Задание 1
Вычислите  и  последовательности  .
Решение.
Рассмотрим последовательность  .
 для любого натурального 
Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность имеет верхнюю точную грань:  .
Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань  последовательности не существует.
Ответ.
  не существует
Задание 2
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что  .
Доказательство.
Число  называется пределом последовательности  , если для любого положительного числа  существует номер  такой, что при  выполняется неравенство  .
Используя определение предела последовательности, докажем, что .
Возьмем любое число  .
Если взять  , то для всех будет выполняться неравенство  . Следовательно, .
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением предела функции, докажите, что  .
Доказательство
Число  называется пределом функции  при  , если для любого числа существует число  такое, что для всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  .
Используя определение предела функции, докажем, что .
Возьмем любое .
Положим  .
Если взять , то для всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  . Следовательно, .
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 5
Вычислите предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 6
Вычислить предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 7
Вычислить предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 8
Вычислить предел  .
Решение
Ответ.
Задание 9
Вычислить предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 10
Вычислить предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 11
Вычислить предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 12
Вычислить предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 13
Вычислить предел  .
Решение.
Ответ.
Задание 14
Вычислить предел  .
Решение.
 при  функция  является бесконечно малой
 для любого  функция  является ограниченной.
Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция  является бесконечно малой при . Это означает, что  .
Ответ. 
|