Контрольная работа по дисциплине «Математика»
для студентов заочного отделения
1. Найти пределы функций:
а)  =;  =
=  =  =
=  =  =  = 0;
б)  =  =
 =
 =
 =  =  =.6290;
в)  =  =
 =  =  = 0;
г)  =  =  =  =
= ln =  = ln e* = 1*56/3 = 18.667;
д)  ;  =  =
=  =  ; ;
е)  =  =  =
=  =  +  =
=  -  =  -  =
=  = 2.
2. Найти производные  функций:
а)  =  =
=  ;
б)  =  =  =  ;
в)  =  =
=  =
=  =
=  ;
г)  = =
=  =
=  =  ;
д)  =  ;
е)  ;  ;
 ;
ж)  ; ;  ;
 ;  ; ;  ; ;
з)  . =  =
=  =  ;
3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции
 .
1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва.  отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.
2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является.
3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.
4. Найдем асимптоты при  в виде у = kх+b. Имеем:
k =  
b =   
Таким образом при асимптотой служит прямая ОХ оси координат.
Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7
   =-1,19,
    .
В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
Точка (0:3,86) с осью ОУ.
6. Исследуем на возрастание и убывание:
  =
 .  0;
Это говорит о том что функция возрастающая.
Строим график:
4. Найти интегралы при m=3, n=4:
а) =  
=  :
б) =  = пусть t = arcsin4x,
 получим  =  =  .
в) =  
=  ;
 = = .
Решаем равенство и получим:
 ;
аналогично второе слагаемое
  3 - получим  = 
подставим все в последнее равенство
… =  + +9 +- +С.
г) .=  =  =
=  = =
 = ….избавившись
от знаменателя получим
B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C);
Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28;
…=  = = = 2,527766.
5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4:
а)  =  …
пусть t = arctg(x/4), тогда  и  подставим и получим
… =  ;
б) =  
=   0,6880057.
6. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:  , при m=3, n=4.
 
  х = -1,5, у = -18,25.
точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25)
 или 
Точки пересечения двух функций:
 =  и  т.е.:  и  .
Площадь получиться из выражения
  =  = 49,679.
График выглядит:
7. Найти частные производные  функций при m=3, n=4:
а) = ,
 ,
 ,
б) .  ;
 ;
8. Найти дифференциал функции:  при m=3, n=4.
9. Для функции  в точке  найти градиент и производную по направлению  при m=3, n=4.
 в точке А(-4,3)
grad(z) = (-0,1429:0,1875);
 =grad(z)* ( )*cos =…
cos
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4
в области, заданной неравенствами:
 .
D=AC-B;
A=
B=
C=
D=AC-B=( )( ) -  ;
 
 
найдем
 ; 
Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0;
 = -114,74 < 0 – нет экстремума функции,
 = 45097,12 > 0 – min функции  = 12,279;
 = 1767.38 > 0 - min функции = 65,94;
 = -160,296 < 0 – нет экстремума функции.
11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4:
 .
 =  , так как   
подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим
  .
12. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями  ,  и плоскостью, проходящей через точки  ,  и  .
А) см. рис.
- получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С.
 7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=
23x-812+116z-45y=0
Получим пределы интегрирования:
Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам).
 =  =
= =  =
=232,109 куб.ед.,
13. Вычислить при m=3, n=4  , где  ,  , а контур  образован линиями  ,  ,  .
а) непосредственно;
б) по формулам Грина.
 ,
P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.
=  =
=  =
=  =
=  =
=  =
=  =
=  =32,4060912,
где пределы интегрирования были получены:
 и у = 9, то  откуда х =  2,52.
14. Даны поле  и пирамида с вершинами  ,  ,  ,. Найти при m=3, n=4:
O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7).
а) поток поля  через грань  пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью  ;
 =
=  =
= =
= =
= =…
после подстановки и преобразования однородных членов получим:
… = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.
поток поля
= 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.
б) поток поля через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;
в) циркуляцию поля вдоль замкнутого контура ;
с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).
rot(F) =  ,
в нашем случае 
15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла:
 =  .
|