1. Краткое математическое описание методов расчёта
1.1. Общие положения
Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:
 (1)
Для нерекурсивного цифрового фильтра  и уравнение принимает вид:
 (2)
Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):
 (3)
Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение
 , (4)
где  – z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.
Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка  равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики  :
 (5)
Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).
Заменив в (4) z на  , получим комплексную частотную характеристику:
 (6)
Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:
 (7)
 (8)
Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:
 (9)
 (10)
Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования  . Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:
 (11)
Так как интервал определения  , то интервал определения  . Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.
Аналитически АЧХ будет записываться в виде:
 (12)
При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной ( ), либо антисимметричной ( ). Учитывая, что порядок фильтра  может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:
1. N – нечётное, ИХ – симметричная
2. N – чётное, ИХ – симметричная
3. N – нечётное, ИХ – антисимметричная
4. N – чётное, ИХ – антисимметричная
цифровой фильтр выборка частотный
1.2 Метод частотной выборки
Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье:
 (13)
 (14)
Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):
 (15)
 (16)
Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид:
 (17)
Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:
 (18)
 (19)
При чётном N:
 (20)
При нечётном N:
 (21)
Подставляя вместо   , по выражениям (20) и (21) можно найти  , а из (17) – .
1.3 М
етод наименьших квадратов
При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:
после чего решается система уравнений:
 и находятся коэффициенты Ск.
Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:
  
2. Расчётная часть
2.1 Расчёт методом частотной выборки
2.1.1 Расчёт импульсной характеристики
Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки
| i
|
Значение импульсной характеристики |
| N=15 |
N=25 |
N=32 |
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
|
0,081
-0,013
0,025
-0,052
-0,303
0,03
0,46
0,03
-0,303
-0,052
0,025
-0,013
0,081
|
0,001497
0,001756
-0,02
-0,007456
-0,007554
0,028
0,061
-0,004905
0,034
-0,048
-0,297
-0,035
0,45
0,035
-0,297
-0,048
0,034
-0,004905
0,061
0,028
-0,007454
-0,007456
-0,02
0,001756
0,001497
|
0,001488
-0,008534
0,008698
-0,000256
0,003711
-0,011
0,015
-0,007875
-0,001266
0,053
0,029
0,0009025
0,04
-0,193
-0,224
0,321
0,321
-0,224
-0,193
0,04
0,0009025
0,029
0,053
0,001266
-0,007875
-0,015
-0,011
-0,003711
-0,000256
0,008698
-0,0008534
0,001488
|
2.1.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты  , взятой с шагом 0,01 ( ). На рисунках приведены графики рассчитанной АЧХ фильтра.
Для расчёта точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:
 , (32)
В таблице 2 приведены результаты расчёта точности аппроксимации  .
Таблица 2. Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки
График функции точности аппроксимации для N=25
Максимальные ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:
Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки
2.2
Расчёт методом
наименьших квадратов
2.2.1 Расчёт импульсной характеристики
Результаты расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.
Результаты расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов
| i
|
Значение импульсной характеристики |
| N=13 |
N=25 |
N=32 |
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
|
0,055
-0,004049
0,035
-0,042
-0,296
0,03
0,45
|
-0,003929
-0,003499
-0,012
0,008469
-0,008832
-0,026
0,055
0,035
-0,042
-0,296
0,03
0,45
|
0,002208
-0,005211
0,003349
0,003189
-0,003929
-0,003499
-0,012
-0,008469
-0,008832
0,026
0,055
-0,004049
0,035
-0,042
-0,296
0,45
0,45
|
2.2.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 ( ).
Заданная по условию и рассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов)
2.2.3 Расчёт точности аппроксимации
Точность аппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результаты расчёта 
Результаты расчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов
В таблице 6 приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различных значений N.
Абсолютная погрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов
2.3 Сравнение методов расчёта
Сравнивая результаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можно сделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению с методом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимации увеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратов начинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки.
Заключение
В данной курсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумя методами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результаты расчётов точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующие выводы:
· Точность аппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра)
· Метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при средних значениях N.
|