Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС
I. Преобразование иррациональных выражений.
Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.
1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.
а) Если в знаменателе стоит выражение вида  , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение  . В этом случае применяется формула  .
б) Если в знаменателе стоит выражение  (или  ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на  (или  ). В этом случае применяются формулы
 ,
 .
Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  ; е)  .
Решение:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  ;
е) 
 .
Отметим еще одно свойство:
которое часто применяется в преобразованиях.
Пример 2. Упростить выражение:
а)  ; б)  ; в)  .
Решение:
а)  , т.к.  .
б)  , т.к.  .
в) 
 .
Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0.1) Если n<-1, то
2) Если -1£n<0, то
3) Если 0<n<1, то
4) Если n³1, то
Ответ: 
II. Иррациональные уравнения.
Рассмотрим уравнение вида  .
Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.
Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду  .
Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.
Пример 3. Решить уравнения:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  .
Решение:
а)  Û ;
Проверка.
  Þ х=-4 – посторонний корень,
  – верно Þ х=2 – корень.
Ответ: х=2.
б)
Проверка.
  – это выражение не существует, т.е.
 – посторонний корень,
  – верно Þ – корень.
Ответ:  .
в)
Введем вспомогательную переменную  Þ x2=t2–13
t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,
t1=7; t2=-5.
Сделаем обратную замену:
 Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6,
 – не имеет решений.
Ответ: х=±6.
г)
Сделаем замену переменной. Положим  . Тогда уравнение примет вид:
 Û Û
 Þ Û Û Û .
Проверка показывает, что – корень.
Ответ: .
III. Решение иррациональных неравенств.
При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.
Поэтому неравенство  эквивалентно системам
 или 
Неравенство  равносильно системе
Пример 4. Решить неравенства:
а)  б) 
в)  г) 
Решение.
а)  Û Û
Решим третье неравенство системы методом интервалов:
x2-5x-14>0
x2-5x-14=0
 
(x-7)(x+2)>0
Найдем пересечение решений трех неравенств:Ответ: -18£x<-2.
б) 
если х-1£0, то неравенство верно, то есть х£1;
если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:
 Û Û x>1.
Объединяем два решения, получим х – любое.
Ответ: х – любое.
в) 
 Û Û Û
 Û Û
Ответ: х³1.
г) 
 или 
 
 
 Û х³3    
Ответ:  .
Задачи для самостоятельного решения
Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).
М11.9.1. Упростить:
1)  2)  3) 
4)  , если  , m>0, 0<n<1.
М11.9.2. Решить уравнения
 ;
 ;
 ;
 .
М11.9.3. Решить неравенства:
 ;
 ;
 ;
 .
|