| РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Метрология, стандартизация и технические измерения
Специфика проведения измерений и обработки результатов
Задание 1. Однократное измерение
Условие задания
При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.
Экспериментальные данные:
Информация о средстве измерения:
Вид закона распределения нормальный
Значение оценки среднего квадратичного отклонения 
Доверительная вероятность 
Мультипликативная поправка 
Расчет
Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:
 ;  ,
где Е - доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона
 ,
где t - квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения  , при этом следует учитывать, что  . t = 1,64 при P=0,9
 .
Используя правила округления, получим:
 .
С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:
 ;  .
Вносим мультипликативную поправку:
 ,  , .
Записываем результат:
 <Q< ; P=0,9
Задание 2. Многократное измерение
Условие задания
При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений  . Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.
| 
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
| 
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
484
|
481
|
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
|
485
|
485
|
485
|
492
|
484
|
481
|
480
|
481
|
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
|
|
484
|
485
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Для обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе  критерия.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью  с учетом  находим из соответствующей таблицы значение  , которое зависит от числа измерений  и  .
При   , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие  .
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
484
|
481
|
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
|
485
|
485
|
485
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
|
|
|
485
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
|
|
Заново определяем значения критерия для каждого значения результата измерений  по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью  с учетом  находим из соответствующей таблицы значение  , которое зависит от числа измерений и  .
Условие  выполняется для всех результатов измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с  и  .
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью  и для уровня значимости  определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .
Значение  соответствует условию  . Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью  и для уровня значимости  с учетом по соответствующим таблицам определяем значения  и  .
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения  определяем значение  и рассчитываем E:
  , 
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения  и  .
| |
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
|
1,41
|
0,41
|
2,41
|
1,59
|
1,59
|
0,41
|
0,41
|
1,59
|
| |
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
|
1,41
|
1,41
|
1,41
|
0,41
|
2,59
|
3,59
|
2,59
|
0,41
|
| |
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
|
|
|
1,41
|
1,41
|
0,41
|
0,59
|
0,59
|
1,41
|
|
|
Мы видим, что не более m разностей превосходят , следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью  .
Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.
Так как закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется следующим образом:
Определяем доверительный интервал
Закон распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной доверительной вероятности определяется из распределения Стьюдента  , где определяется из соответствующей таблицы.
  , 
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие задания
При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 ( ) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Вычислить результат многократных измерений.
Серия измерений 1.
| 
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
| 
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
| 
|
484
|
481
|
485
|
485
|
485
|
492
|
Серия измерений 2.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Обработка результатов производится для каждой серии отдельно.
Для обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе  критерия.
Серия измерений 1.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 1.
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью  с учетом  находим из соответствующей таблицы значение  , которое зависит от числа измерений  и  .
При   , следовательно, значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие  .
| 
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
| 
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
| 
|
484
|
481
|
485
|
485
|
485
|
|
Заново определяем значения  критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью  с учетом  находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и  .
Условие  выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с  и  .
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью  и для уровня значимости  определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и  .
Значение  соответствует условию  . Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью  и для уровня значимости  с учетом по соответствующим таблицам определяем значения  и  .
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения  определяем значение  и рассчитываем E:
  ,  .
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения  и  .
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
1
|
0
|
2
|
2
|
1
|
0
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
|
0
|
3
|
1
|
1
|
1
|
|
Мы видим, что не более разностей превосходят значение  . Следовательно, второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью
 .
Серия измерений 2.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 2.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
| 
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Далее определяем значения  критерия для каждого значения результата серии измерений  по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение  , которое зависит от числа измерений  и  .
При  , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие .
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
|
Заново определяем значения  критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений  и .
Условие выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с и  .
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью  и для уровня значимости  определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .
Значение соответствует условию  . Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью  и для уровня значимости  с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и  .
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения  определяем значение и рассчитываем E:
 ,  .
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения  и .
| 
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
0,82
|
2,18
|
3,18
|
2,18
|
0,82
|
1,82
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
|
1,82
|
0,82
|
0,18
|
0,18
|
1,82
|
|
Мы видим, что не более разностей  превосходят значение . Следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью  .
Далее необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.
Для этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности:
Задавшись доверительной вероятностью  , определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения значение и сравниваем  с  .
Условие  выполняется. Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать незначимым.
Далее необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.
Для этого определяем значение:
И, задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера  .
Условие  выполняется. Серии с доверительной вероятностью  считаем рассеянными.
Выше было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому необходимо определить оценку результата измерения  и среднеквадратического отклонения  .
Задавшись доверительной вероятностью  , определяем из таблиц распределения Стьюдента значение  для числа степеней свободы
Затем определяем доверительный интервал  :
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
 .
Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)
Условие задания
При многократных измерениях независимых величин  и  получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления  , (вид функции  и характер величин  представлены в таблице 3).
Вид функциональной зависимости  .
Характер и единицы величин:
 - ЭДС, мВ;
 - сопротивление, Ом;
 - сила тока, А.
Обработка результатов измерений величин  и проведена в задании 3 первой расчетно-графической работы.
Средние значения и среднеквадратические отклонения для величин  и  имеют вид
Гипотеза о нормальности распределения величин и подтверждается.
Определим оценку среднего значения функции:
Определим поправку
Определим оценку стандартного отклонения функции
Определяем доверительный интервал для функции
Законы распределения вероятности результатов измерения и  признаны нормальными,  можно определить для принятой доверительной вероятности  из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы  определяется из выражения
Используя правила округления, получим:
Результат запишется в виде:
Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей
Условие задания
При многократных совместных измерениях величин и получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии по :  .
| 
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
| 
|
61;602
|
62;613
|
63;620
|
64;631
|
65;639
|
66;648
|
67;656
|
| 
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
| 
|
68;662
|
69;667
|
70;682
|
9;87
|
19;188
|
29;286
|
39;386
|
| 
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
|
|
49;485
|
59;575
|
69;667
|
79;770
|
89;868
|
99;966
|
|
В качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида
 .
Параметры прямой определим по методу наименьших квадратов.
Далее проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить критерии серий и инверсий.
Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений, рассчитанных для того же аргумента:
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
| 
|
-4,67
|
-0,67
|
0,33
|
3,33
|
5,33
|
-1,67
|
5,93
|
|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
| 
|
7,23
|
4,53
|
5,83
|
4,13
|
3,43
|
1,73
|
-1,97
|
|
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
|
|
-6,67
|
-6,67
|
-1,37
|
-0,67
|
0,33
|
1,33
|
|
последовательность ∆Yi записана по мере возрастания Х
Критерий серий:
Рассчитываем число серий в полученной последовательности: N=6
Задавшись доверительной вероятностью   , для n=20 определяем по таблице допустимые границы  и  :
Критерий инверсий:
Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности  : А=106.
Задавшись доверительной вероятностью   для n=20 определяем по таблице допустимые границы  и  :
Оба неравенства выполняются  и  . Поэтому можно считать, что рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость.
|