Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть 
- кольцо с единицей 1. Элемент 
Ваиз множества 
Ваназывается обратным в кольце 
, если 
. 
Ваназывается обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо 
, элемент 2 необратим в этом кольце, так как 
, элемент 5 необратим в кольце целых чисел. 
- обратимые элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел 
, обратимыми являются все элементы кроме 
.
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо 
, обратимыми являются все элементы кроме .
Определение. Поле тАУ это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция 
Вакоммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица 
.
Всякий ненулевой элемент кольца Ваобратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа 
- галуафилд. 
; 
. Определим
операции сложения и умножения:
ВаИ 
- бинарные операции, 
- унарная
Из этой таблицы видно, что операция 
- коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к. 
, 
.
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле. Обозначение: 
.
Если 
, то 
.
Доказательство. Пусть , докажем, что 
, то есть 
, тогда 
Вапротиворечие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | 
, 
.
Если 
, 
. 
Ваумножим равенство Васправа на 
, то есть 
.
.
Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства 
Вана Васлева, 
.
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: 
, 
, значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
.
Доказательство. 
. Умножим обе части равенства справа на 
, где 
.
, где .
Доказательство. Выпишем правую часть 
Варавна левой части.
, где .
Доказательство. Правая часть 
Варавна левой части.
, .
Доказательство. Правая часть 
левая часть.
, .
Доказательство. Левая часть 
.
, .
Если 
, то 
.
Доказательство. Вычислим произведение 
Вато есть 
Ваобратный элемент к 
.
, где 
.
Доказательство. Левая часть равна 
Варавна правой части.
- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля: 
1. 
, так как поле.
2. 
3. 
4. 
, так как поле
Так как поле тАУ это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля Ваназывается подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от Ваназывается собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции 
Ваи 
Ваподмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система 
Ваназывается системой рациональных чисел, если:
Алгебра - это поле с единицей 1.
Множество 
Вазамкнуто относительно операции Ваи 
Аксиома минимальности, если 
Ватакое, что:
а) 
б) 
, тогда 
.
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал ВлАргументВ». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье тАУ М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/
Вместе с этим смотрят:
Актуальные проблемы квантовой механики
Время и пространство - идеалистические понятия
Коагуляция
Школьный учебник математики: вчера, сегодня, завтра