Вычисление определителя методом Гаусса с выбором главного элемента

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ  ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.

Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений

         можно вычислить определитель матрицы  А.

Пусть в процессе исключения найдено распожение 

т.е. построены матрицы  L и U . Тогда

и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения)  равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком.

А именно,   

Таким образом, для вычисления определителя  необходимо знать, сколько  перестановок было осуществлено в процессе сключения.

Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса  с выбором главного элемента  по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся  равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю.

ОБРАЩЕНИЕ  МАТРИЦ.

Нахождение  матрицы, обратной матрице А , еквивалентно решению матричного уравнения

                                                                    (1)

где Е - единичная  матрица, X - искомая квадратная матрица.

Уравнение (1) можно записать в виде системы  уравнений   

                                           (2)

где  

Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых  систем уравнений с одной и той  же  матрицей А , но с различными правыми частями. Эти  системы  имеют

вид ( фиксируем j ) :

                                           (3)

где  у вектора - столбца равна единице  j-та  компонента и равны нулю остальные компоненты.

Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:

     

Для решения систем (3) используется метод Гаусса ( обычный или с выбором главного элемента).

Рассмотрим применение  метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3)  имеют одну и ту же матрицу А , достаточно  один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение  A=LU  и запомнить матрицы  L  i U .

Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений      

с треугольными матрицами L  и U.

При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4).

Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):

      

Учитывая  невырожденность матрицы L ( т.е.

отсюда получаем

      

При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид            

Отсюда последовательно находятся неизвестные по формулам:                                  

     Можно показать, что общее число действий умножения и деления,  необходимое  для обращения матрицы  указанным способом, порядка . Тем самым обращение матрицы  требует не намного больше времени, чем решение системы уравнений.

Вместе с этим смотрят:

Вычисление элементарных функций
Гамма функции
Геометрическая прогрессия
Геометрия Лобачевского