Контрольная работа: по Математике

Заказ №1459

№1

Округлить сомнительные цифры числа а , оставив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

Решение

а) По условию . Следовательно, в числе верными в узком смысле являются четыре цифры: 3, 7, 8, 5. Округляем число a до четырех

значащих цифр: . Тогда

Так как , то число a ₁ имеет три верные цифры: 3, 7, 8. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда

Так как , то число a ₂ имеет две верные цифры: 3, 7. Округляем число a до двух значащих цифр: . Тогда

Так как , то две оставшиеся цифры результата верны в узком смысле. Таким образом,

б) Представим в виде и найдем

примем. Так как , то число a = 4,571 имеет три верные в широком смысле цифры: 4, 5, 7. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда

Так как, то три оставшиеся цифры результата верны в широком смысле. Таким образом,

.

Ответ: а) , ;

б) ,

№2

Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции f (x ) с заданными узлами x_k (k = 0, 1, 2, 3)

Решение

Прежде всего, заметим, что

Применяя формулу (3) при n = 3, получим:

Ответ:

№3

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y = ax + b по данным опыта, представленным таблицей

Решение

Результаты предварительных вычислений вносим в таблицу

Нормальная система уравнений принимает вид

Следовательно, искомая эмпирическая формула

Ответ:

№4

Вычислить данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.

Решение

Определяем значения подынтегральной функции при для следующих значений аргумента

Находим соответствующие значения функции :

Тогда получаем

Ответ:

№5

Отделить корни данного уравнения аналитически и уточнить больший из них методом Ньютона с точностью до

Решение

Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим

Составляем таблицу знаков функции

Уравнение имеет три действительных корня:

Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1

Значит,

Уточним больший корень заданного уравнения методом Ньютона. Имеем

при . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем

. Все вычисления сводим в таблицу

Искомый корень

Ответ:

№6

Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения данного дифференциального уравнения y ’ = f (x , y ), удовлетворяющего начальному условию y (1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h = 0,01. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой

Решение

Находим последовательные значения аргумента

Обозначим

Для удобства вычислений составим таблицу

Таким образом, имеем следующую таблицу

Ответ: таблица.