Реферат: Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ и расчетного задания по курсу «Основы автоматического управления»

Федеральное агентство по образованию

Бийский технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

имени И.И. Ползунова»

Р.Г. Гареева

Идентификация динамических объектов

Методические рекомендации по выполнению

лабораторных работ и расчетного задания

по курсу «Основы автоматического управления»

Бийск

Издательство Алтайского государственного технического университета

им. И.И. Ползунова

2008

УДК 62-52(085)

Гареева, Р.Г.

Методические рекомендации содержат изложение некоторых методов идентификации объектов управления и определения их динамических характеристик.

Рекомендации предназначены для студентов специальности 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии» дневной и заочной форм обучения по курсу «Основы автоматического управления».

УДК 62-52(085)

Рассмотрены и одобрены

на заседании кафедры МСИА

Протокол № 49 от 10.01.2008 г.

© Р.Г. Гареева, 2008

ВВЕДЕНИЕ

Построение математических моделей объекта или создание алгоритмов их автоматического получения является первым этапом математического моделирования. В связи с этим значительный интерес вызывают методы построения математических моделей и особенно один из них – идентификация, при которой модель строится по результатам, полученным в условиях нормального функционирования изучаемого объекта.

Под идентификацией динамической системы понимается получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели реального объекта, выраженной с помощью математического аппарата.

Идентификация состоит в отыскании по входным и выходным сигналам некоторой системы эквивалентной ей системы из некоторого заданного класса. Определение идентификации предполагает, во-первых, использование априорной информации, основанной на законах физики, и, во-вторых, обработку данных измерений для получения необходимой апостериорной информации об исследуемой системе.

Следует отметить, что структура модели должна выбираться на основе глубокого изучения интересующей нас системы. Принцип «черного ящика», предполагающий полное отсутствие априорной информации, едва ли приемлем и реалистичен в подавляющем большинстве случаев.

Задача идентификации объекта управления, то есть определение структуры и параметров объекта по наблюдениям, является одной из основных задач современной теории и техники автоматического управления. Эта задача возникает при изучении свойств и особенностей объектов с целью последующего управления ими, либо при создании адаптивных систем, в которых на основе идентификации объекта вырабатываются оптимальные управляющие воздействия. К различным вариантам задачи идентификации приводят статистические методы обработки экономической, социологической, биологической и медицинской информации.

Существуют различные методы идентификации, основанные на разных подходах к форме зада­ния идентификационных моделей (например, дифференциальные уравнения, разностные уравнения, передаточные функции, гра­диентные выражения).

Ни один из методов идентификации не годится для идентификации всех видов систем. Каждый из них имеет свою область или области применения. Это, однако, не означа­ет, что на современном уровне идентификация должна рассма­триваться как набор готовых рецептов для различных типов систем. Сейчас уже можно говорить о теории идентификации, имеющей дело с оцениванием параметров на основании изме­ренных текущих входных и выходных данных, причем качество идентификации повышается с увеличением числа измерений. Ошибки идентификации, естественно, приводят к ошибкам в управлении или в требуемом выходном параметре системы; эти ошибки могут быть использованы для дальнейшего улучше­ния идентификации. Следовательно, теория идентификации аналогична, точнее, дуальна теории управления, в которой ошиб­ки управления (в предположении, что система идентифицирована) используются для улучшения последующего процесса управления. Аналогично теории управления в теории идентифи­кации существует несколько подходов, применяемых ко многим ситуациям и случаям.

Методы идентификации классифицируют по различным принципам. Наиболее важными являются такие, согласно которым методы идентификации подразделяются на следующие четыре группы: аналитические и компенсационные; статистические и нестатистические (детерминированные); градиентные и неградиентные; поисковые и беспоисковые.

При аналитических методах идентификация объектов производится на основе анализа переходных процессов, частотных и статистических характеристик входных и выходных сигналов. Оценки параметров объекта определяют по соотношениям, связывающим характеристики выходного сигнала с параметрами объекта и характеристиками входного сигнала.

Аналитические методы имеют относительно большое быстродействие в предположении, что для анализа соответствующих характеристик и решения необходимых уравнений связи или систем уравнений применяют вычислительные машины. При аналитическом методе нет необходимости в наблюдении или измерении функционала качества. Таким образом, аналитические методы являются разомкнутыми. Недостатком аналитических методов является то, что они обычно требуют математического описания входных и выходных сигналов или их статистических характеристик. Неточность идентификации при этом подходе непосредственно связана с погрешностью вычислений, неточностью математического описания сигналов, обусловленной учетом стационарности и наличием помех.

При компенсационных методах применяют модели объектов, соединенные с исследуемым объектом определенным образом. Структура модели выбирается эвристически на основе некоторых данных об объекте и требований к точности и сложности его описания. Компенсационные методы относятся к замкнутым методам, при этом уменьшаются погрешности, обусловленные нестационарностью, и исключаются погрешности, связанные с математическим описанием входных и выходных сигналов. Быстродействие этих методов обычно меньше аналитических.

Статистические методы основаны на использовании статистических характеристик (функций распределения, корреляционных функций, спектральных плотностей, моментов) сигналов, применяемых для идентификации. При этом мера качества формируется в виде некоторого среднего риска. Этот подход необходим при наличии случайных помех.

Нестатистические (детерминированные) методы основаны на идентификации детерминированных функциональных зависимостей, связывающих параметры выходного сигнала с параметрами объекта и входного сигнала. Эти методы применимы при отсутствии помех.

Градиентные методы идентификации содержат градиентные алгоритмы оптимизации меры качества. Движение к оптимальному значению меры качества производится по градиенту в сторону его оптимального значения со скоростью, пропорциональной градиенту меры качества. Этот метод применим, когда мера качества строго унимодальна, то есть имеет один экстремум. Недостаток градиентных методов обусловлен несовершенством меры качества, в которой обычно параметры объекта взаимосвязаны. В результате этого полученные оценки последних могут быть смещенными.

При неградиентных методах осуществляют движение к оптимальному значению функционала качества неградиентным способом и нет необходимости в непрерывном определении компонент градиента функционала качества. Определяют только направление убывания функционала качества, вдоль которого происходит движение, а также шаг движения, обеспечивающего определенные качества процесса идентификации (например, его сходимость). Быстродействие этих методов, как правило, ниже быстродействия градиентных, а погрешность обусловлена конечностью шагов движения к оптимальному значению функционала качества, что приводит или к колебательному циклу вокруг оптимальной точки, или к смещению оценок.

При поисковых методах идентификации для организации движения к оптимальному состоянию применяют специальные пробные параметрические колебания, с чем связан их основной недостаток. Эти методы принципиально неприемлемы, когда нельзя применить или реализовать пробные воздействия. Быстродействие поисковых систем невелико. Для таких систем характерен колебательный режим вокруг оптимальной точки.

Задача беспоисковой идентификации сводится к использованию априорных сведений об объекте (то есть к учету его «серости») с тем, чтобы без поиска получить информацию, достаточную для синтеза управления, переводящего объект в экстремальное состояние. Беспоисковые методы не требуют применения специальных поисковых параметрических сигналов, и поэтому они лишены недостатков, связанных с последними. Для целей идентификации обычно используют входные сигналы объекта. Это значит, что помехи, которые складываются с полезным сигналом на входе объекта и модели, являются полезными сигналами для идентификации.

1 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК

Переходные функции любых динамических объектов имеют вид инерционного или колебательного процессов. Это позволяет математически описать их как звенья 2-го порядка. Поэтому задача идентификации для них формулируется следующим образом: определить параметры (собственную частоту и коэффициент затухания ) системы 2-го порядка, к которой может быть «сведено» описание заданного объекта по схожести переходного процесса. Под «схожестью» обычно понимают минимум интеграла (или суммы в дискретных точках) от квадрата разности переходных функций объекта и модели.

1.1 Дифференциальное уравнение объекта

Поскольку звено 2-го порядка может иметь, в зависимости от

значений параметров, переходную функцию колебательного или инерционного типа, сложный объект возможно представить как последовательное соединение типовых звеньев 1-го и 2-го порядков. Для примера рассмотрим звено 3-го порядка, передаточная функция которого имеет следующий вид:

где – собственная частота колебаний;

– коэффициент затухания;

– переменная Лапласа;

– постоянная времени объекта.

Характеристическое уравнение объекта запишется в виде:

или

где

Передаточная функция в этом случае перепишется как:

Учитывая, что , для объекта 3-го порядка справедливо соотношение:

После перехода из области изображений в область оригиналов получим дифференциальное уравнение, описывающее поведение объекта:

(1)

где – выходной сигнал объекта;

– входной сигнал объекта (внешнее воздействие).

Поделим обе части уравнения (1) на коэффициент и введем новые обозначения:

Тогда уравнение (1) перепишется в виде:

(2)

Результаты решения уравнения (2) при заданном внешнем воздействии в виде единичной ступенчатой функции

являются аналогом экспериментальных данных при изучении переходной функции объекта 3-го порядка. При процесс является инерционным, а при – колебательным. Длительность переходного процесса определяется значениями параметров

1.2 Численный метод решения дифференциального

уравнения (метод Эйлера)

С целью численного решения уравнения (2) понизим его порядок. Для этого введем следующие обозначения:

В результате дифференциальное уравнение 3-го порядка представится в виде системы трех дифференциальных уравнений 1-го порядка:

(3)

Система уравнений (3) при нулевых начальных условиях

и заданном шаге интегрировании может быть решена с использованием метода Эйлера по следующему алгоритму:

(4)

1.3 Идентификация объекта

1.3.1 Дифференциальное уравнение модели

Решение уравнения 2-го порядка, описываемого дифференциальным уравнением

(5)

при входном воздействии хорошо известно и имеет вид:

где

Для численного решения уравнения (5) представим его в виде системы двух уравнений 1-го порядка, используя обозначения :

(6)

1.3.2 Метод нелинейных оценок (МНО)

В общем виде решения системы уравнений (6) являются функциями и могут быть разложены в ряд Тейлора по поправкам . Рассмотрим их разложение в линейном приближении:

Введем коэффициенты чувствительности, определяющие зависимость изменения функций от изменения коэффициентов :

(7)

Непосредственно рассчитать коэффициенты чувствительности по соотношениям (7) не представляется возможным, поскольку зависимость от коэффициентов является неявной. Однако можно найти выражения для определения коэффициентов чувствительности, исходя из уравнений системы (6), путем их дифференцирования по коэффициентам :

;

;

;

В результате получим систему шести уравнений:

(8)

Таким образом, одновременно с решением основной системы уравнений (6) решаются дифференциальные уравнения и для коэффициентов чувствительности.

1.3.3 Определение поправок

Решение системы уравнений (8) при приближенных значениях коэффициентов позволяет получить значения переходной функции для звена 2-го порядка.

По МНО линейное приближение для функции имеет вид:

где – неизвестные поправки к коэффициентам .

Для определения поправок воспользуемся методом наименьших квадратов, основанным на минимизации функции невязок, которая для дискретного случая имеет вид:

где – экспериментальные данные;

– количество экспериментальных данных, определяемое временным интервалом наблюдения переходной функции и шагом интегрирования

Минимум функции невязок соответствует выполнению условий:

После вычисления производных получим два уравнения:

и

Для удобства введем обозначения:

Тогда система уравнений перепишется в виде:

(9)

Систему (9) решим методом Крамера, то есть определим поправки по соотношениям:

; ,

где

С учетом итераций искомые коэффициенты определяются следующим образом:

и ,

где – номер итерации.

Учитывая, что , для первого шага итерации необходимо иметь начальные приближения для параметров , которые могут быть оценены по априорной информации об объекте идентификации.

Точность идентификации параметров определяют величины:

; .

Если ошибки превышают заданную точность (например, ), то итерационный процесс продолжается. В противном случае по найденным значениям коэффициентов вычисляются искомые параметры для звена 2-го порядка.

1.4 Практическая часть

Идентифицировать объект 3-го порядка, используя модель звена 2-го порядка.

Входной сигнал задать в виде

Выбрать следующие значения параметров объекта:

1) собственная частота

2) коэффициент затухания

3) коэффициент усиления

4) постоянная времени объекта

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТА

Динамические характеристики объекта исследования могут быть найдены, если на его вход подан стандартный сигнал, а реакция объекта наблюдается во времени. В зависимости от вида входного воздействия различают переходную (кривая разгона), импульсную и частотную характеристики. Рассмотрим, как по названным экспериментальным данным можно определить динамическую модель объекта в виде передаточной функции.

Кривые разгона получают при подаче на вход исследуемого объекта ступенчатого воздействия. Для статических объектов переходный процесс заканчивается при достижении выходной величины нового установившегося значения . Для астатических объектов переходный процесс можно считать закончившимся, если скорость изменения выходной величины достигнет установившегося значения, то есть когда кривая разгона выйдет на прямую линию. Эксперимент планируют таким образом, чтобы для построения кривой разгона было отмечено не менее 20…30 точек.

Существуют несколько методов обработки разгонной характеристики исследуемого объекта с целью получения его передаточной функции. Рассмотрим два из них.

2.1 Метод последовательного логарифмирования

Метод последовательного логарифмирования применим для аппроксимации гладких неколебательных переходных характеристик, которые могут быть представлены выражением:

(10)

где

– вещественные числа (– корни характеристического уравнения), причем

; (11)

– порядок аппроксимации.

Условия (10), (11) означают, что аппроксимирующая передаточная функция имеет только вещественные простые полюса, расположенные на достаточно большом расстоянии один от другого (или отстоящие друг от друга на приблизительно равном расстоянии).

Задача состоит в том, чтобы по таблично или графически заданной разгонной характеристике объекта определить порядок уравнения, коэффициенты и корни характеристического уравнения .

Сущность метода заключается в последовательном приближении переходной функции сначала решением уравнения 1-го порядка и, если аппроксимация неудовлетворительна, увеличением порядка приближения до 2-го и т.д. Величины и на каждом этапе аппроксимации определяются при помощи операции логарифмирования.

Сначала предполагается, что представляет собой решение дифференциального уравнения 1-го порядка, то есть имеет вид:

откуда функция невязок 1-го порядка запишется как:

(12)

Далее ищется логарифм модуля выражения (12):

Для определения неизвестных и необходимо вычислить функцию и построить график функции в зависимости от времени При к графику функции проводится асимптота, которая на оси ординат отсекает отрезок, равный (рисунок 1).

Рисунок 1 – Логарифмирование функции невязок

Значение корня определится из соотношения:

,

где - отрезок времени, отсекаемый асимптотой на оси абсцисс.

Если действительно является решением дифференциального уравнения 1-го порядка, то должно выполниться условие:

при всех значениях времени. Это означает, что асимптота должна совпадать с графиком всей функции . Однако в общем случае при малых значениях времени этого не наблюдается. Поэтому порядок аппроксимации должен быть увеличен.

Зная величины и , можно найти функцию невязок 2-го порядка , которая появляется из-за того, что при аппроксимации не учитываются составляющие , прежде всего . Для определения и строят график функции в зависимости от времени. При к графику проводят асимптоту, что позволяет вычислить и . Если асимптота функции не совпадает со всеми значениями самой функции, вновь находят функцию невязок что позволяет учесть влияние на функцию следующей составляющей .

Процесс приближения функции выражением (10) прекращается тогда, когда будет достигнуто условие для функции невязок -го порядка

с точностью не менее % от установившегося значения

Особое внимание необходимо обращать на знаки коэффициентов . Они должны соответствовать знакам функций невязок

При правильном определении величин и должны выполняться следующие условия:

В результате аппроксимации искомая передаточная функция объекта примет вид:

,

где

– амплитуда входного воздействия;

– постоянные времени объекта;

– время чистого запаздывания.

Коэффициенты и определяют по переходной функции , из которой предварительно уже выделено время чистого запаздывания при помощи касательной, проведенной к точке перегиба (рисунок 2).

1 – переходная характеристика, 2 – касательная

Рисунок 2 – Определение времени чистого запаздывания

2.2 Метод интегральных площадей

Метод интегральных площадей (метод М. Симою) достаточно широко распространен благодаря высокой точности.

Следует обратить внимание на то, что кривая разгона при этом должна быть пронормирована в соответствии с выражением:

.

Передаточная функция для статического объекта имеет вид:

, (13)

где – коэффициент усиления объекта,

– безразмерная передаточная функция;

– постоянные коэффициенты.

Передаточный коэффициент определяют как частное от деления приращения выходной величины в стационарном режиме на приращение входного воздействия .

Для нахождения коэффициентов используют систему уравнений:

Интегральные площади вычисляют по следующим формулам:

где – отклонение выходной величины,

.

Обычно точность эксперимента не позволяет практически использовать коэффициенты и выше.

Найдем вид передаточной функции объекта. Если начальные условия нулевые и (рисунок 4а), то порядок числителя в формуле (13) должен быть, по крайней мере, на две единицы меньше порядка знаменателя. В этом случае можно принять безразмерную передаточную функцию объекта простого вида:

,

где .

В некоторых случаях площадь может оказаться отрицательной, что свидетельствует о необходимости увеличить порядок числителя и (или) уменьшить порядок знаменателя.

Если начальные условия таковы, что , а ( рисунок 4б ), то безразмерная передаточная функция объекта может быть представлена в виде выражения:

.

Неизвестные коэффициенты определяют из системы уравнений:

Если объект управления имеет чистое запаздывание (рису-
нок 4в ), в течение которого значение приращения не превышает величины 0,1% от значения , то передаточная функция объекта принимает вид:

.

Рисунок 4 – Виды переходных характеристик объекта

2.3 Практическая часть

2.3.1 Используя метод последовательного логарифмирования, идентифицировать инерционный объект 3-го порядка с помощью модели инерционного звена 2-го порядка с запаздыванием, определив при этом постоянные времени и время запаздывания .

Входной сигнал задать в виде

Выбрать следующие значения параметров объекта:

1) коэффициент усиления

2) постоянные времени объекта

2.3.2 Используя метод интегральных площадей, идентифицировать инерционный объект 2-го порядка с помощью модели инерционного звена 2-го порядка, определив при этом коэффициент и параметры передаточной функции .

Входной сигнал задать в виде

Выбрать следующие значения параметров объекта:

1) коэффициент усиления

2) постоянные времени объекта

3 ИДЕНТИФИКАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ РЕГРЕССИОННЫХ МЕТОДОВ

Регрессионный анализ является в настоящее время класси­ческим статистическим методом. Благодаря своим широким возможностям различные регрессионные процедуры давно и ус­пешно используются в инженерной практике для идентификации процессов, однако их применение к идентификации многомерных процессов в реальном масштабе времени стало возможным только с развитием и внедрением быстродействующих ЦВМ. Методы идентификации, основанные на регрессионных про­цедурах с использованием метода наименьших квадратов, применимы как к линейным, так и к нелинейным процессам и об­легчают проведение идентификации по нескольким входам одно­временно. Более того, регрессионные методы позволяют осуще­ствлять идентификацию в реальном масштабе времени, посколь­ку они основаны на измерениях входных и выходных сигналов, которые можно получить в процессе нормального функциониро­вания системы.

В течение периода, пока выполняются измерения для регрес­сионной идентификации, параметры идентифицируемого процес­са принимаются стационарными или квазистационарными. Этот период должен быть не менее где – интервал измерения, а – число идентифицируемых параметров.

3.1 Последовательный метод наименьших квадратов

Методы идентификации, основанные на последовательном ме­тоде наименьших квадратов, могут быть использованы вместо непоследовательных регрессионных методов. То, что эти методы являются последовательными, позволяет реализовать их сравнительно быстро при небольшом объеме требуемой памяти ЦЭВМ. При последовательном подходе уменьшаются вычисли­тельные сложности, связанные с обращением матриц, что устра­няет основное препятствие на пути применения многомерных рег­рессионных методов к реальным си­стемам. При применении регрессионных методов к задачам иден­тификации медленно меняющихся нестационарных процессов предполагается наличие стационарности только на интервале, в течение которого собираются данные для регрессионной идентификации. При этом регресси-

онный интервал состоит из интервалов измерения. Идентификация в этом случае осуществляется практически непрерывно, а конец фиксированного интервала регрессии периодически продвигается вперед на один или несколько измерительных интервалов. Для каждого такого сдви­га заново осуществляется идентификация всего вектора пара­метров, тогда как данные, не относящиеся к используемому ин­тервалу регрессии, полностью игнорируются. В отличие от непоследовательной регрессии интервал, на котором собираются данные для последовательной регрессии, с течением времени по­степенно удлиняется, и никакие данные не считаются настолько старыми, чтобы ими можно было полностью пренебречь.

Следовательно, матрицы последовательной регрессии применимы лишь к процессам, которые можно считать стационарными. Од­нако, поскольку последовательные регрессионные оценки схо­дятся к непоследовательным регрессионным оценкам после итераций ( – размерность вектора параметров), стационарность должна предполагаться, как и в непоследова­тельном случае, лишь на интервалах.

На практике последовательные оценки любого рода можно применять к данным, полученным на конечном интервале, следую­щим образом. Рассматривается интервал с момента времени до на котором взяты точек в моменты Можно осуществить последовательную регрессионную иденти­фикацию на основании k выборок, затем в соответствии с k+1 , k+2 и так далее вплоть до п выборок, дающих конечную оценку в мо­мент времени t. Затем в момент времени повторяют всю процедуру получения регрессионной оценки, так что данные в момент времени становятся первой выборкой и так далее, пока не получат выборок за период времени , что дает конечную оценку в момент . Та же самая процедура может повторяться для моментов , , ... Решение о начале новой идентификации по методу последовательной ре­грессии может быть принято на основании поведения показате­ля качества идентификации, если отсутствует нестационарность.

Рассмотрим систему с неизвестным параметром , уравнение которой имеет вид:

где , – измеряемые входная и выходная последовательности

соответственно;

– шум измерения на k-ом измерительном интервале.

Задача идентификации (оценивание неизвестного па­раметра системы а) может быть решена путем использования линейной регрессии по методу наименьших квадратов. В итоге на основании единовременных совокупностей величин и ( ) получается оценка параметра , для которой ми­нимизируется критерий :

,

где – произвольный весовой коэффициент, например =1.

Регрессионная оценка по методу наименьших квадратов параметра задается выражением:

откуда

(14)

Оценка может быть получена и последовательным спосо­бом, причем результат будет совпадать с выражением (14) после измерений. Для этого запишем значения оценки параметра на 1-ом и 2-ом шагах итерации:

(15)

и

. (16)

Выражение (16) может быть переписано в виде:

Учитывая выражение (15), получим:

В результате рекуррентная формула для оценки параметра примет вид:

, (17)

где , , ,

Отметим, что последовательный результат уравнения (17) совпадает с уравнением (14) для любых значений r .

3.2 Практическое задание

Используя последовательный метод наименьших квадратов, идентифицировать инерционный объект 1-го порядка в условиях шума с помощью модели инерционного звена 1-го порядка, оценив при этом постоянную времени объекта

Входной сигнал задать в виде уровень шума 5 %.

Выбрать следующие значения параметров объекта:

1) коэффициент усиления

2) постоянная времени объекта

Список рекомендуемой литературы

Литература к разделу 1

1. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1 / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. – М.: Мир, 1974.

2. Томович, Р. Общая теория чувствительности / Р. Томович,
М. Вукобратович. – М.: Советское радио, 1972.

Литература к разделу 2

1. Широкий, Д.К. Расчет параметров промышленных систем регулирования / Д.К. Широкий, О.Д. Куриленко. – Киев: Техника, 1972.

2. Мартыненко, И.И. Проектирование систем автоматики /
И.И. Мартыненко, В.Ф. Лысенко. – М: Агропромиздат,1990.

Литература к разделу 3

1. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления /
П. Эйкхофф. – М: Мир, 1975. – 680 с.

2. Гроп, Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. – М: Мир, 1979. – 302 с.

3. Райбман, Н.С. Что такое идентификация? / Н.С. Райбман. – М: Наука, 1970. – 119 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Учебное издание

Гареева Рената Гегелевна

Идентификация динамических объектов

Редактор Соловьёва С.В.

Корректор Малыгина И.В.

Технический редактор Малыгина Ю.Н.

Подписано в печать 22.02.08. Формат 60х84 1/16.

Усл. п. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,75.

Печать – ризография, множительно-копировальный

аппарат «RISO TR -1510»

Тираж 60 экз. Заказ 2008-12.

Издательство Алтайского государственного

технического университета

656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46

Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ

Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ

659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 29

Р.Г. Гареева

Идентификация динамических объектов

Методические рекомендации по выполнению

лабораторных работ и расчетного задания

по курсу «Основы автоматического управления»

Бийск

Издательство Алтайского государственного технического университета

им. И.И. Ползунова