Криволинейный интеграл первого рода
Криволинейный интеграл второго рода
1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.
Определение криволинейного интеграла по координатам.
2. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).
3. Вычисления
а) 
б) 
Рис. 1
Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай  когда путь интегрирования – кривая  -кривая  ,  ,  . Т/н. А-работу силы  при перемещении точки  от  к 
1. Разобьем на n частей  : 
Обозначим  вектор- хорда  дуге.
Пусть  предположим, что на  тогда
Работа  вдоль дуги  вычисляется как скалярное произведение векторов  и 
Пусть 
Тогда: 
Работа 
Если  , то этот предел примем за работу А силы  при движении точки по кривой от точки до точки
,-не числа, а точки концы линии .
 
1.
Свойства:
10
 определяется
а) подынтегральным выражением
б) формой кривой интегрирования.
в) указанием направления интегрирования (рис. 2).
  
  
Рис. 2
 -можно рассматривать как интеграл от векторной функции 
Тогда  - если -замкнутая то  -называют циркуляцией вектора по контуру .
30
40
не зависит от того какую точку взять за начало
Вычисление криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).
Рис. 3
 -гладкая кривая.
1. Если  -непрерывны,  -непрерывные.
 -непрерывны по  , то 
Пределы А и В не зависят ни от способа деления на  , ни от вектора 
Следовательно:  .
2. В случае: 
 
1.
Формула Грина.
2.
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
3.
Полный дифференциал.
Связь между определенным и криволинейным интегралами.
Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией (рис. 4).
интеграл криволинейный грин формула
Рис. 4
 непрерывны на 
 - определена и непрерывна в замкнутой области D.
 - определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда
Аналогично
 
 -Формула Грина.
В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.
 
 
 
Пример.
 
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Рис. 5
 - непрерывные частные производные в  (рис. 5).
Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?
Теорема:
 -непрерывны в области  , тогда для того, чтобы
 в  (рис. 6)
Рис. 6
Пусть
Обратно 
Т.д.
Пусть  из непрерывности  и
   -окрестность точки  такая что  в 
 предположение неверно. ч.т.д.
Замечание.
 
Определение.
Функция  -градиент которой есть вектор силы  называется потенциалом вектора  .
Тогда 
Вывод:
Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.
Литература
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.
2. Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.
4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.
|