Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“
Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя
”
Роботу виконала
Студентка 211 групи
Піщук Олеся
Викладач:
Виговська В.Г.
Отриманий бал:
_____________
м. Житомир – 2006
План
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) Правило Лопіталя.
а) Наслідок.
б) Приклад 1.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞
; 00
; ∞0
.
а) Приклад 2.
б) Приклад 3.
в) Приклад 4.
Список використаної літератури.
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
1.
Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови:
1. функції f(х)
та g(х)
визначені і диференційовані в колі точки х0
;
2. частка цих функцій  в точці х0
має невизначеність вигляду  або  ;
3. існує  .
Тоді існує  і виконує рівність:
 (1)
а) Наслідок.
Нехай:
1. Визначені в колі точки х0
функції f(х),
g(х)
та їх похідні до n
-го порядку включно;
2. Частки ,  , …,  мають невизначеність вигляду або ;
3. Існує  , тоді
 (2)
б) Приклад 1.
Знайти:  .
Розв’язання:
Функції  та  визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0
.
Маємо:
 .
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞
; 00
; ∞0
.
Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.
1. Нехай  і  , тоді
 (3)
За умовою  при  , тому  при .
Якщо  не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо  при , то вираз  має невизначеність .
2. Нехай  , , тоді  має невизначеність вигляду  при .
В цьому випадку поступають так:
Під знаком останньої границі маємо невизначеність .
3. Нехай  ,  при . Тоді  має невизначеність вигляду  .
Позначимо  . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:
Отже, обчислення натурального логарифма границі  зводиться до розкриття невизначеності вигляду .
4. Невизначеності вигляду  та  зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .
а) Приклад 2.
Знайти границю  .
Розв’язання:
Функції  та  диференційовані, а їх частка  має невизначеність вигляду при  .
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
 .
б) Приклад 3.
Знайти границю  .
Розв’язання:
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо  і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
 , тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
 .
Отже,  .
в) Приклад 4.
Знайти границю  .
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай  . Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
 .
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:
Список використаної літератури:
1. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
2. Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.
3. Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.
|