Реферат: История тригонометрии в формулах и аксиомах

Тригонометрические функции

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/60⁴ . Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии.

Тригонометрические функции острого угла

Если величину угла a измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения

		С1
			b
				b1

Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

sin a=

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом aи измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sin a .

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС =a =1, тогда гипотенуза этого треугольника с =2, а второй катет b =Ö3; рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a =1, тогда для этого треугольника c =Ö2 и b =1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°.

90°N

0,79

а

А b С 0,620°M Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ =1. Если угол ВАС =a, то по определению тригонометрических функций мы имеем:

sin a=а

Для угла 52° на шкале радиуса АN находим, что а =0,79, а на шкале радиуса АМ находим, что b =0,62., то есть sin 52°=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°,…, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0°и 90°прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ , то угол a®0, а катеты а ®0 и b ®1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin 0°=а =0; cos 0°=b =1.

Что касается значений tg a и ctg a, то при a®0 отношение ®0, т.е. , а отношение при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ®¥, где символ ¥ указывает, что величина неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ¥ не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg 0°=0, а ctg 0°не существует, что чаще записывают какctg 0°=¥.

Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что

sin 90°=1; cos 90°=0, tg 90° не существует (tg 90°®¥) и ctg 90°=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.

Пользуясь значениями тригонометрической функции y =sinx из таблицы, построим график.

y

1

0 30° 60° 90°x

Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора

a² +b² =c²

или

По определению тогда

(1)

Легко также найти следующие зависимости

(2)

(3)

(4)

(5)

Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например:

(6)

(7)

(8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические
функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0 x угол a. Будем считать, что ось 0 x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла a. Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим a_x и a_y .

Можно показать, что отношения где а – длина вектора , зависят только от

величины угла a и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.

Синусом угла a,образованного осью 0 x и произвольным радиусом-вектором , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:

y

A

x

Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0 x и конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

и sin (a+360°· n)=sin a

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти a_x >0; a_y >0;

Во II четверти a_x <0; a_y >0;

В III четверти a_x <0; a_y <0;

В IV четверти a_x >0; a_y <0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное числогде r обозначает радианы, ии по определению принять что

sinx , где x – абстрактное число, равен sinx , где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ± 1; ± 2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2p. Для нее имеет место формула:

sin ( x +2 p n )= sinx , где n=0; ± 1; ± 2 ...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx , соответствующих выбранным значениям x , а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x₁ 0₁ y₁ единичную окружность R=1 с центром 0₁ на оси абсцисс x₁ . Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x₁ =+1, делим на n равных частей:

Затем строим вторую систему координат x0 y , ось которой 0 x совпадает с осью 0 ₁ x₁ , но сначало координат 0 ₁ (x ₁ =0 ) и 0 (x=0 ) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2 p делим на n равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0 x , а из точек деления отрезка [0, 2 p ] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx , так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2 p ].

Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinx существует при всех действительных значения x, причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный относительно начала координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами

-1 £ sinx £+1,

причем sinx=+1 , если

и sinx=-1 , если

4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0 , если x= p n (n=0; ±1; ±2;… ).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах

(n=0; ±1; ±2;… ).

И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах

(n=0; ±1; ±2;… ).