Реферат: Элементарная теория сумм Гаусса

Название: Элементарная теория сумм Гаусса
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

Рассмотрим следующую сумму – сумму Гаусса :

где D – целое положительное и (a, D)= 1.

Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда х=qD+k , где k =0, 1, …, D-1 , q є Z

Будем иметь :

что и требовалось.

Лемма 1.

Пусть (a, D)=1. Тогда:

Доказательство:

По свойству модуля комплексного числа :

Имеем:

Сделаем замену x = x + t . Когда х и х пробегают полную систему вычетов по модулю в , от х и t пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю в . Тогда х = qD + k k=0, 1, …, D-1 , q є Z

х = pD + i i=0, 1, …, D-1 , p є Z

Следовательно, t = x – x = (q – p)D + (k – i) = l в + m , где m=0, 1, …, D-1 , l є Z

а) Пусть в – нечетное, т.е. (2а, D)=1

если в делит t.

Если же в не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде :

Получили :

Тогда

Отсюда

б) Пусть в делится на 4, т.е. возможно представление : в = 2D , где в – четное и ( a, в )=1 .

Получим :

Так как в четное, то

Следовательно

в) Пусть в = 2 (mod 4) , т.е. в = 4q + 2 , q є Z

Тогда из предыдущего случая имеем : в = 2 (2q+1)= 2D , в - нечетное. Имеем :

Что и требовалось.

Лемма 2.

Если в и в взаимно простые числа, то

S ( aD₁ , D₂ ) S ( aD₂ , D₁ ) = S ( a , D₁ D₂ )

Доказательство:

В этих суммах t₁ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂ , а t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D_2. При этом D₁ t₁ + D₂ t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₁ D₂ . Действительно , всего членов в сумме D₁ D₂ и никакие два несравнимы между собой. Действительно, предположим противное : пусть D₁ t₁ + D₂ t₂ = D₁ t₁ + D₂ t₂ ( mod D₁ D₂ )

Отсюда D₁ (t₁ – t₁ ) = D₂ (t₂ – t₂ ) (mod D₁ D₂ ) Тогда

D₁ (t₁ – t₁ ) = D₂ (t₂ – t₂ ) (mod D₂ ) А так как D₂ (t₂ – t₂ ) = 0 (mod D₂ )

То по свойству сравнений имеем D₁ (t₁ – t₁ ) = 0 (mod D₂ ) Отсюда так как (D₁ , D₂ )=1 , то t₁ – t₁ = 0 (mod D₂ ) Аналогично получим t₂ – t₂ = 0 (mod D₁ )

Т.е. имеем t₁ = t₁ (mod D₂ ) и t₂ = t₂ (mod D₁ ) . Но это противоречит тому, что t₁ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂ , а t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂ , так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D₁ t₁ + D₂ t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₁ D₂ .