Предисловие

В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».

Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.

§ 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.

1.1. Коллинеарность векторов .

(1.2)

1.2. Коллинеарность трёх точек .

(1.3)

Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой .

(1.5)

определяет прямую, содержащую хорду АВ единичной окружности.

1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов) .

(1.7)

Уравнение касательной

(1.8)

(1.9)

З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.

§ 2 Углы и площади

2.1. Угол между векторами.

(2.1)

(2.2)

2.2. Площадь треугольника

(2.3)

З а д а ч а 2. Основание D высотыCD треугольникаABC делит сторонуAB в отношении 3:1 . Угол ACD вдвое больше угла BCD . Вычислить углы треугольника ABC .

§ 3 Многоугольники

3.1. Подобные треугольники.

(3.1)

где – комплексное число, – коэффициент подобия.

(3.2)

где – комплексное число, – коэффициент подобия.

Если , то треугольники и равны. Тогда соотношение (3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, а соотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированных треугольников.

3.2. Критерий правильного треугольника .

Треугольник ориентирован положительно:

(3.4)

Треугольник ориентирован отрицательно:

(3.5)

3.3 Правильные многоугольники.

где k принимает значения . Все n значений имеют один и тот же модуль

Корням уравнения

соответствуют вершины .

З а д а ч а 3. Точки симметричны точке Р ,лежащей в плоскости треугольника ABC , относительно, соответственно, прямых AB , BC , CA . Точки – середины отрезков Докажите, что треугольники и подобны и противоположно ориентированы (рис. 5).

З а д а ч а 4. На сторонах и выпуклого четырёхугольника вне его построены правильные треугольники и а на сторонах и построены правильные треугольники и лежащие с четырёхугольником в одной полуплоскости относительно прямых и соответственно. Докажите, что –параллелограмм (рис. 6).

З а д а ч а 5. Точка делит сторону правильного треугольника в отношении 3:2 считая от точки . Точка делит сторону в отношении 3:14, считая от точки . Отрезки и пересекаются в точке. Докажите, что прямые и перпендикулярны.

З а д а ч а 6. Через центр правильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до прямой не зависит от выбора прямой.

З а д а ч а 7. Пусть в – диаметр окружности, и

– стороны вписанного в неё и описанного около

неё правильных n-угольников. Докажите, что

(рис. 9).

§ 4 Прямая и окружность

4.1. Уравнение прямой .

(4.1)

Пусть коэффициенты a иb не обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению: которое а) имеет единственное решение при б) имеет бесконечное множество решений при

Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при б) прямую при в) пустое множество при

4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах . Окружность с центром S ( s ) и радиусом R имеет уравнение

(4.2)

где z – координата переменной точки окружности.

(4.4)

Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда и ab - c – действительное число. Отсюда , а значит, с должно быть действительным числом. Итак, уравнение

(4.5)

есть уравнение окружности с центром и радиусом

4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам . Пусть окружность проходит через точки A , B , C . Тогда однородная линейная система

относительно имеет ненулевое решение (так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю:

(4.6)

Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.

4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными , если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.

Даны две окружности ( A , R ) и ( B , r ), заданные соответственно уравнениями: где и где Для того, чтобы эти окружности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы или

(4.7)

или

(4.8)

З а д а ч а 7. В плоскости даны два отрезка AB иCD . Найдите множество точек М , для каждой из которых площади треугольников MAB иMDC равны (рис. 10).

З а д а ч а 9.На гипотенузе AB прямоугольного треугольникаABC дана произвольная точкаP . Докажите, что окружности, описанные около треугольниковAPC и BPC , ортогональны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем вершину С данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А, В, P соответствуют комплексные числа 1, b , p , а центрам окружностей РАС и РВС числа (рис. 11). По условию или . Переходя к комплексным числам, получаем: откуда .

Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС :

или

После раскрытия определителя получаем:

или

откуда

Из уравнения находим:

Аналогично, для окружности Р A С имеем:

и

отсюда

Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы Учитывая предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия:

Таким образом, окружности РАС и РВС являются ортогональными.