Реферат: Математическая статистика

1-я контрольная работа

Задача № 1.33

Вычислить центральный момент третьего порядка (m₃ ) по данным таблицы:

Производитель­ность труда, м/час	XI	Число рабочих, mi	mi xi	(xi -xср )3	(xi -xср )3 mi
80.5 – 81.5	81	7	567	-6,2295	-43,6065
81.5 – 82.5	82	13	1066	-0,5927	-7,70515
82.5 – 83.5	83	15	1245	0,004096	0,06144
83.5 – 84.5	84	11	924	1,560896	17,16986
84.5 – 85.5	85	4	340	10,0777	40,31078
Итого:	50	4142	6,2304

Ответ: m₃ =0,1246

Задача № 2.45

Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n =200 пачек чая равен =26 гр. А S= 1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( до .

Р(25<x<27)=P=2Ф(1)-1=0,3634

m=n*p=200*0,3634 » 73

Ответ: n=73

Задача № 3.17

На контрольных испытаниях n=17 было определено =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с =21 ч.., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью =0,98

Ответ: [2988<<3012]

Задача № 3.69

По данным контрольных испытания n =9 ламп были получены оценки =360 и S= 26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью

Ответ:358

Задача № 3.71

По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры равна =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала .

Ответ: P=0,516

Задача № 3.120

По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено =50 мм и S= 7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней.

Ответ:50,2

Задача № 3.144

На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n =37 рабочих было вычислено =400 метров ткани в час S= 12 м / ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13.

Ответ: P(11<s<13)=0,8836

Задача № 4.6

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных.

c² _факт. =S(m_i - m_i ^T )/ m_i ^T =27,17

c² _табл. = (n=2, a=0,02)=7,824

c² _{факт >} c² _табл

Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки альфа.

2-я контрольная работа

Задача 4.29

По результатам n =4 измерений в печи найдено = 254 ° C . Предполага­ется, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с s = 6 ° C . На уровне значимости a = 0.05 проверить гипотезу H₀ : m = 250 ° C против гипотезы H₁ : m = 260 ° C . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

m ₁ > m ₀ Þ выберем правостороннюю критическую область.

Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и t_кр > t_набл , то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|t_кр | - |t_набл |=0,98).

Задача 4.55

На основание n= 5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм, а S= 1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости a =0,01 мощность критерия при гипотезе H₀ :50 и H₁ : 53

Ответ: 23

Задача 4.70

На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости a = 0.1 проверить гипотезу H₀ : мм² при конкурирующей гипотезе . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

построим левостороннюю критическую область.

Вывод: на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ().

Задача 4.84

По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним прибором получено = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости a = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H₀ : при конкурирующей гипотезе H₁ : .

построим левостороннюю критическую область.

Ответ: 23;

Задача 4.87

Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n₁ = 16 и n ₂ = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены = 180 мм и = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями мм² и мм² . На уровне значимости a = 0.025 проверить гипотезу H ₀ : m _{1 =} m ₂ против H ₁ : m ₁ < m ₂ .

Т.к. H₁ : m₁ <m₂ , будем использовать левостороннюю критическую область.

Вывод: гипотеза отвергается при данном уровне значимости.

Задача 4.96

Из двух партий деталей взяты выборки объемом n₁ = 16 и n ₂ = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены = 260 мм, S₁ = 6 мм, = 266 мм и S₂ =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и , на уровне значимости a = 0.01 проверить гипотезу H ₀ : m _{1 =} m ₂ против H ₁ : m ₁ ¹ m ₂ .

Вывод : при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.

Задача 4.118

Из n₁ = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m₁ = 152, а из n₂ = 250 задач второго типа студенты решили m₂ = 170 задач. Проверить на уровне значимости a = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H₀ : P₁ = P₂ . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

Вывод: нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается ().

Задача 1.39:

Вычислить центральный момент третьего порядка (m₃ ^* ) по данным таблицы:

Решение:

Ответ: m₃ ^* =0

Задача 2.34:

В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд:

Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.

Решение:

Ответ: P=7.79*10^-7

Зпадача 3.28:

В предложении о нормальной генеральной совокупности с s=5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью g=0.96 точность оценки генеральной средней m времени обработки зубчатого колеса будет равна d=2 сек.

Ответ: n=27

Задача 3.48:

На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью g=0.98 точность оценки генеральной средней.

Решение:

St(t,n=n-1)=g=St(t,6)=0.98

Ответ: d=0.4278

Задача 3.82:

На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9°С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью g=0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии.

Решение:

Ответ: 41.4587

Задача 3.103:

Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г.

Решение:

t=2.33

Ответ: 0.3

Задача 3.142:

По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется X_ср =30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу для оценки s генеральной совокупности.

Решение:

t=2.33

Ответ: 8.457

Задача 4.18:

Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0.05 по следующим данным:

Решение:

mi	mi T	(mi -mi T )2	(mi -mi T )2 / mi T
6	8	4	0.5
13	17	16	0.941
22	29	49	1.6897
28	20	64	3.2
15	10	25	1.9231
3	3
Итого:	-	-	8.2537

Ответ: -2.2627

1.36.

Вычислить дисперсию.

2.19.

Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.

m – число дефектных изделий в партии,

f_i – число партий,

f_{i теор.} = теоретическое число партий

Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*f_i .

Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1.

3.20.

По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ , с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм ..

3.40.

3.74.

По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S.

3.123.

По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151).

3.126

По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек ., S=12 сек .. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.

4.10

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ² ).

Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.