Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Бобров А.В.
123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15
Контактный телефон – 193-42-34
Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:
В равенстве  числа  и  не могут быть одновременно целыми положительными, если  .
Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:
· Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел  и  , т.е. два числа – всегда нечетные.
· Существуют числа  и  , или  , то есть для произвольно выбранных натуральных  существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел  и  , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых  числа и также будут целыми.
Вариант№1
Равенство  (1)
путем последовательного деления на числа и всегда преобразуется в два многочлена (уравнения)  -ой степени относительно :
 (2)
 (3)
Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:
 ,  , …  ,  (4)
Из (1) и (4) следует  ,  то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых  ,  , и .
Из равенства свободных членов следует:
 ,или ,или
 (5)
Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:
 (6)
или, если  , сократив на  , получим:
 (7)
Из равенства (7) следует, что для числа и не могут быть одновременно положительными.
Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:
· для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , , и ;
· многочлены (2) и (3) для и натуральных и не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители и равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;
· числа , и в равенстве (1) для не могут быть одновременно рациональными.
Для  противоречие исчезает, коэффициенты при  равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений и обращается в тождество:
 . (8)
Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через  и  , где и - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :
 (9),
где неизвестное обозначено общепринятым образом через  , то есть  .
Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.
Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.
Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.
Вариант№2
Пусть в равенстве  числа и - взаимно простые,  - нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать:
 (1)
где   ,  - действительные положительные множители числа  .
Из (1) следует:
 ,  (2)
В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел  ,  и целого существуют единственные значения показателей степени  , удовлетворяющие равенствам:
 ,  (3)
где  ,  .
Из (3) следует  ,  , или после сокращения на числа  ,  получим:
 (4)
Из (1), (2) и (3) следует:
 , (5)
или, с учетом равенств (3) и (4):
 (6)
Вынесем за скобки общий множитель  :
 (7)
Из (5) и (7) следует, что числа  ,  и содержат общий множитель  , что противоречит условию их взаимной простоты, если  . Из  следует  ,  , то есть  ,  , и равенства (5) и (7) принимают вид:
 (8)
Из (8) следует, что при нечетном числа и также целые, причем всегда имеет место тождество:
 (9)
что для одновременно целых , и выполнимо только при  , или  ,  , что и требовалось доказать.
Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства , где , и - произвольно выбранные натуральные числа, - действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).
Вынесем за скобки множитель  и поделим на него все слагаемые тождества (5):
 (10)
где  .
В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам , и , например из равенства (5), соответствует единственное значение  , удовлетворяющее условию:
 (11)
тогда  , или
 (12)
где , и - целые числа.
Из (10), (11) и (12) следует:
(13)
то есть числа и могут быть одновременно целыми только при , или , . При числа и есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых и нечетных .
Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель  , при этом число в этих равенствах одно и то же, откуда следует  , ,  , и тождество (10) принимает вид тождества (8).
Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений . Подставляя вместо любую рациональную дробь и полагая  , можно найти все Пифагоровы числа.
Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.
Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.
А.В.Бобров
Великая теорема Ферма
Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.
Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.
Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15
The evidence of the Fermat theorem
Alexander V. Bobrov
The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented
|