Реферат: Проблемно – ивная работа по алгебре и началам анализа

Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано y=x² , то Вы сразу видите параболу; если y=x² -4, Вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же y=4-x² , то Вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с Вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

На уроках математики мы строим в основном простейшие графики – графики элементарных функций. Только в 11 классе с помощью производной научились строить более сложные функции. При чтении книг:

1) Н.А. Вирченко, И.И. Ляшко, К.И. Швецов. Справочник. Графики функций. Киев «Наукова Думка» 1979 г.

2) В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Москва «Просвещение» 1990 г.

3) Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра – 8 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва «Просвещение», 1998 г.

4) И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль. Функции и графики (основные приемы). Издательство МЦНМО, Москва 2004 г.

5) С.М. Никольский. М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса.
я увидела, что графики сложных функций можно строить без использования производной, т.е. элементарными способами. Поэтому тему своего реферата я выбрала: «Графики дробно – рациональной функции».

Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков дробно-линейной и дробно-рациональной функций.

Задачи: 1. сформировать понятия дробно-линейной и дробно-рациональной функций на основе теоретического материала по данной теме; 2. найти методы построения графиков дробно-линейной и дробно-рациональной функций.

Основная часть. Графики дробно-рациональных функций

1. Дробно – линейная функция и ее график

С функцией вида y=k/x, где k≠0, ее свойствами и графиком мы уже познакомились. Обратим внимание на одну особенность этой функции. Функция y=k/x на множестве положительных чисел обладает тем свойством, что при неограниченном возрастании значений аргумента (когда x стремится к плюс бесконечности) значения функций, оставаясь положительными, стремятся к нулю. При убывании положительных значений аргумента (когда x стремится к нулю) значения функции неограниченно возрастают (y стремится к плюс бесконечности). Аналогичная картина наблюдается и на множестве отрицательных чисел. На графике (рис. 1) это свойство выражается в том, что точки гиперболы по мере их удаления в бесконечность (вправо или влево, вверх или вниз) от начала координат неограниченно приближаются к прямой: к оси x, когда │x│ стремится к плюс бесконечности, или к оси y, когда │x│ стремится к нулю. Такую прямую называют асимптотами кривой.

Рис. 1

Гипербола y=k/x имеет две асимптоты: ось x и ось y.

Понятие асимптоты играет важную роль при построении графиков многих функций.

Используя известные нам преобразования графиков функций, мы можем гиперболу y=k/x перемещать в координатной плоскости вправо или влево, вверх или вниз. В результате будем получать новые графики функций.

Пример 1. Пусть y=6/x. Выполним сдвиг этой гиперболы вправо на 1,5 единицы, а затем полученный график сдвинем на 3,5 единицы вверх. При этом преобразовании сдвинутся и асимптоты гиперболы y=6/x: ось x перейдет в прямую y=3,5, ось y – в прямую y=1,5 (рис. 2).

Функцию, график которой мы построили, можно задать формулой

Представим выражение в правой части этой формулы в виде дроби:

Значит, на рисунке 2 изображен график функции, заданной формулой

У этой дроби числитель и знаменатель - линейные двучлены относительно х. Такие функции называют дробно-линейными функциями.

рис. 2

Вообще функцию, заданную формулой вида , где
х – переменная, а, b , c , d – заданные числа, причем с≠0 и
bc - ad ≠0, называют дробно-линейной функцией.

Заметим, что требование в определении о том, что с≠0 и
bc-ad≠0, существенно. При с=0 и d≠0 или при bc-ad=0 мы получаем линейную функцию. Действительно, если с=0 и d≠0, то

Если же bc-ad=0, с≠0, выразив из этого равенства b через a, c и в и подставив его в формулу, получим:

Итак, в первом случае мы получили линейную функцию общего вида , во втором случае – константу .

Покажем теперь, как строить график дробно-линейной функции, если она задана формулой вида

Пример 2. Построим график функции , т.е. представим ее в виде : выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

Итак, . Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы вверх на 2 единицы.

При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.

Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х<3, а другую для x>3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

x	-7	-2	-1	0	1	2	2,5
y	1,5	1	0,75	0,33	-0,5	-3	-8

x	3,5	4	5	6	7	8	13
y	12	7	4,5	3,33	3,25	3	2,52

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции изображен на рисунке 3.

рис. 3

Любую дробь можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 3.

Построим график функции .

Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.

Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби относительно малы. Поэтому

Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2.

Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.

Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).

рис. 4

Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробную рациональную функцию

у которой числитель и знаменатель - многочлены соответственно n-й и m-й степени. Пусть дробь - правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

Если:

где k₁ ... k_s – корни многочлена Q (x), имеющие соответственно кратности m₁ ... m_s , а трёхчлены соответствуют парам сопряжения комплексных корней Q (x) кратности m₁ ... m_t дроби вида

называют элементарными рациональными дробями соответственно первого, второго, третьего и четвёртого типа. Тут A, B, C, к – действительные числа; m и м - натуральные числа, m, м>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x² +px+q имеет мнимые корни.

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

График функции

получаем из графика функции 1/x^m (m~1, 2, …) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на │k│ единиц масштаба вправо. График функции вида

легко построить, если в знаменателе выделить полный квадрат, а затем осуществить соответствующее образование графика функции 1/x² . Построение графика функции

сводится к построению произведения графиков двух функций:

y = Bx + C и

Замечание . Построение графиков функции

где a d-b c ¹ 0 , ,

где n - натуральное число, можно выполнять по общей схеме исследования функции и построения графика в некоторых конкретных примерах с успехом можно построить график, выполняя соответствующие преобразования графика; наилучший способ дают методы высшей математики.

Пример 1. Построить график функции

Выделив целую часть, будем иметь

Дробь изобразим в виде суммы элементарных дробей:

Построим графики функций:

После сложения этих графиков получаем график заданной функции:

(рис. 5)

рис. 5

Рисунки 6, 7, 8 представляют примеры построения графиков функций

и .

Пример 2. Построение графика функции :

(1); (2); (3); (4)

рис. 6

Пример 3. Построение графика графика функции :

(1); (2); (3); (4)

рис. 7

Пример 4. Построение графика функции :

(1); (2); (3); (4).

рис. 8

3. Ещё один приём построения графиков

График функции y=1/x можно построить несколько иначе. Нарисуем график функции у=x. Заменим каждую ординату величиной, ей обратной, и отметим соответствующие точки на рисунке. Получим график у=1/x (рис.1).

Рис.1

Нарисованная картина показывает, как маленькие (по абсолютной величине) ордината первого графика превращается в большие ординаты второго и, наоборот - большие ординаты первого в маленькие ординаты второго. Точки с ординатами, равными 1 (и - 1), остаются на месте.

Этот приём "деления" графиков бывает полезен всегда, когда у нас есть график у=f(x), а нам нужно понять, как ведёт себя функция y=1/f(x) (рис.2).

рис.2

Заключение

При выполнении реферативной работы:

- уточнила свои понятия дробно-линейной и дробно-рациональной функций:

Определение 1.

Дробно-линейная функция – это функция вида , где х – переменная, a, b, c, и в – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0.

Определение 2.

Дробно-рациональная функция – это функция вида

, где n<m.

- сформировала алгоритм построения графиков этих функций;

- приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

;

- научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;

- приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере;

- научилась составлять проблемно – реферативную работу.

Литература

1) Крамор В.С.. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1990г.

2) Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Справочник. Графики функций. – Киев: «Наукова Думка», 1979г.

3) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра – 8 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику. – М.: Просвещение, 1998г.

4) Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э.. Функции и графики (основные приемы). – М.: Издательство МЦНМО, 2004г.

5) Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса.