -6
Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.
Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке  , ее оценка = -12.
Ячейки , ,  , ,, образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.
Среди ячеек цикла , , , номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 40. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 40. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 40. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.
|
|
|
|
|
Запасы |
|
20
|
13
|
8
70
|
11 |
70 |
|
15
30
|
9
40
|
17
|
18
|
70 |
|
21 |
19
50
|
15
|
13
60
|
110 |
|
0
40
|
0 |
0 |
0
|
40 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
= 870 + 15 30 + 9 40 + 19 50 + 13 60 + 0 40 = 3100 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :
= - = 19 - 0 = 19
= - = 15 - 0 = 15
= - = 13 - 0 = 13
= - = 8 - 15 = -7
=  - = 9 - 19 = -10
= - = 15 – ( -10 ) = 25
= - = 0 - 25 = -25
|
|
|
|
|
Запасы |
Потенциалы |
|
20
|
13
|
8
70
|
11 |
70 |
-7 |
|
15
30
|
9
40
|
17
|
18
|
70 |
-10 |
|
21 |
19
50
|
15
|
13
60
|
110 |
0 |
|
0
40
|
0 |
0 |
0
40
|
40 |
-25 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
| Потенциалы |
25 |
19 |
15 |
13 |
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
= - ( + ) = 20 - ( -7 + 25 ) = 2
= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1
= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5
= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12
=  - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15
= - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4
=  - ( + ) = 0 - ( -25 + 19 ) = 6
= - ( + ) = 0 - ( -25 + 15 ) = 10
 =  - ( + ) = 0 - ( -25 + 13 ) = 12
Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.
Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке  , ее оценка = -4. Ячейки , ,  , образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.
Среди ячеек цикла , ,номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 30. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 30. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 30. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.
|
|
|
|
|
Запасы |
|
20
|
13
|
8
70
|
11 |
70 |
|
15
|
9
70
|
17
|
18
|
70 |
|
21
30
|
19
20
|
15
|
13
60
|
110 |
|
0
40
|
0 |
0 |
0
|
40 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
 = 870 + 9 70 + 21 30 + 19 20 + 13 60 + 0 40 = 2980 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :
= - = 21 – 0 = 21
= - = 19 - 0 = 19
= - = 15 - 0 = 15
= - = 13 - 0 = 13
= - = 0 - 21 = -21
= - = 8 - 15 = -7
= - = 9 - 19 = -10
|
|
|
|
|
Запасы |
Потенциалы |
|
20
|
13
|
8
70
|
11 |
70 |
-7 |
|
15
|
9
70
|
17
|
18
|
70 |
-10 |
|
21
30
|
19
20
|
15
|
13
60
|
110 |
0 |
|
0
40
|
0 |
0 |
0
40
|
40 |
-21 |
| Заявки |
70 |
90 |
70 |
60 |
| Потенциалы |
21 |
19 |
15 |
13 |
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
= - ( +  ) = 20 - ( -7 + 21 ) = 6
= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1
= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5
 = - ( + ) = 15 - ( -10 + 21 ) = 4
= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12
= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15
= - ( + ) = 0 - ( -21 + 19 ) = 2
= - ( + ) = 0 - ( -21 + 15 ) = 6
= - ( + ) = 0 - ( -21 + 13 ) = 8
Все оценки свободных ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.
 = 870 + 9 70 + 21 30 + 19 20 + 13 60 + 0 40 = 2980 , т.е. общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения составляют 2980 единиц.
|